Theorem fourierdlem89 40412

Description: Given a piecewise continuous function and changing the interval and the partition, the limit at the lower bound of each interval of the moved partition is still finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem89.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem89.t	|- T = ( B - A )
fourierdlem89.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem89.q	|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
fourierdlem89.f	|- ( ph -> F : RR --> CC )
fourierdlem89.per	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
fourierdlem89.fcn	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem89.limc	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
fourierdlem89.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem89.d	|- ( ph -> D e. ( C (,) +oo ) )
fourierdlem89.o	|- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem89.12	|- H = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
fourierdlem89.n	|- N = ( ( # ` H ) - 1 )
fourierdlem89.s	|- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
fourierdlem89.e	|- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
fourierdlem89.z	|- Z = ( y e. ( A (,] B ) |-> if ( y = B , A , y ) )
fourierdlem89.j	|- ( ph -> J e. ( 0..^ N ) )
fourierdlem89.u	|- U = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
fourierdlem89.20	|- I = ( x e. RR |-> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( Z ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) )
fourierdlem89.21	|- V = ( i e. ( 0..^ M ) |-> R )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem89	|- ( ph -> if ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( F ` ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) ) e. ( ( F |` ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` J ) ) )

Distinct variable groups:   x, k   A, f, k, y   A, i, x, k, y   A, m, p, i   B, f, k, y   B, i, x   B, m, p   C, f, y   C, i, m, p   x, C   D, f, y   D, i, m, p   x, D   f, E, k, y   i, E, x   i, F, x, y   f, I, k, y   i, I, x   i, J, x, y   i, M, x   m, M, p   f, N, k, y   i, N, x   m, N, p   Q, f, k, y   Q, i, x   Q, p   S, f, k, y   S, i, x   S, p   T, f, k, y   T, i, x   x, U, y   x, V, y   i, Z, x, y   ph, f, k, y   ph, i, x

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   C( k)   D( k)   P( x, y, f, i, k, m, p)   Q( m)   R( x, y, f, i, k, m, p)   S( m)   T( m, p)   U( f, i, k, m, p)   E( m, p)   F( f, k, m, p)   H( x, y, f, i, k, m, p)   I( m, p)   J( f, k, m, p)   M( y, f, k)   O( x, y, f, i, k, m, p)   V( f, i, k, m, p)   Z( f, k, m, p)

Proof of Theorem fourierdlem89

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem89.q	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
2		fourierdlem89.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. NN )
3		fourierdlem89.p	. . . . . . . . . . . . . 14 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
4	3	fourierdlem2 40326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
5	2, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q e. ( P ` M ) <-> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
6	1, 5	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) /\ ( ( ( Q ` 0 ) = A /\ ( Q ` M ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) )
7	6	simpld 475	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) )
8		elmapi 7879	. . . . . . . . . 10 |- ( Q e. ( RR ^m ( 0 ... M ) ) -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q : ( 0 ... M ) --> RR )
10		fzossfz 12488	. . . . . . . . . 10 |- ( 0..^ M ) C_ ( 0 ... M )
11		fourierdlem89.t	. . . . . . . . . . . . 13 |- T = ( B - A )
12		fourierdlem89.e	. . . . . . . . . . . . 13 |- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
13		fourierdlem89.z	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z = ( y e. ( A (,] B ) |-> if ( y = B , A , y ) )
14		fourierdlem89.20	. . . . . . . . . . . . 13 |- I = ( x e. RR |-> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( Z ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) )
15	3, 2, 1, 11, 12, 13, 14	fourierdlem37 40361	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( I : RR --> ( 0..^ M ) /\ ( x e. RR -> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( Z ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) e. { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( Z ` ( E ` x ) ) } ) ) )
16	15	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> I : RR --> ( 0..^ M ) )
17		fourierdlem89.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> C e. RR )
18		fourierdlem89.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> D e. ( C (,) +oo ) )
19		elioore 12205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( D e. ( C (,) +oo ) -> D e. RR )
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> D e. RR )
21		elioo4g 12234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( D e. ( C (,) +oo ) <-> ( ( C e. RR* /\ +oo e. RR* /\ D e. RR ) /\ ( C < D /\ D < +oo ) ) )
22	18, 21	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( C e. RR* /\ +oo e. RR* /\ D e. RR ) /\ ( C < D /\ D < +oo ) ) )
23	22	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( C < D /\ D < +oo ) )
24	23	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> C < D )
25		fourierdlem89.o	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
26		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = x -> ( y + ( k x. T ) ) = ( x + ( k x. T ) ) )
27	26	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( y = x -> ( ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
28	27	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y = x -> ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
29	28	cbvrabv 3199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } = { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q }
30	29	uneq2i 3764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
31		fourierdlem89.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- N = ( ( # ` H ) - 1 )
32		fourierdlem89.12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- H = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
33	32	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( # ` H ) = ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) )
34	33	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( # ` H ) - 1 ) = ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 )
35	31, 34	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- N = ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 )
36		fourierdlem89.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
37		isoeq5 6571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( H = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) -> ( f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) <-> f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) ) )
38	32, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) <-> f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) )
39	38	iotabii 5873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) ) = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) )
