Theorem hvsub4 27894

Description: Hilbert vector space addition/subtraction law. (Contributed by NM, 17-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hvsub4	|- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> ( ( A +h B ) -h ( C +h D ) ) = ( ( A -h C ) +h ( B -h D ) ) )

Proof of Theorem hvsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvaddcl 27869	. . 3 |- ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) -> ( A +h B ) e. ~H )
2		hvaddcl 27869	. . 3 |- ( ( C e. ~H /\ D e. ~H ) -> ( C +h D ) e. ~H )
3		hvsubval 27873	. . 3 |- ( ( ( A +h B ) e. ~H /\ ( C +h D ) e. ~H ) -> ( ( A +h B ) -h ( C +h D ) ) = ( ( A +h B ) +h ( -u 1 .h ( C +h D ) ) ) )
4	1, 2, 3	syl2an 494	. 2 |- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> ( ( A +h B ) -h ( C +h D ) ) = ( ( A +h B ) +h ( -u 1 .h ( C +h D ) ) ) )
5		hvsubval 27873	. . . . 5 |- ( ( A e. ~H /\ C e. ~H ) -> ( A -h C ) = ( A +h ( -u 1 .h C ) ) )
6	5	ad2ant2r 783	. . . 4 |- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> ( A -h C ) = ( A +h ( -u 1 .h C ) ) )
7		hvsubval 27873	. . . . 5 |- ( ( B e. ~H /\ D e. ~H ) -> ( B -h D ) = ( B +h ( -u 1 .h D ) ) )
8	7	ad2ant2l 782	. . . 4 |- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> ( B -h D ) = ( B +h ( -u 1 .h D ) ) )
9	6, 8	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> ( ( A -h C ) +h ( B -h D ) ) = ( ( A +h ( -u 1 .h C ) ) +h ( B +h ( -u 1 .h D ) ) ) )
10		neg1cn 11124	. . . . . . 7 |- -u 1 e. CC
11		ax-hvdistr1 27865	. . . . . . 7 |- ( ( -u 1 e. CC /\ C e. ~H /\ D e. ~H ) -> ( -u 1 .h ( C +h D ) ) = ( ( -u 1 .h C ) +h ( -u 1 .h D ) ) )
12	10, 11	mp3an1 1411	. . . . . 6 |- ( ( C e. ~H /\ D e. ~H ) -> ( -u 1 .h ( C +h D ) ) = ( ( -u 1 .h C ) +h ( -u 1 .h D ) ) )
13	12	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> ( -u 1 .h ( C +h D ) ) = ( ( -u 1 .h C ) +h ( -u 1 .h D ) ) )
14	13	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> ( ( A +h B ) +h ( -u 1 .h ( C +h D ) ) ) = ( ( A +h B ) +h ( ( -u 1 .h C ) +h ( -u 1 .h D ) ) ) )
15		hvmulcl 27870	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u 1 e. CC /\ C e. ~H ) -> ( -u 1 .h C ) e. ~H )
16	10, 15	mpan 706	. . . . . . . 8 |- ( C e. ~H -> ( -u 1 .h C ) e. ~H )
17	16	anim2i 593	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ~H /\ C e. ~H ) -> ( A e. ~H /\ ( -u 1 .h C ) e. ~H ) )
18		hvmulcl 27870	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u 1 e. CC /\ D e. ~H ) -> ( -u 1 .h D ) e. ~H )
19	10, 18	mpan 706	. . . . . . . 8 |- ( D e. ~H -> ( -u 1 .h D ) e. ~H )
20	19	anim2i 593	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ~H /\ D e. ~H ) -> ( B e. ~H /\ ( -u 1 .h D ) e. ~H ) )
21	17, 20	anim12i 590	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ~H /\ C e. ~H ) /\ ( B e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> ( ( A e. ~H /\ ( -u 1 .h C ) e. ~H ) /\ ( B e. ~H /\ ( -u 1 .h D ) e. ~H ) ) )
22	21	an4s 869	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> ( ( A e. ~H /\ ( -u 1 .h C ) e. ~H ) /\ ( B e. ~H /\ ( -u 1 .h D ) e. ~H ) ) )
23		hvadd4 27893	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ~H /\ ( -u 1 .h C ) e. ~H ) /\ ( B e. ~H /\ ( -u 1 .h D ) e. ~H ) ) -> ( ( A +h ( -u 1 .h C ) ) +h ( B +h ( -u 1 .h D ) ) ) = ( ( A +h B ) +h ( ( -u 1 .h C ) +h ( -u 1 .h D ) ) ) )
24	22, 23	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> ( ( A +h ( -u 1 .h C ) ) +h ( B +h ( -u 1 .h D ) ) ) = ( ( A +h B ) +h ( ( -u 1 .h C ) +h ( -u 1 .h D ) ) ) )
25	14, 24	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> ( ( A +h B ) +h ( -u 1 .h ( C +h D ) ) ) = ( ( A +h ( -u 1 .h C ) ) +h ( B +h ( -u 1 .h D ) ) ) )
26	9, 25	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> ( ( A -h C ) +h ( B -h D ) ) = ( ( A +h B ) +h ( -u 1 .h ( C +h D ) ) ) )
27	4, 26	eqtr4d 2659	1 |- ( ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) /\ ( C e. ~H /\ D e. ~H ) ) -> ( ( A +h B ) -h ( C +h D ) ) = ( ( A -h C ) +h ( B -h D ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   -ucneg 10267   ~Hchil 27776   +h cva 27777   .h csm 27778   -h cmv 27782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hfvmul 27862  ax-hvdistr1 27865

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269  df-hvsub 27828

This theorem is referenced by:  hvaddsub4  27935  5oalem2  28514  3oalem2  28522