Theorem iooshift 39748

Description: An open interval shifted by a real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
iooshift.1	|- ( ph -> A e. RR )
iooshift.2	|- ( ph -> B e. RR )
iooshift.3	|- ( ph -> T e. RR )

Assertion

Ref	Expression
iooshift	|- ( ph -> ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) = { w e. CC | E. z e. ( A (,) B ) w = ( z + T ) } )

Distinct variable groups:   w, A, z   w, B, z   w, T, z   ph, z

Allowed substitution hint:   ph( w)

Proof of Theorem iooshift

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2626	. . . . . . 7 |- ( w = x -> ( w = ( z + T ) <-> x = ( z + T ) ) )
2	1	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( w = x -> ( E. z e. ( A (,) B ) w = ( z + T ) <-> E. z e. ( A (,) B ) x = ( z + T ) ) )
3	2	elrab 3363	. . . . 5 |- ( x e. { w e. CC | E. z e. ( A (,) B ) w = ( z + T ) } <-> ( x e. CC /\ E. z e. ( A (,) B ) x = ( z + T ) ) )
4		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ E. z e. ( A (,) B ) x = ( z + T ) ) ) -> E. z e. ( A (,) B ) x = ( z + T ) )
5		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ z ph
6		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ z x e. CC
7		nfre1 3005	. . . . . . . . 9 |- F/ z E. z e. ( A (,) B ) x = ( z + T )
8	6, 7	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ z ( x e. CC /\ E. z e. ( A (,) B ) x = ( z + T ) )
9	5, 8	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ z ( ph /\ ( x e. CC /\ E. z e. ( A (,) B ) x = ( z + T ) ) )
10		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ z x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) )
11		simp3 1063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) /\ x = ( z + T ) ) -> x = ( z + T ) )
12		iooshift.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A e. RR )
13		iooshift.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> T e. RR )
14	12, 13	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A + T ) e. RR )
15	14	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A + T ) e. RR* )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( A + T ) e. RR* )
17		iooshift.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. RR )
18	17, 13	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B + T ) e. RR )
19	18	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( B + T ) e. RR* )
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( B + T ) e. RR* )
21		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A (,) B ) C_ RR
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ RR )
23	22	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> z e. RR )
24	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> T e. RR )
25	23, 24	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( z + T ) e. RR )
26	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
27	26	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR* )
28	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
29	28	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR* )
30		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> z e. ( A (,) B ) )
31		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ z e. ( A (,) B ) ) -> A < z )
32	27, 29, 30, 31	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> A < z )
33	26, 23, 24, 32	ltadd1dd 10638	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( A + T ) < ( z + T ) )
34		iooltub 39735	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ z e. ( A (,) B ) ) -> z < B )
35	27, 29, 30, 34	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> z < B )
36	23, 28, 24, 35	ltadd1dd 10638	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( z + T ) < ( B + T ) )
37	16, 20, 25, 33, 36	eliood 39720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) ) -> ( z + T ) e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) )
38	37	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) /\ x = ( z + T ) ) -> ( z + T ) e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) )
39	11, 38	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( A (,) B ) /\ x = ( z + T ) ) -> x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) )
40	39	3exp 1264	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( z e. ( A (,) B ) -> ( x = ( z + T ) -> x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ) ) )
41	40	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ E. z e. ( A (,) B ) x = ( z + T ) ) ) -> ( z e. ( A (,) B ) -> ( x = ( z + T ) -> x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ) ) )
42	9, 10, 41	rexlimd 3026	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ E. z e. ( A (,) B ) x = ( z + T ) ) ) -> ( E. z e. ( A (,) B ) x = ( z + T ) -> x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ) )
43	4, 42	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ E. z e. ( A (,) B ) x = ( z + T ) ) ) -> x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) )
44	3, 43	sylan2b 492	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. { w e. CC | E. z e. ( A (,) B ) w = ( z + T ) } ) -> x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) )
45		elioore 12205	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) -> x e. RR )
46	45	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ) -> x e. RR )
47	46	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ) -> x e. CC )
48	12	rexrd 10089	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR* )
49	48	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ) -> A e. RR* )
50	17	rexrd 10089	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR* )
51	50	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ) -> B e. RR* )
52	13	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ) -> T e. RR )
53	46, 52	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ) -> ( x - T ) e. RR )
54	12	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. CC )
55	13	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> T e. CC )
56	54, 55	pncand 10393	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A + T ) - T ) = A )
57	56	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A = ( ( A + T ) - T ) )
58	57	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ) -> A = ( ( A + T ) - T ) )
59	14	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ) -> ( A + T ) e. RR )
60	15	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ) -> ( A + T ) e. RR* )
61	19	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ) -> ( B + T ) e. RR* )
62		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ) -> x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) )
63		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A + T ) e. RR* /\ ( B + T ) e. RR* /\ x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ) -> ( A + T ) < x )
64	60, 61, 62, 63	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ) -> ( A + T ) < x )
65	59, 46, 52, 64	ltsub1dd 10639	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ) -> ( ( A + T ) - T ) < ( x - T ) )
66	58, 65	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ) -> A < ( x - T ) )
67	18	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ) -> ( B + T ) e. RR )
68		iooltub 39735	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A + T ) e. RR* /\ ( B + T ) e. RR* /\ x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ) -> x < ( B + T ) )
69	60, 61, 62, 68	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ) -> x < ( B + T ) )
70	46, 67, 52, 69	ltsub1dd 10639	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ) -> ( x - T ) < ( ( B + T ) - T ) )
71	17	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. CC )
72	71, 55	pncand 10393	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( B + T ) - T ) = B )
73	72	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ) -> ( ( B + T ) - T ) = B )
74	70, 73	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ) -> ( x - T ) < B )
75	49, 51, 53, 66, 74	eliood 39720	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ) -> ( x - T ) e. ( A (,) B ) )
76	55	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ) -> T e. CC )
77	47, 76	npcand 10396	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ) -> ( ( x - T ) + T ) = x )
78	77	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ) -> x = ( ( x - T ) + T ) )
79		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( z = ( x - T ) -> ( z + T ) = ( ( x - T ) + T ) )
80	79	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( z = ( x - T ) -> ( x = ( z + T ) <-> x = ( ( x - T ) + T ) ) )
81	80	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( ( x - T ) e. ( A (,) B ) /\ x = ( ( x - T ) + T ) ) -> E. z e. ( A (,) B ) x = ( z + T ) )
82	75, 78, 81	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ) -> E. z e. ( A (,) B ) x = ( z + T ) )
83	47, 82, 3	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ) -> x e. { w e. CC | E. z e. ( A (,) B ) w = ( z + T ) } )
84	44, 83	impbida 877	. . 3 |- ( ph -> ( x e. { w e. CC | E. z e. ( A (,) B ) w = ( z + T ) } <-> x e. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ) )
85	84	eqrdv 2620	. 2 |- ( ph -> { w e. CC | E. z e. ( A (,) B ) w = ( z + T ) } = ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) )
86	85	eqcomd 2628	1 |- ( ph -> ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) = { w e. CC | E. z e. ( A (,) B ) w = ( z + T ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   - cmin 10266   (,)cioo 12175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-ioo 12179

This theorem is referenced by:  cncfshiftioo  40105  fourierdlem48  40371  fourierdlem49  40372  fourierdlem89  40412  fourierdlem91  40414  fourierdlem92  40415