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Theorem cnprest 21093
Description: Equivalence of continuity at a point and continuity of the restricted function at a point. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnprest.1 |- X = U. J
cnprest.2 |- Y = U. K
Assertion
Ref Expression
cnprest |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) ) )
Proof of Theorem cnprest
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnptop2 21047 . . 3 |- ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> K e. Top )
21a1i 11 . 2 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) -> K e. Top ) )
3 cnptop2 21047 . . 3 |- ( ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) -> K e. Top )
43a1i 11 . 2 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) -> K e. Top ) )
5 cnprest.1 . . . . . . . . . . . 12 |- X = U. J
65ntrss2 20861 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` A ) C_ A )
763ad2ant1 1082 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( ( int ` J ) ` A ) C_ A )
8 simp2l 1087 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> P e. ( ( int ` J ) ` A ) )
97, 8sseldd 3604 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> P e. A )
10 fvres 6207 . . . . . . . . 9 |- ( P e. A -> ( ( F |` A ) ` P ) = ( F ` P ) )
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( ( F |` A ) ` P ) = ( F ` P ) )
1211eqcomd 2628 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( F ` P ) = ( ( F |` A ) ` P ) )
1312eleq1d 2686 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( ( F ` P ) e. y <-> ( ( F |` A ) ` P ) e. y ) )
14 inss1 3833 . . . . . . . . . . 11 |- ( x i^i A ) C_ x
15 imass2 5501 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x i^i A ) C_ x -> ( F " ( x i^i A ) ) C_ ( F " x ) )
16 sstr2 3610 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F " ( x i^i A ) ) C_ ( F " x ) -> ( ( F " x ) C_ y -> ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) )
1714, 15, 16mp2b 10 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F " x ) C_ y -> ( F " ( x i^i A ) ) C_ y )
1817anim2i 593 . . . . . . . . 9 |- ( ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> ( P e. x /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) )
1918reximi 3011 . . . . . . . 8 |- ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) )
20 simp1l 1085 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> J e. Top )
215ntropn 20853 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ A C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` A ) e. J )
22213ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( ( int ` J ) ` A ) e. J )
23 inopn 20704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. Top /\ x e. J /\ ( ( int ` J ) ` A ) e. J ) -> ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) e. J )
24233com23 1271 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. Top /\ ( ( int ` J ) ` A ) e. J /\ x e. J ) -> ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) e. J )
25243expia 1267 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. Top /\ ( ( int ` J ) ` A ) e. J ) -> ( x e. J -> ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) e. J ) )
2620, 22, 25syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( x e. J -> ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) e. J ) )
27 elin 3796 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) <-> ( P e. x /\ P e. ( ( int ` J ) ` A ) ) )
2827simplbi2com 657 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) -> ( P e. x -> P e. ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) )
298, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( P e. x -> P e. ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) )
30 sslin 3839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( int ` J ) ` A ) C_ A -> ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) C_ ( x i^i A ) )
317, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) C_ ( x i^i A ) )
32 imass2 5501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) C_ ( x i^i A ) -> ( F " ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) C_ ( F " ( x i^i A ) ) )
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( F " ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) C_ ( F " ( x i^i A ) ) )
34 sstr2 3610 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F " ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) C_ ( F " ( x i^i A ) ) -> ( ( F " ( x i^i A ) ) C_ y -> ( F " ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) C_ y ) )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( ( F " ( x i^i A ) ) C_ y -> ( F " ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) C_ y ) )
3629, 35anim12d 586 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( ( P e. x /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) -> ( P e. ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) /\ ( F " ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) C_ y ) ) )
3726, 36anim12d 586 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) ) -> ( ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) e. J /\ ( P e. ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) /\ ( F " ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) C_ y ) ) ) )
38 eleq2 2690 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) -> ( P e. z <-> P e. ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) )
39 imaeq2 5462 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) -> ( F " z ) = ( F " ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) )
4039sseq1d 3632 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) -> ( ( F " z ) C_ y <-> ( F " ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) C_ y ) )
4138, 40anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) -> ( ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) <-> ( P e. ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) /\ ( F " ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) C_ y ) ) )
4241rspcev 3309 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) e. J /\ ( P e. ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) /\ ( F " ( x i^i ( ( int ` J ) ` A ) ) ) C_ y ) ) -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) )
4337, 42syl6 35 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( ( x e. J /\ ( P e. x /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) ) -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) ) )
4443expdimp 453 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) /\ x e. J ) -> ( ( P e. x /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) ) )
4544rexlimdva 3031 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) -> E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) ) )
46 eleq2 2690 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> ( P e. z <-> P e. x ) )
47 imaeq2 5462 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( F " z ) = ( F " x ) )
4847sseq1d 3632 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> ( ( F " z ) C_ y <-> ( F " x ) C_ y ) )