40	36, 39	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) )
41	11, 3, 2, 1, 17, 20, 24, 25, 30, 35, 40	fourierdlem54 40377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( N e. NN /\ S e. ( O ` N ) ) /\ S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) ) )
42	41	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( N e. NN /\ S e. ( O ` N ) ) )
43	42	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> S e. ( O ` N ) )
44	42	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N e. NN )
45	25	fourierdlem2 40326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> ( S e. ( O ` N ) <-> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = C /\ ( S ` N ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( S e. ( O ` N ) <-> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = C /\ ( S ` N ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
47	43, 46	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) /\ ( ( ( S ` 0 ) = C /\ ( S ` N ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) ) ) )
48	47	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) )
49		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. ( RR ^m ( 0 ... N ) ) -> S : ( 0 ... N ) --> RR )
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) --> RR )
51		fourierdlem89.j	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> J e. ( 0..^ N ) )
52		elfzofz 12485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> J e. ( 0 ... N ) )
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> J e. ( 0 ... N ) )
54	50, 53	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( S ` J ) e. RR )
55	16, 54	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) )
56	10, 55	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0 ... M ) )
57	9, 56	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. RR )
58	57	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. RR* )
59	58	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. RR* )
60		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) -> ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
61	55, 60	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
62	9, 61	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) e. RR )
63	62	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) e. RR* )
64	63	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) -> ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) e. RR* )
65	3, 2, 1	fourierdlem11 40335	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A e. RR /\ B e. RR /\ A < B ) )
66	65	simp1d 1073	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. RR )
67	65	simp2d 1074	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. RR )
68	66, 67	iccssred 39727	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
69	65	simp3d 1075	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A < B )
70	66, 67, 69, 13	fourierdlem17 40341	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Z : ( A (,] B ) --> ( A [,] B ) )
71	66, 67, 69, 11, 12	fourierdlem4 40328	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E : RR --> ( A (,] B ) )
72	71, 54	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E ` ( S ` J ) ) e. ( A (,] B ) )
73	70, 72	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) e. ( A [,] B ) )
74	68, 73	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) e. RR )
75	74	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) -> ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) e. RR )
76	57	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. RR )
77	66	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. RR* )
78		iocssre 12253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A (,] B ) C_ RR )
79	77, 67, 78	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A (,] B ) C_ RR )
80		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
81	51, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( J + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
82	50, 81	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. RR )
83	71, 82	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. ( A (,] B ) )
84	79, 83	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. RR )
85	47	simprrd 797	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) )
86		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = J -> ( S ` i ) = ( S ` J ) )
87		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = J -> ( i + 1 ) = ( J + 1 ) )
88	87	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = J -> ( S ` ( i + 1 ) ) = ( S ` ( J + 1 ) ) )
89	86, 88	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = J -> ( ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) <-> ( S ` J ) < ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
90	89	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. i e. ( 0..^ N ) ( S ` i ) < ( S ` ( i + 1 ) ) /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( S ` J ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
91	85, 51, 90	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( S ` J ) < ( S ` ( J + 1 ) ) )
92	54, 82	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( S ` J ) < ( S ` ( J + 1 ) ) <-> 0 < ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) )
93	91, 92	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) )
94	51	ancli 574	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) )
95		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = J -> ( j e. ( 0..^ N ) <-> J e. ( 0..^ N ) ) )
96	95	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = J -> ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) <-> ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) ) )
97		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = J -> ( j + 1 ) = ( J + 1 ) )
98	97	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = J -> ( S ` ( j + 1 ) ) = ( S ` ( J + 1 ) ) )
99	98	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = J -> ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) = ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
100		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = J -> ( S ` j ) = ( S ` J ) )
101	100	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = J -> ( E ` ( S ` j ) ) = ( E ` ( S ` J ) ) )
102	101	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = J -> ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) = ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) )
103	99, 102	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = J -> ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) )
104	98, 100	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = J -> ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) )
105	103, 104	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = J -> ( ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) <-> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) )
106	96, 105	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = J -> ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) ) <-> ( ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) ) )
