Theorem iooelexlt 33210

Description: An element of an open interval is not its smallest element. (Contributed by ML, 2-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
iooelexlt	|- ( X e. ( A (,) B ) -> E. y e. ( A (,) B ) y < X )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   y, X

Proof of Theorem iooelexlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliooxr 12232	. . 3 |- ( X e. ( A (,) B ) -> ( A e. RR* /\ B e. RR* ) )
2	1	simpld 475	. 2 |- ( X e. ( A (,) B ) -> A e. RR* )
3		elxr 11950	. . 3 |- ( A e. RR* <-> ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) )
4		19.3v 1897	. . . . . 6 |- ( A. y ( X e. ( A (,) B ) /\ A e. RR ) <-> ( X e. ( A (,) B ) /\ A e. RR ) )
5		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( ( A + X ) / 2 ) e. _V
6		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ y ( ( A + X ) / 2 )
7		nfre1 3005	. . . . . . . 8 |- F/ y E. y e. ( A (,) B ) y < X
8		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. ( A (,) B ) -> X e. RR )
9		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. RR /\ X e. RR ) -> ( A + X ) e. RR )
10	9	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR /\ X e. RR ) -> ( ( A + X ) / 2 ) e. RR )
11	8, 10	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ X e. ( A (,) B ) ) -> ( ( A + X ) / 2 ) e. RR )
12	11	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. ( A (,) B ) /\ A e. RR ) -> ( ( A + X ) / 2 ) e. RR )
13	12	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. ( A (,) B ) /\ A e. RR ) -> ( ( A + X ) / 2 ) e. RR* )
14		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. ( A (,) B ) -> ( A < X /\ X < B ) )
15	14	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. ( A (,) B ) -> A < X )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. ( A (,) B ) /\ A e. RR ) -> A < X )
17		avglt1 11270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR /\ X e. RR ) -> ( A < X <-> A < ( ( A + X ) / 2 ) ) )
18	8, 17	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ X e. ( A (,) B ) ) -> ( A < X <-> A < ( ( A + X ) / 2 ) ) )
19	18	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. ( A (,) B ) /\ A e. RR ) -> ( A < X <-> A < ( ( A + X ) / 2 ) ) )
20	16, 19	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. ( A (,) B ) /\ A e. RR ) -> A < ( ( A + X ) / 2 ) )
21	8	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. ( A (,) B ) -> X e. RR* )
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. ( A (,) B ) /\ A e. RR ) -> X e. RR* )
23	1	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. ( A (,) B ) -> B e. RR* )
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. ( A (,) B ) /\ A e. RR ) -> B e. RR* )
25		avglt2 11271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. RR /\ X e. RR ) -> ( A < X <-> ( ( A + X ) / 2 ) < X ) )
26	8, 25	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. RR /\ X e. ( A (,) B ) ) -> ( A < X <-> ( ( A + X ) / 2 ) < X ) )
27	26	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X e. ( A (,) B ) /\ A e. RR ) -> ( A < X <-> ( ( A + X ) / 2 ) < X ) )
28	16, 27	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. ( A (,) B ) /\ A e. RR ) -> ( ( A + X ) / 2 ) < X )
29	14	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. ( A (,) B ) -> X < B )
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. ( A (,) B ) /\ A e. RR ) -> X < B )
31	13, 22, 24, 28, 30	xrlttrd 11990	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. ( A (,) B ) /\ A e. RR ) -> ( ( A + X ) / 2 ) < B )
32		elioo1 12215	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( ( A + X ) / 2 ) e. ( A (,) B ) <-> ( ( ( A + X ) / 2 ) e. RR* /\ A < ( ( A + X ) / 2 ) /\ ( ( A + X ) / 2 ) < B ) ) )
33	1, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. ( A (,) B ) -> ( ( ( A + X ) / 2 ) e. ( A (,) B ) <-> ( ( ( A + X ) / 2 ) e. RR* /\ A < ( ( A + X ) / 2 ) /\ ( ( A + X ) / 2 ) < B ) ) )
34	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. ( A (,) B ) /\ A e. RR ) -> ( ( ( A + X ) / 2 ) e. ( A (,) B ) <-> ( ( ( A + X ) / 2 ) e. RR* /\ A < ( ( A + X ) / 2 ) /\ ( ( A + X ) / 2 ) < B ) ) )
35	13, 20, 31, 34	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. ( A (,) B ) /\ A e. RR ) -> ( ( A + X ) / 2 ) e. ( A (,) B ) )
36	35, 28	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. ( A (,) B ) /\ A e. RR ) -> ( ( ( A + X ) / 2 ) e. ( A (,) B ) /\ ( ( A + X ) / 2 ) < X ) )
