relowlssretop - Mathbox for ML

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Theorem relowlssretop 33211

Description: The lower limit topology on the reals is finer than the standard topology. (Contributed by ML, 1-Aug-2020.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
relowlssretop.1

**Assertion**
Ref	Expression
relowlssretop

Proof of Theorem relowlssretop Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioof 12271	. . . . . 6
2		ffn 6045	. . . . . 6
3		ovelrn 6810	. . . . . 6
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . . . 5
5		elxr 11950	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$
6		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
7		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . . . . 16
8	6, 7	anim12ci 591	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
9		relowlssretop.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16
10	9	icoreelrn 33209	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
11	8, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
12	7	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
13	7	leidd 10594	. . . . . . . . . . . . . . . 16
14	13	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
15	6	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
16		elioo1 12215	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
17	15, 16	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
18	17	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
19	18	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
20		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
21	20	3anim1i 1248	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
23		elico1 12218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
24	20, 22, 23	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
25	24	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
26	8, 21, 25	syl2im 40	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27		icoreval 33201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
28	8, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
29	28	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
30	26, 29	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31	12, 14, 19, 30	mp3and 1427	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
32		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
33		nfrab1 3122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
34		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16
35		iooval 12199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
36	35	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
37	36	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38	37	pm5.32i 669	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39		rabid 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
40		rabid 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
41	39, 40	anbi12i 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
42		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
43	42	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
44	43	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
46	45, 43	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	46	anim2i 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48		3anass 1042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	47, 48	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
51		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
52	50, 51	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54		xrltletr 11988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
55	49, 53, 54	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
57	56	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	55, 57	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59		rabid 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
60	44, 58, 59	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	60	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		iooval 12199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	61, 63	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	41, 64	sylan2b 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66	38, 65	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	66	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
68	32, 33, 34, 67	ssrd 3608	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
69	22, 68	sylanl2 683	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
70		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
71		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
72	70, 71	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73	72	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
74	11, 31, 69, 73	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
75	74	ancom1s 847	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
76	75	expl 648	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
77	7	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
78		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
80	9	icoreelrn 33209	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
81	77, 79, 80	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
82		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
83	82	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
84	83	leidd 10594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
85	83	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
86	83, 84, 85	jca32 558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
87		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
88		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
89	87, 88	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
90	89	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
91	86, 90	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
92		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
93		nfrab1 3122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
94		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
95		rabid 3116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
96		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	83	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	98	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	96	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101		elioopnf 12267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
102	101	simplbda 654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
103	102	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
105	104	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
106	97, 99, 100, 103, 105	xrltletrd 11992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
107		elioopnf 12267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
108	107	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
110	109	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	96, 106, 110	mp2and 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	111	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
113	95, 112	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
114	92, 93, 94, 113	ssrd 3608	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
115	91, 114	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
117	116	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
118	117	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
119	116	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
120	119	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121	118, 120	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
122	115, 121	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123	122	impl 650	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	123	ancom1s 847	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
125		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
126		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
127	125, 126	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	127	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	81, 124, 128	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
130	129	ancom1s 847	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
131	130	expl 648	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
132	7	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
133		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
134	133	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
135	134	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
136	135	pm5.32i 669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137		nltmnf 11963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
138	137	intnand 962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
139		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
140	138, 139	nsyl 135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
141	140	pm2.21d 118	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
142	141	impd 447	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
143	142	ancomsd 470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
144	136, 143	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
145	20, 144	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
146	132, 145	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
147	146	ancom1s 847	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
148	147	expl 648	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
149	76, 131, 148	3jaoi 1391	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$ $/\$ $/\$
150	5, 149	sylbi 207	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
151	150	expdimp 453	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
152	151	ancoms 469	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
153		eleq2 2690	. . . . . . . 8
154		sseq2 3627	. . . . . . . . . 10
155	154	anbi2d 740	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
156	155	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
157	153, 156	imbi12d 334	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
158	152, 157	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 $/\$ $/\$
159	158	rexlimivv 3036	. . . . 5 $/\$
160	4, 159	sylbi 207	. . . 4 $/\$
161	160	rgen 2922	. . 3 $/\$
162	161	rgenw 2924	. 2 $/\$
163		iooex 12198	. . . . 5
164	163	rnex 7100	. . . 4
165		unirnioo 12273	. . . . 5
166	9	icoreunrn 33207	. . . . 5
167	165, 166	eqtr3i 2646	. . . 4
168		tgss2 20791	. . . 4 $/\$ $/\$
169	164, 167, 168	mp2an 708	. . 3 $/\$
170	165	raleqi 3142	. . 3 $/\$ $/\$
171	169, 170	bitr4i 267	. 2 $/\$
172	162, 171	mpbir 221	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $\/$ w3o 1036 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912

wrex 2913

crab 2916

cvv 3200

wss 3574

cpw 4158

cuni 4436 class class class wbr 4653

cxp 5112

crn 5115

cima 5117

wfn 5883

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cr 9935

c1 9937

caddc 9939

cpnf 10071

cmnf 10072

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cioo 12175

cico 12177

ctg 16098

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-po 5035 df-so 5036 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-ioo 12179 df-ico 12181 df-topgen 16104

This theorem is referenced by: relowlpssretop 33212

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