107	11	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k x. T ) = ( k x. ( B - A ) )
108	107	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y + ( k x. T ) ) = ( y + ( k x. ( B - A ) ) )
109	108	eleq1i 2692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q )
110	109	rexbii 3041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q )
111	110	rgenw 2924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- A. y e. ( C [,] D ) ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q )
112		rabbi 3120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A. y e. ( C [,] D ) ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q ) <-> { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } = { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } )
113	111, 112	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } = { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q }
114	113	uneq2i 3764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } )
115	114	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) = ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) )
116	115	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) - 1 ) = ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) - 1 )
117	35, 116	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- N = ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) - 1 )
118		isoeq5 6571	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) -> ( f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) <-> f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) ) )
119	114, 118	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) <-> f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) )
120	119	iotabii 5873	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) ) ) = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) )
121	40, 120	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) )
122		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( S ` j ) + ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( ( S ` j ) + ( B - ( E ` ( S ` j ) ) ) )
123	3, 11, 2, 1, 17, 18, 25, 117, 121, 12, 13, 122	fourierdlem65 40388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) ) = ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) )
124	106, 123	vtoclg 3266	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) )
125	51, 94, 124	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) )
126	93, 125	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) )
127	74, 84	posdifd 10614	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) <-> 0 < ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) ) )
128	126, 127	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) < ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
129		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ph )
130	102, 99	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = J -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) = ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
131	100	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = J -> ( I ` ( S ` j ) ) = ( I ` ( S ` J ) ) )
132	131	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = J -> ( Q ` ( I ` ( S ` j ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) )
133	131	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = J -> ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) = ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) )
134	133	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = J -> ( Q ` ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
135	132, 134	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = J -> ( ( Q ` ( I ` ( S ` j ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) ) ) = ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
136	130, 135	sseq12d 3634	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = J -> ( ( ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` j ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) ) ) <-> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) )
137	96, 136	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = J -> ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` j ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) ) ) ) <-> ( ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ) )
138		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S ` j ) + if ( ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) < ( ( Q ` 1 ) - A ) , ( ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) / 2 ) , ( ( ( Q ` 1 ) - A ) / 2 ) ) ) = ( ( S ` j ) + if ( ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) < ( ( Q ` 1 ) - A ) , ( ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( S ` j ) ) / 2 ) , ( ( ( Q ` 1 ) - A ) / 2 ) ) )
139	11, 3, 2, 1, 17, 20, 24, 25, 30, 35, 40, 12, 13, 138, 14	fourierdlem79 40402	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` j ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` j ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) ) ) )
140	137, 139	vtoclg 3266	. . . . . . . . . . . 12 |- ( J e. ( 0..^ N ) -> ( ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) )
141	140	anabsi7 860	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ J e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
142	129, 51, 141	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
143	57, 62, 74, 84, 128, 142	fourierdlem10 40334	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) <_ ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) /\ ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) <_ ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
144	143	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) <_ ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) )
145	144	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) <_ ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) )
146		neqne 2802	. . . . . . . 8 |- ( -. ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) -> ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) =/= ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) )
147	146	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) -> ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) =/= ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) )
148	76, 75, 145, 147	leneltd 10191	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) < ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) )
149	143	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) <_ ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
150	74, 84, 62, 128, 149	ltletrd 10197	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) < ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
151	150	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) -> ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) < ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
152	59, 64, 75, 148, 151	eliood 39720	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) -> ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
153		fvres 6207	. . . . 5 |- ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( F ` ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) )