37		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( ( A + X ) / 2 ) -> ( y e. ( A (,) B ) <-> ( ( A + X ) / 2 ) e. ( A (,) B ) ) )
38		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( ( A + X ) / 2 ) -> ( y < X <-> ( ( A + X ) / 2 ) < X ) )
39	37, 38	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( ( A + X ) / 2 ) -> ( ( y e. ( A (,) B ) /\ y < X ) <-> ( ( ( A + X ) / 2 ) e. ( A (,) B ) /\ ( ( A + X ) / 2 ) < X ) ) )
40	36, 39	syl5ibr 236	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( ( A + X ) / 2 ) -> ( ( X e. ( A (,) B ) /\ A e. RR ) -> ( y e. ( A (,) B ) /\ y < X ) ) )
41		rspe 3003	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( A (,) B ) /\ y < X ) -> E. y e. ( A (,) B ) y < X )
42	40, 41	syl6 35	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( A + X ) / 2 ) -> ( ( X e. ( A (,) B ) /\ A e. RR ) -> E. y e. ( A (,) B ) y < X ) )
43	6, 7, 42	spcimgf 3286	. . . . . . 7 |- ( ( ( A + X ) / 2 ) e. _V -> ( A. y ( X e. ( A (,) B ) /\ A e. RR ) -> E. y e. ( A (,) B ) y < X ) )
44	5, 43	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( A. y ( X e. ( A (,) B ) /\ A e. RR ) -> E. y e. ( A (,) B ) y < X )
45	4, 44	sylbir 225	. . . . 5 |- ( ( X e. ( A (,) B ) /\ A e. RR ) -> E. y e. ( A (,) B ) y < X )
46	45	expcom 451	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( X e. ( A (,) B ) -> E. y e. ( A (,) B ) y < X ) )
47		simpl 473	. . . . . 6 |- ( ( X e. ( A (,) B ) /\ A = +oo ) -> X e. ( A (,) B ) )
48		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( A = +oo -> ( A (,) B ) = ( +oo (,) B ) )
49	48	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( A = +oo -> ( X e. ( A (,) B ) <-> X e. ( +oo (,) B ) ) )
50	49	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( X e. ( A (,) B ) /\ A = +oo ) -> ( X e. ( A (,) B ) <-> X e. ( +oo (,) B ) ) )
51		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . 13 |- +oo e. RR*
52		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( +oo e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( X e. ( +oo (,) B ) <-> ( X e. RR /\ +oo < X /\ X < B ) ) )
53	51, 52	mpan 706	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. RR* -> ( X e. ( +oo (,) B ) <-> ( X e. RR /\ +oo < X /\ X < B ) ) )
54	53	biimpd 219	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. RR* -> ( X e. ( +oo (,) B ) -> ( X e. RR /\ +oo < X /\ X < B ) ) )
55		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. ( +oo (,) B ) -> X e. RR )
56		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. RR -> X e. RR* )
57		pnfnlt 11962	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. RR* -> -. +oo < X )
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. RR -> -. +oo < X )
59	58	intn3an2d 1443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X e. RR -> -. ( X e. RR /\ +oo < X /\ X < B ) )
60	55, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. ( +oo (,) B ) -> -. ( X e. RR /\ +oo < X /\ X < B ) )
61	60	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. RR* -> ( X e. ( +oo (,) B ) -> -. ( X e. RR /\ +oo < X /\ X < B ) ) )
62	54, 61	pm2.65d 187	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. RR* -> -. X e. ( +oo (,) B ) )
63	23, 62	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( X e. ( A (,) B ) -> -. X e. ( +oo (,) B ) )
64	63	pm2.21d 118	. . . . . . . 8 |- ( X e. ( A (,) B ) -> ( X e. ( +oo (,) B ) -> E. y e. ( A (,) B ) y < X ) )
65	64	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( X e. ( A (,) B ) /\ A = +oo ) -> ( X e. ( +oo (,) B ) -> E. y e. ( A (,) B ) y < X ) )
66	50, 65	sylbid 230	. . . . . 6 |- ( ( X e. ( A (,) B ) /\ A = +oo ) -> ( X e. ( A (,) B ) -> E. y e. ( A (,) B ) y < X ) )
67	47, 66	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( X e. ( A (,) B ) /\ A = +oo ) -> E. y e. ( A (,) B ) y < X )
68	67	expcom 451	. . . 4 |- ( A = +oo -> ( X e. ( A (,) B ) -> E. y e. ( A (,) B ) y < X ) )
69		19.3v 1897	. . . . . 6 |- ( A. y ( X e. ( A (,) B ) /\ A = -oo ) <-> ( X e. ( A (,) B ) /\ A = -oo ) )
70		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( X - 1 ) e. _V
71		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ y ( X - 1 )
72		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( X e. RR -> ( X - 1 ) e. RR )
