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Theorem hausllycmp 21297
Description: A compact Hausdorff space is locally compact. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
hausllycmp |- ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) -> J e. 𝑛Locally Comp )
Proof of Theorem hausllycmp
Dummy variables u v x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 haustop 21135 . . 3 |- ( J e. Haus -> J e. Top )
21adantr 481 . 2 |- ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) -> J e. Top )
3 eqid 2622 . . . . . 6 |- U. J = U. J
4 eqid 2622 . . . . . 6 |- { z e. J | E. v e. J ( y e. v /\ ( ( cls ` J ) ` v ) C_ ( U. J \ z ) ) } = { z e. J | E. v e. J ( y e. v /\ ( ( cls ` J ) ` v ) C_ ( U. J \ z ) ) }
5 simpll 790 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> J e. Haus )
6 difssd 3738 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> ( U. J \ x ) C_ U. J )
7 simplr 792 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> J e. Comp )
81ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> J e. Top )
9 simprl 794 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> x e. J )
103opncld 20837 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ x e. J ) -> ( U. J \ x ) e. ( Clsd ` J ) )
118, 9, 10syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> ( U. J \ x ) e. ( Clsd ` J ) )
12 cmpcld 21205 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Comp /\ ( U. J \ x ) e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t ( U. J \ x ) ) e. Comp )
137, 11, 12syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> ( J ↾t ( U. J \ x ) ) e. Comp )
14 simprr 796 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> y e. x )
15 elssuni 4467 . . . . . . . . 9 |- ( x e. J -> x C_ U. J )
1615ad2antrl 764 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> x C_ U. J )
17 dfss4 3858 . . . . . . . 8 |- ( x C_ U. J <-> ( U. J \ ( U. J \ x ) ) = x )
1816, 17sylib 208 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> ( U. J \ ( U. J \ x ) ) = x )
1914, 18eleqtrrd 2704 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> y e. ( U. J \ ( U. J \ x ) ) )
203, 4, 5, 6, 13, 19hauscmplem 21209 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> E. u e. J ( y e. u /\ ( ( cls ` J ) ` u ) C_ ( U. J \ ( U. J \ x ) ) ) )
2118sseq2d 3633 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> ( ( ( cls ` J ) ` u ) C_ ( U. J \ ( U. J \ x ) ) <-> ( ( cls ` J ) ` u ) C_ x ) )
2221anbi2d 740 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> ( ( y e. u /\ ( ( cls ` J ) ` u ) C_ ( U. J \ ( U. J \ x ) ) ) <-> ( y e. u /\ ( ( cls ` J ) ` u ) C_ x ) ) )
2322rexbidv 3052 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> ( E. u e. J ( y e. u /\ ( ( cls ` J ) ` u ) C_ ( U. J \ ( U. J \ x ) ) ) <-> E. u e. J ( y e. u /\ ( ( cls ` J ) ` u ) C_ x ) ) )
2420, 23mpbid 222 . . . 4 |- ( ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> E. u e. J ( y e. u /\ ( ( cls ` J ) ` u ) C_ x ) )
258adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( ( cls ` J ) ` u ) C_ x ) ) ) -> J e. Top )
26 simprl 794 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( ( cls ` J ) ` u ) C_ x ) ) ) -> u e. J )
27 simprrl 804 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( ( cls ` J ) ` u ) C_ x ) ) ) -> y e. u )
28 opnneip 20923 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ u e. J /\ y e. u ) -> u e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) )
2925, 26, 27, 28syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( ( cls ` J ) ` u ) C_ x ) ) ) -> u e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) )
30 elssuni 4467 . . . . . . . . 9 |- ( u e. J -> u C_ U. J )
3130ad2antrl 764 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( ( cls ` J ) ` u ) C_ x ) ) ) -> u C_ U. J )
323sscls 20860 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ u C_ U. J ) -> u C_ ( ( cls ` J ) ` u ) )
3325, 31, 32syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( ( cls ` J ) ` u ) C_ x ) ) ) -> u C_ ( ( cls ` J ) ` u ) )
343clsss3 20863 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ u C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` u ) C_ U. J )
3525, 31, 34syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( ( cls ` J ) ` u ) C_ x ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` u ) C_ U. J )
363ssnei2 20920 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ u e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) ) /\ ( u C_ ( ( cls ` J ) ` u ) /\ ( ( cls ` J ) ` u ) C_ U. J ) ) -> ( ( cls ` J ) ` u ) e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) )
3725, 29, 33, 35, 36syl22anc 1327 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( ( cls ` J ) ` u ) C_ x ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` u ) e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) )
38 simprrr 805 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( ( cls ` J ) ` u ) C_ x ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` u ) C_ x )
39 vex 3203 . . . . . . . 8 |- x e. _V
4039elpw2 4828 . . . . . . 7 |- ( ( ( cls ` J ) ` u ) e. ~P x <-> ( ( cls ` J ) ` u ) C_ x )
4138, 40sylibr 224 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( ( cls ` J ) ` u ) C_ x ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` u ) e. ~P x )
4237, 41elind 3798 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( ( cls ` J ) ` u ) C_ x ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` u ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) )
437adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( ( cls ` J ) ` u ) C_ x ) ) ) -> J e. Comp )
443clscld 20851 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ u C_ U. J ) -> ( ( cls ` J ) ` u ) e. ( Clsd ` J ) )
4525, 31, 44syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( ( cls ` J ) ` u ) C_ x ) ) ) -> ( ( cls ` J ) ` u ) e. ( Clsd ` J ) )
46 cmpcld 21205 . . . . . 6 |- ( ( J e. Comp /\ ( ( cls ` J ) ` u ) e. ( Clsd ` J ) ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` u ) ) e. Comp )
4743, 45, 46syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( ( cls ` J ) ` u ) C_ x ) ) ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` u ) ) e. Comp )
48 oveq2 6658 . . . . . . 7 |- ( v = ( ( cls ` J ) ` u ) -> ( J ↾t v ) = ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` u ) ) )
4948eleq1d 2686 . . . . . 6 |- ( v = ( ( cls ` J ) ` u ) -> ( ( J ↾t v ) e. Comp <-> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` u ) ) e. Comp ) )
5049rspcev 3309 . . . . 5 |- ( ( ( ( cls ` J ) ` u ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) /\ ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` u ) ) e. Comp ) -> E. v e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t v ) e. Comp )
5142, 47, 50syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) /\ ( u e. J /\ ( y e. u /\ ( ( cls ` J ) ` u ) C_ x ) ) ) -> E. v e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t v ) e. Comp )
5224, 51rexlimddv 3035 . . 3 |- ( ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) /\ ( x e. J /\ y e. x ) ) -> E. v e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t v ) e. Comp )
5352ralrimivva 2971 . 2 |- ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) -> A. x e. J A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t v ) e. Comp )
54 isnlly 21272 . 2 |- ( J e. 𝑛Locally Comp <-> ( J e. Top /\ A. x e. J A. y e. x E. v e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t v ) e. Comp ) )
552, 53, 54sylanbrc 698 1 |- ( ( J e. Haus /\ J e. Comp ) -> J e. 𝑛Locally Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾t crest 16081   Topctop 20698   Clsdccld 20820   clsccl 20822   neicnei 20901   Hauscha 21112   Compccmp 21189  𝑛Locally cnlly 21268
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cls 20825  df-nei 20902  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-nlly 21270
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