154	152, 153	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( F ` ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) )
155	154	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) -> ( F ` ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) )
156	155	ifeq2da 4117	. 2 |- ( ph -> if ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( F ` ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) ) = if ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) ) )
157		fourierdlem89.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : RR --> CC )
158		fdm 6051	. . . . . . . 8 |- ( F : RR --> CC -> dom F = RR )
159	157, 158	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom F = RR )
160	159	feq2d 6031	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F : dom F --> CC <-> F : RR --> CC ) )
161	157, 160	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ph -> F : dom F --> CC )
162		ioosscn 39716	. . . . . 6 |- ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ CC
163	162	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ CC )
164		ioossre 12235	. . . . . 6 |- ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ RR
165	164, 159	syl5sseqr 3654	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) C_ dom F )
166		fourierdlem89.u	. . . . . . 7 |- U = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
167	82, 84	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) e. RR )
168	166, 167	syl5eqel 2705	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. RR )
169	168	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> U e. CC )
170		eqid 2622	. . . . 5 |- { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) } = { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) }
171	74, 84, 168	iooshift 39748	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) (,) ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) ) = { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) } )
172		ioossre 12235	. . . . . . 7 |- ( ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) (,) ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) ) C_ RR
173	172, 159	syl5sseqr 3654	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) (,) ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) ) C_ dom F )
174	171, 173	eqsstr3d 3640	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) } C_ dom F )
175		elioore 12205	. . . . . 6 |- ( y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) -> y e. RR )
176	67, 66	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
177	11, 176	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> T e. RR )
178	177	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T e. CC )
179	66, 67	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
180	69, 179	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 < ( B - A ) )
181	180, 11	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 < T )
182	181	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T =/= 0 )
183	169, 178, 182	divcan1d 10802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( U / T ) x. T ) = U )
184	183	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U = ( ( U / T ) x. T ) )
185	184	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y + U ) = ( y + ( ( U / T ) x. T ) ) )
186	185	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( y + U ) = ( y + ( ( U / T ) x. T ) ) )
187	186	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` ( y + U ) ) = ( F ` ( y + ( ( U / T ) x. T ) ) ) )
188	157	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> F : RR --> CC )
189	177	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> T e. RR )
190	84	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. CC )
191	82	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( S ` ( J + 1 ) ) e. CC )
192	190, 191	negsubdi2d 10408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -u ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
193	192	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = -u ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
194	193	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) / T ) = ( -u ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) )
195	166	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U / T ) = ( ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) / T )
196	195	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( U / T ) = ( ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) / T ) )
197	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) ) )
198		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> x = ( S ` ( J + 1 ) ) )
199		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( B - x ) = ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
200	199	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( ( B - x ) / T ) = ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) )
201	200	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) = ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) )
202	201	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) = ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) )
203	198, 202	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = ( S ` ( J + 1 ) ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) )
204	203	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x = ( S ` ( J + 1 ) ) ) -> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) )
205	67, 82	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. RR )
206	205, 177, 182	redivcld 10853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) e. RR )
207	206	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) e. ZZ )
208	207	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) e. RR )
209	208, 177	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) e. RR )
210	82, 209	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) e. RR )
211	197, 204, 82, 210	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) )
212	211	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
213	208	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) e. CC )
214	213, 178	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) e. CC )
215	191, 214	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) )
216	212, 215	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) = ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) )
217	216, 214	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) e. CC )
218	217, 178, 182	divnegd 10814	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) = ( -u ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) )
219	194, 196, 218	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( U / T ) = -u ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) )
220	216	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) = ( ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) / T ) )
221	213, 178, 182	divcan4d 10807	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) x. T ) / T ) = ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) )
