Theorem cnprest2 21094

Description: Equivalence of point-continuity in the parent topology and point-continuity in a subspace. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnprest.1	|- X = U. J
cnprest.2	|- Y = U. K

Assertion

Ref	Expression
cnprest2	|- ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) )

Proof of Theorem cnprest2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnptop1 21046	. . . 4 |- ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> J e. Top )
2		cnprest.1	. . . . 5 |- X = U. J
3	2	cnprcl 21049	. . . 4 |- ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> P e. X )
4	1, 3	jca 554	. . 3 |- ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> ( J e. Top /\ P e. X ) )
5	4	a1i 11	. 2 |- ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> ( J e. Top /\ P e. X ) ) )
6		cnptop1 21046	. . . 4 |- ( F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) -> J e. Top )
7	2	cnprcl 21049	. . . 4 |- ( F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) -> P e. X )
8	6, 7	jca 554	. . 3 |- ( F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) -> ( J e. Top /\ P e. X ) )
9	8	a1i 11	. 2 |- ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) -> ( J e. Top /\ P e. X ) ) )
10		simpl2 1065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) -> F : X --> B )
11		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) -> P e. X )
12	10, 11	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) -> ( F ` P ) e. B )
13	12	biantrud 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) -> ( ( F ` P ) e. x <-> ( ( F ` P ) e. x /\ ( F ` P ) e. B ) ) )
14		elin 3796	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` P ) e. ( x i^i B ) <-> ( ( F ` P ) e. x /\ ( F ` P ) e. B ) )
15	13, 14	syl6bbr 278	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) -> ( ( F ` P ) e. x <-> ( F ` P ) e. ( x i^i B ) ) )
16		imassrn 5477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F " y ) C_ ran F
17		frn 6053	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : X --> B -> ran F C_ B )
18	10, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) -> ran F C_ B )
19	16, 18	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) -> ( F " y ) C_ B )
20	19	biantrud 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) -> ( ( F " y ) C_ x <-> ( ( F " y ) C_ x /\ ( F " y ) C_ B ) ) )
21		ssin 3835	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F " y ) C_ x /\ ( F " y ) C_ B ) <-> ( F " y ) C_ ( x i^i B ) )
22	20, 21	syl6bb 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) -> ( ( F " y ) C_ x <-> ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) )
23	22	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) -> ( ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) <-> ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) )
24	23	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) -> ( E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) <-> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) )
25	15, 24	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) -> ( ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) <-> ( ( F ` P ) e. ( x i^i B ) -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) ) )
26	25	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) -> ( A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) <-> A. x e. K ( ( F ` P ) e. ( x i^i B ) -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) ) )
27		vex 3203	. . . . . . . 8 |- x e. _V
28	27	inex1 4799	. . . . . . 7 |- ( x i^i B ) e. _V
29	28	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) /\ x e. K ) -> ( x i^i B ) e. _V )
30		simpl1 1064	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) -> K e. Top )
31		cnprest.2	. . . . . . . . . 10 |- Y = U. K
32		uniexg 6955	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. Top -> U. K e. _V )
33	31, 32	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( K e. Top -> Y e. _V )
34	30, 33	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) -> Y e. _V )
35		simpl3 1066	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) -> B C_ Y )
36	34, 35	ssexd 4805	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) -> B e. _V )
37		elrest 16088	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Top /\ B e. _V ) -> ( z e. ( K ↾t B ) <-> E. x e. K z = ( x i^i B ) ) )
38	30, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) -> ( z e. ( K ↾t B ) <-> E. x e. K z = ( x i^i B ) ) )
39		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( z = ( x i^i B ) -> ( ( F ` P ) e. z <-> ( F ` P ) e. ( x i^i B ) ) )
40		sseq2 3627	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( x i^i B ) -> ( ( F " y ) C_ z <-> ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) )
41	40	anbi2d 740	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x i^i B ) -> ( ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) <-> ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) )
42	41	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( z = ( x i^i B ) -> ( E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) <-> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) )
43	39, 42	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( z = ( x i^i B ) -> ( ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) <-> ( ( F ` P ) e. ( x i^i B ) -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) ) )
44	43	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) /\ z = ( x i^i B ) ) -> ( ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) <-> ( ( F ` P ) e. ( x i^i B ) -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) ) )
45	29, 38, 44	ralxfr2d 4882	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) -> ( A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) <-> A. x e. K ( ( F ` P ) e. ( x i^i B ) -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ ( x i^i B ) ) ) ) )
46	26, 45	bitr4d 271	. . . 4 |- ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) -> ( A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) <-> A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) ) )
47		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) -> J e. Top )
48	2, 31	iscnp2 21043	. . . . . . 7 |- ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X ) /\ ( F : X --> Y /\ A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) ) ) )
49	48	baib 944	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) ) ) )
50	47, 30, 11, 49	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) ) ) )
51	10, 35	fssd 6057	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) -> F : X --> Y )
52	51	biantrurd 529	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) -> ( A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) ) ) )
53	50, 52	bitr4d 271	. . . 4 |- ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> A. x e. K ( ( F ` P ) e. x -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ x ) ) ) )
54	2	toptopon 20722	. . . . . . 7 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
55	47, 54	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) -> J e. (TopOn ` X ) )
56	31	toptopon 20722	. . . . . . . 8 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
57	30, 56	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
58		resttopon 20965	. . . . . . 7 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ B C_ Y ) -> ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) )
59	57, 35, 58	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) -> ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) )
60		iscnp 21041	. . . . . 6 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ ( K ↾t B ) e. (TopOn ` B ) /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) <-> ( F : X --> B /\ A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) ) ) )
61	55, 59, 11, 60	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) -> ( F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) <-> ( F : X --> B /\ A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) ) ) )
62	10	biantrurd 529	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) -> ( A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) <-> ( F : X --> B /\ A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) ) ) )
63	61, 62	bitr4d 271	. . . 4 |- ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) -> ( F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) <-> A. z e. ( K ↾t B ) ( ( F ` P ) e. z -> E. y e. J ( P e. y /\ ( F " y ) C_ z ) ) ) )
64	46, 53, 63	3bitr4d 300	. . 3 |- ( ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) /\ ( J e. Top /\ P e. X ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) )
65	64	ex 450	. 2 |- ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) -> ( ( J e. Top /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) ) )
66	5, 9, 65	pm5.21ndd 369	1 |- ( ( K e. Top /\ F : X --> B /\ B C_ Y ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> F e. ( ( J CnP ( K ↾t B ) ) ` P ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   U.cuni 4436   ran crn 5115   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   CnP ccnp 21029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cnp 21032

This theorem is referenced by:  limccnp  23655  limccnp2  23656  dirkercncflem4  40323  dirkercncf  40324  fouriercnp  40443