Theorem ltadd1dd 10638

Description: Addition to both sides of 'less than'. Theorem I.18 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
leidd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltnegd.2	|- ( ph -> B e. RR )
ltadd1d.3	|- ( ph -> C e. RR )
ltadd1dd.4	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
ltadd1dd	|- ( ph -> ( A + C ) < ( B + C ) )

Proof of Theorem ltadd1dd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltadd1dd.4	. 2 |- ( ph -> A < B )
2		leidd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
3		ltnegd.2	. . 3 |- ( ph -> B e. RR )
4		ltadd1d.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR )
5	2, 3, 4	ltadd1d 10620	. 2 |- ( ph -> ( A < B <-> ( A + C ) < ( B + C ) ) )
6	1, 5	mpbid 222	1 |- ( ph -> ( A + C ) < ( B + C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   + caddc 9939   < clt 10074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079

This theorem is referenced by:  fzoaddel  12520  elincfzoext  12525  fladdz  12626  fzsdom2  13215  sadcaddlem  15179  iserodd  15540  4sqlem12  15660  efif1olem1  24288  atanlogsublem  24642  subfacval3  31171  poimirlem15  33424  itg2addnclem3  33463  rmspecfund  37474  jm2.24nn  37526  ltadd12dd  39559  infleinflem2  39587  iooshift  39748  iblspltprt  40189  itgspltprt  40195  stirlinglem5  40295  dirkercncflem1  40320  fourierdlem19  40343  fourierdlem35  40359  fourierdlem41  40365  fourierdlem47  40370  fourierdlem48  40371  fourierdlem49  40372  fourierdlem51  40374  fourierdlem64  40387  fourierdlem79  40402  fourierdlem81  40404  fourierdlem92  40415  fourierdlem112  40435  sqwvfoura  40445  sqwvfourb  40446  fouriersw  40448  smflimlem4  40982  2pwp1prm  41503