73	8, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. ( A (,) B ) -> ( X - 1 ) e. RR )
74		mnflt 11957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( X - 1 ) e. RR -> -oo < ( X - 1 ) )
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. ( A (,) B ) -> -oo < ( X - 1 ) )
76	73	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( X e. ( A (,) B ) -> ( X - 1 ) e. RR* )
77	8	ltm1d 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( X e. ( A (,) B ) -> ( X - 1 ) < X )
78	76, 21, 23, 77, 29	xrlttrd 11990	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. ( A (,) B ) -> ( X - 1 ) < B )
79		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -oo e. RR*
80		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -oo e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( X - 1 ) e. ( -oo (,) B ) <-> ( ( X - 1 ) e. RR /\ -oo < ( X - 1 ) /\ ( X - 1 ) < B ) ) )
81	79, 80	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B e. RR* -> ( ( X - 1 ) e. ( -oo (,) B ) <-> ( ( X - 1 ) e. RR /\ -oo < ( X - 1 ) /\ ( X - 1 ) < B ) ) )
82	23, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( X e. ( A (,) B ) -> ( ( X - 1 ) e. ( -oo (,) B ) <-> ( ( X - 1 ) e. RR /\ -oo < ( X - 1 ) /\ ( X - 1 ) < B ) ) )
83	73, 75, 78, 82	mpbir3and 1245	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. ( A (,) B ) -> ( X - 1 ) e. ( -oo (,) B ) )
84	83	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X e. ( A (,) B ) /\ A = -oo ) -> ( X - 1 ) e. ( -oo (,) B ) )
85		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A = -oo -> ( A (,) B ) = ( -oo (,) B ) )
86	85	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A = -oo -> ( ( X - 1 ) e. ( A (,) B ) <-> ( X - 1 ) e. ( -oo (,) B ) ) )
87	86	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X e. ( A (,) B ) /\ A = -oo ) -> ( ( X - 1 ) e. ( A (,) B ) <-> ( X - 1 ) e. ( -oo (,) B ) ) )
88	84, 87	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. ( A (,) B ) /\ A = -oo ) -> ( X - 1 ) e. ( A (,) B ) )
89	77	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. ( A (,) B ) /\ A = -oo ) -> ( X - 1 ) < X )
90	88, 89	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. ( A (,) B ) /\ A = -oo ) -> ( ( X - 1 ) e. ( A (,) B ) /\ ( X - 1 ) < X ) )
91	90	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. ( A (,) B ) /\ A = -oo ) /\ y = ( X - 1 ) ) -> ( ( X - 1 ) e. ( A (,) B ) /\ ( X - 1 ) < X ) )
92		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( X - 1 ) -> ( y e. ( A (,) B ) <-> ( X - 1 ) e. ( A (,) B ) ) )
93		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( X - 1 ) -> ( y < X <-> ( X - 1 ) < X ) )
94	92, 93	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( X - 1 ) -> ( ( y e. ( A (,) B ) /\ y < X ) <-> ( ( X - 1 ) e. ( A (,) B ) /\ ( X - 1 ) < X ) ) )
95	94	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. ( A (,) B ) /\ A = -oo ) /\ y = ( X - 1 ) ) -> ( ( y e. ( A (,) B ) /\ y < X ) <-> ( ( X - 1 ) e. ( A (,) B ) /\ ( X - 1 ) < X ) ) )
96	91, 95	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. ( A (,) B ) /\ A = -oo ) /\ y = ( X - 1 ) ) -> ( y e. ( A (,) B ) /\ y < X ) )
97	96, 41	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. ( A (,) B ) /\ A = -oo ) /\ y = ( X - 1 ) ) -> E. y e. ( A (,) B ) y < X )
98	97	expcom 451	. . . . . . . 8 |- ( y = ( X - 1 ) -> ( ( X e. ( A (,) B ) /\ A = -oo ) -> E. y e. ( A (,) B ) y < X ) )
99	71, 7, 98	spcimgf 3286	. . . . . . 7 |- ( ( X - 1 ) e. _V -> ( A. y ( X e. ( A (,) B ) /\ A = -oo ) -> E. y e. ( A (,) B ) y < X ) )
100	70, 99	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( A. y ( X e. ( A (,) B ) /\ A = -oo ) -> E. y e. ( A (,) B ) y < X )
101	69, 100	sylbir 225	. . . . 5 |- ( ( X e. ( A (,) B ) /\ A = -oo ) -> E. y e. ( A (,) B ) y < X )
102	101	expcom 451	. . . 4 |- ( A = -oo -> ( X e. ( A (,) B ) -> E. y e. ( A (,) B ) y < X ) )
103	46, 68, 102	3jaoi 1391	. . 3 |- ( ( A e. RR \/ A = +oo \/ A = -oo ) -> ( X e. ( A (,) B ) -> E. y e. ( A (,) B ) y < X ) )
104	3, 103	sylbi 207	. 2 |- ( A e. RR* -> ( X e. ( A (,) B ) -> E. y e. ( A (,) B ) y < X ) )
105	2, 104	mpcom 38	1 |- ( X e. ( A (,) B ) -> E. y e. ( A (,) B ) y < X )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   (,)cioo 12175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-ioo 12179

This theorem is referenced by:  relowlpssretop  33212