Theorem fvsng 6447

Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 26-Oct-2012.)

Assertion

Ref	Expression
fvsng	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { <. A , B >. } ` A ) = B )

Proof of Theorem fvsng

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 4402	. . . . 5 |- ( a = A -> <. a , b >. = <. A , b >. )
2	1	sneqd 4189	. . . 4 |- ( a = A -> { <. a , b >. } = { <. A , b >. } )
3		id 22	. . . 4 |- ( a = A -> a = A )
4	2, 3	fveq12d 6197	. . 3 |- ( a = A -> ( { <. a , b >. } ` a ) = ( { <. A , b >. } ` A ) )
5	4	eqeq1d 2624	. 2 |- ( a = A -> ( ( { <. a , b >. } ` a ) = b <-> ( { <. A , b >. } ` A ) = b ) )
6		opeq2 4403	. . . . 5 |- ( b = B -> <. A , b >. = <. A , B >. )
7	6	sneqd 4189	. . . 4 |- ( b = B -> { <. A , b >. } = { <. A , B >. } )
8	7	fveq1d 6193	. . 3 |- ( b = B -> ( { <. A , b >. } ` A ) = ( { <. A , B >. } ` A ) )
9		id 22	. . 3 |- ( b = B -> b = B )
10	8, 9	eqeq12d 2637	. 2 |- ( b = B -> ( ( { <. A , b >. } ` A ) = b <-> ( { <. A , B >. } ` A ) = B ) )
11		vex 3203	. . 3 |- a e. _V
12		vex 3203	. . 3 |- b e. _V
13	11, 12	fvsn 6446	. 2 |- ( { <. a , b >. } ` a ) = b
14	5, 10, 13	vtocl2g 3270	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { <. A , B >. } ` A ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {csn 4177   <.cop 4183   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  fsnunfv  6453  fvpr1g  6458  fvpr2g  6459  fsnex  6538  suppsnop  7309  enfixsn  8069  axdc3lem4  9275  fseq1p1m1  12414  1fv  12458  s1fv  13390  sumsnf  14473  sumsn  14475  prodsn  14692  prodsnf  14694  seq1st  15284  vdwlem8  15692  setsid  15914  xpsc0  16220  xpsc1  16221  mgm1  17257  sgrp1  17293  mnd1  17331  mnd1id  17332  gsumws1  17376  grp1  17522  dprdsn  18435  ring1  18602  ixpsnbasval  19209  frgpcyg  19922  mat1dimscm  20281  mat1dimmul  20282  mat1rhmelval  20286  m1detdiag  20403  pt1hmeo  21609  1loopgrvd0  26400  1hevtxdg0  26401  1hevtxdg1  26402  1egrvtxdg1  26405  actfunsnrndisj  30683  reprsuc  30693  breprexplema  30708  cvmliftlem7  31273  cvmliftlem13  31278  noextenddif  31821  noextendlt  31822  noextendgt  31823  sumsnd  39185  mapsnend  39391  ovnovollem1  40870  nnsum3primesprm  41678  lincvalsng  42205  snlindsntorlem  42259  lmod1lem2  42277  lmod1lem3  42278