4946, 48anbi12d 747 . . . . . . . . . 10 |- ( z = x -> ( ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) <-> ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) )
5049cbvrexv 3172 . . . . . . . . 9 |- ( E. z e. J ( P e. z /\ ( F " z ) C_ y ) <-> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) )
5145, 50syl6ib 241 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) )
5219, 51impbid2 216 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) <-> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) ) )
53 vex 3203 . . . . . . . . . 10 |- x e. _V
5453inex1 4799 . . . . . . . . 9 |- ( x i^i A ) e. _V
5554a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) /\ x e. J ) -> ( x i^i A ) e. _V )
56 uniexg 6955 . . . . . . . . . . 11 |- ( J e. Top -> U. J e. _V )
5720, 56syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> U. J e. _V )
58 simp1r 1086 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> A C_ X )
5958, 5syl6sseq 3651 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> A C_ U. J )
6057, 59ssexd 4805 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> A e. _V )
61 elrest 16088 . . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ A e. _V ) -> ( z e. ( J ↾t A ) <-> E. x e. J z = ( x i^i A ) ) )
6220, 60, 61syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( z e. ( J ↾t A ) <-> E. x e. J z = ( x i^i A ) ) )
63 eleq2 2690 . . . . . . . . . 10 |- ( z = ( x i^i A ) -> ( P e. z <-> P e. ( x i^i A ) ) )
64 elin 3796 . . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. ( x i^i A ) <-> ( P e. x /\ P e. A ) )
6564rbaib 947 . . . . . . . . . . 11 |- ( P e. A -> ( P e. ( x i^i A ) <-> P e. x ) )
669, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( P e. ( x i^i A ) <-> P e. x ) )
6763, 66sylan9bbr 737 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( P e. z <-> P e. x ) )
68 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> z = ( x i^i A ) )
6968imaeq2d 5466 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( ( F |` A ) " z ) = ( ( F |` A ) " ( x i^i A ) ) )
70 inss2 3834 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x i^i A ) C_ A
71 resima2 5432 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x i^i A ) C_ A -> ( ( F |` A ) " ( x i^i A ) ) = ( F " ( x i^i A ) ) )
7270, 71ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( F |` A ) " ( x i^i A ) ) = ( F " ( x i^i A ) )
7369, 72syl6eq 2672 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( ( F |` A ) " z ) = ( F " ( x i^i A ) ) )
7473sseq1d 3632 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( ( ( F |` A ) " z ) C_ y <-> ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) )
7567, 74anbi12d 747 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) /\ z = ( x i^i A ) ) -> ( ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) <-> ( P e. x /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) ) )
7655, 62, 75rexxfr2d 4883 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) <-> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " ( x i^i A ) ) C_ y ) ) )
7752, 76bitr4d 271 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) <-> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) )
7813, 77imbi12d 334 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) <-> ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) ) )
7978ralbidv 2986 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) <-> A. y e. K ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) ) )
80 simp3 1063 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> K e. Top )
8158, 9sseldd 3604 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> P e. X )
82 cnprest.2 . . . . . . . 8 |- Y = U. K
835, 82iscnp2 21043 . . . . . . 7 |- ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X ) /\ ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
8483baib 944 . . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ K e. Top /\ P e. X ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
8520, 80, 81, 84syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
86 simp2r 1088 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> F : X --> Y )
8786biantrurd 529 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) ) )
8885, 87bitr4d 271 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> A. y e. K ( ( F ` P ) e. y -> E. x e. J ( P e. x /\ ( F " x ) C_ y ) ) ) )
895toptopon 20722 . . . . . . . 8 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
9020, 89sylib 208 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> J e. (TopOn ` X ) )
91 resttopon 20965 . . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ A C_ X ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
9290, 58, 91syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) )
9382toptopon 20722 . . . . . . 7 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` Y ) )
9480, 93sylib 208 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
95 iscnp 21041 . . . . . 6 |- ( ( ( J ↾t A ) e. (TopOn ` A ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ P e. A ) -> ( ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) <-> ( ( F |` A ) : A --> Y /\ A. y e. K ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) ) ) )
9692, 94, 9, 95syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) <-> ( ( F |` A ) : A --> Y /\ A. y e. K ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) ) ) )
9786, 58fssresd 6071 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( F |` A ) : A --> Y )
9897biantrurd 529 . . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( A. y e. K ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) <-> ( ( F |` A ) : A --> Y /\ A. y e. K ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) ) ) )
9996, 98bitr4d 271 . . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) <-> A. y e. K ( ( ( F |` A ) ` P ) e. y -> E. z e. ( J ↾t A ) ( P e. z /\ ( ( F |` A ) " z ) C_ y ) ) ) )
10079, 88, 993bitr4d 300 . . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) /\ K e. Top ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) ) )
1011003expia 1267 . 2 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( K e. Top -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) ) ) )
1022, 4, 101pm5.21ndd 369 1 |- ( ( ( J e. Top /\ A C_ X ) /\ ( P e. ( ( int ` J ) ` A ) /\ F : X --> Y ) ) -> ( F e. ( ( J CnP K ) ` P ) <-> ( F |` A ) e. ( ( ( J ↾t A ) CnP K ) ` P ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   U.cuni 4436   |` cres 5116   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾t crest 16081   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   intcnt 20821   CnP ccnp 21029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-cnp 21032
This theorem is referenced by:  limcres  23650  dvcnvrelem2  23781  psercn  24180  abelth  24195  cxpcn3  24489  efrlim  24696  cvmlift2lem11  31295  cvmlift2lem12  31296  cvmlift3lem7  31307  cncfuni  40099  cncfiooicclem1  40106  dirkercncflem4  40323  fourierdlem62  40385
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