222	220, 221	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) = ( |_ ` ( ( B - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) ) )
223	222, 207	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) e. ZZ )
224	223	znegcld 11484	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) / T ) e. ZZ )
225	219, 224	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( U / T ) e. ZZ )
226	225	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( U / T ) e. ZZ )
227		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. RR )
228		fourierdlem89.per	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
229	228	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
230	188, 189, 226, 227, 229	fperiodmul 39518	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` ( y + ( ( U / T ) x. T ) ) ) = ( F ` y ) )
231	187, 230	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` ( y + U ) ) = ( F ` y ) )
232	175, 231	sylan2 491	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) -> ( F ` ( y + U ) ) = ( F ` y ) )
233	6	simprrd 797	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) )
234		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( Q ` i ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) )
235		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( i + 1 ) = ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) )
236	235	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( Q ` ( i + 1 ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
237	234, 236	breq12d 4666	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) <-> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) < ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
238	237	rspccva 3308	. . . . . . . 8 |- ( ( A. i e. ( 0..^ M ) ( Q ` i ) < ( Q ` ( i + 1 ) ) /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) < ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
239	233, 55, 238	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) < ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) )
240	55	ancli 574	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) )
241		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( i e. ( 0..^ M ) <-> ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) )
242	241	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) <-> ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) )
243	234, 236	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) = ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
244	243	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) )
245	243	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) = ( ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
246	244, 245	eleq12d 2695	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) <-> ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
247	242, 246	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) <-> ( ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) ) )
248		fourierdlem89.fcn	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
249	247, 248	vtoclg 3266	. . . . . . . 8 |- ( ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) -> ( ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -cn-> CC ) ) )
250	55, 240, 249	sylc 65	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
251		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) )
252		fourierdlem89.21	. . . . . . . . . . . . 13 |- V = ( i e. ( 0..^ M ) |-> R )
253		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ i ( i e. ( 0..^ M ) |-> R )
254	252, 253	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i V
255		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ i ( I ` ( S ` J ) )
256	254, 255	nffv 6198	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) )
257	256	nfel1 2779	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) )
258	251, 257	nfim 1825	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) )
259	242	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) )
260	259	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) )
261		fourierdlem89.limc	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
262	260, 261	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
263		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( V ` i ) = ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) )
264	263	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) = ( V ` i ) )
265	264	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) = ( V ` i ) )
266	259	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
267		elex 3212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) -> R e. _V )
268	259, 261, 267	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> R e. _V )
269	252	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i e. ( 0..^ M ) /\ R e. _V ) -> ( V ` i ) = R )
270	266, 268, 269	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( V ` i ) = R )
271	265, 270	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) = R )
272	271	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) = R )
273	244, 234	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) )
274	273	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
275	274	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
276	262, 272, 275	3eltr4d 2716	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i = ( I ` ( S ` J ) ) /\ ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) ) /\ ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) ) -> ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) )
277	276	3exp 1264	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) ) -> ( ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) ) ) )
278	261	2a1i 12	. . . . . . . . . 10 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) ) -> ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) ) ) )
279	277, 278	impbid 202	. . . . . . . . 9 |- ( i = ( I ` ( S ` J ) ) -> ( ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) ) <-> ( ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) ) ) )
280	258, 279, 261	vtoclg1f 3265	. . . . . . . 8 |- ( ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) -> ( ( ph /\ ( I ` ( S ` J ) ) e. ( 0..^ M ) ) -> ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) ) )
281	55, 240, 280	sylc 65	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) ) )
282		eqid 2622	. . . . . . 7 |- if ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) ) = if ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) )
283		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) [,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) [,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) )
284	57, 62, 239, 250, 281, 74, 84, 128, 142, 282, 283	fourierdlem32 40356	. . . . . 6 |- ( ph -> if ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) ) e. ( ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) |` ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) lim CC ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) )
285	142	resabs1d 5428	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) |` ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) = ( F |` ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) )
286	285	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) |` ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) lim CC ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( F |` ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) lim CC ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) )
287	284, 286	eleqtrd 2703	. . . . 5 |- ( ph -> if ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) ) e. ( ( F |` ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) lim CC ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) )
288	161, 163, 165, 169, 170, 174, 232, 287	limcperiod 39860	. . . 4 |- ( ph -> if ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) ) e. ( ( F |` { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) } ) lim CC ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) ) )
289	166	oveq2i 6661	. . . . . . 7 |- ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) = ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
290	289	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) = ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) )
291	17, 20	iccssred 39727	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( C [,] D ) C_ RR )
292		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ CC
293	291, 292	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( C [,] D ) C_ CC )
294	25, 44, 43	fourierdlem15 40339	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) --> ( C [,] D ) )
295	294, 53	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S ` J ) e. ( C [,] D ) )
296	293, 295	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( S ` J ) e. CC )
297	191, 296	subcld 10392	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) e. CC )
298	74	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) e. CC )
299	190, 297, 298	subsub23d 39499	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) = ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) <-> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) )
300	125, 299	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) = ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) )
301	300	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) )
302	301	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) = ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) )
303	190, 297	subcld 10392	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) e. CC )
304	303, 191, 190	addsub12d 10415	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) )
305	190, 297, 190	sub32d 10424	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) )
306	190	subidd 10380	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = 0 )
307	306	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) = ( 0 - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) )
308		df-neg 10269	. . . . . . . . . 10 |- -u ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) = ( 0 - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) )
309	191, 296	negsubdi2d 10408	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) = ( ( S ` J ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
310	308, 309	syl5eqr 2670	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) = ( ( S ` J ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
311	305, 307, 310	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = ( ( S ` J ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
312	311	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) = ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( S ` J ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
313	191, 296	pncan3d 10395	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( S ` ( J + 1 ) ) + ( ( S ` J ) - ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) = ( S ` J ) )
314	304, 312, 313	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) - ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( S ` J ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) = ( S ` J ) )
315	290, 302, 314	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) = ( S ` J ) )
316	315	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F |` { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) } ) lim CC ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) ) = ( ( F |` { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) } ) lim CC ( S ` J ) ) )
317	288, 316	eleqtrd 2703	. . 3 |- ( ph -> if ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) ) e. ( ( F |` { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) } ) lim CC ( S ` J ) ) )
318	166	oveq2i 6661	. . . . . . . 8 |- ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) = ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
319	190, 191	pncan3d 10395	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + ( ( S ` ( J + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) ) = ( S ` ( J + 1 ) ) )
320	318, 319	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) = ( S ` ( J + 1 ) ) )
321	315, 320	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) + U ) (,) ( ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) + U ) ) = ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
322	171, 321	eqtr3d 2658	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) } = ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) )
323	322	reseq2d 5396	. . . 4 |- ( ph -> ( F |` { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) } ) = ( F |` ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) )
324	323	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ph -> ( ( F |` { x e. CC | E. y e. ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) x = ( y + U ) } ) lim CC ( S ` J ) ) = ( ( F |` ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` J ) ) )
325	317, 324	eleqtrd 2703	. 2 |- ( ph -> if ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( ( F |` ( ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) (,) ( Q ` ( ( I ` ( S ` J ) ) + 1 ) ) ) ) ` ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) ) e. ( ( F |` ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` J ) ) )
326	156, 325	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> if ( ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( V ` ( I ` ( S ` J ) ) ) , ( F ` ( Z ` ( E ` ( S ` J ) ) ) ) ) e. ( ( F |` ( ( S ` J ) (,) ( S ` ( J + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` J ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   ifcif 4086   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   iotacio 5849   -->wf 5884   ` cfv 5888   Isom wiso 5889  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   (,)cioo 12175   (,]cioc 12176   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   |_cfl 12591   #chash 13117   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   -cn->ccncf 22679   lim CC climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-xms 22125  df-ms 22126  df-cncf 22681  df-limc 23630

This theorem is referenced by:  fourierdlem96  40419  fourierdlem100  40423  fourierdlem107  40430  fourierdlem109  40432