Theorem isf32lem5 9179

Description: Lemma for isfin3-2 9189. There are infinite decrease points. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isf32lem.a	|- ( ph -> F : om --> ~P G )
isf32lem.b	|- ( ph -> A. x e. om ( F ` suc x ) C_ ( F ` x ) )
isf32lem.c	|- ( ph -> -. |^| ran F e. ran F )
isf32lem.d	|- S = { y e. om | ( F ` suc y ) C. ( F ` y ) }

Assertion

Ref	Expression
isf32lem5	|- ( ph -> -. S e. Fin )

Distinct variable groups:   x, y, ph   x, F, y   x, S, y

Allowed substitution hints:   G( x, y)

Proof of Theorem isf32lem5

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isf32lem.a	. . . 4 |- ( ph -> F : om --> ~P G )
2		isf32lem.b	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. om ( F ` suc x ) C_ ( F ` x ) )
3		isf32lem.c	. . . 4 |- ( ph -> -. |^| ran F e. ran F )
4	1, 2, 3	isf32lem2 9176	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. om ) -> E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
5	4	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. a e. om E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
6		isf32lem.d	. . . . . . . 8 |- S = { y e. om | ( F ` suc y ) C. ( F ` y ) }
7		ssrab2 3687	. . . . . . . 8 |- { y e. om | ( F ` suc y ) C. ( F ` y ) } C_ om
8	6, 7	eqsstri 3635	. . . . . . 7 |- S C_ om
9		nnunifi 8211	. . . . . . 7 |- ( ( S C_ om /\ S e. Fin ) -> U. S e. om )
10	8, 9	mpan 706	. . . . . 6 |- ( S e. Fin -> U. S e. om )
11	10	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S e. Fin ) -> U. S e. om )
12		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. S -> b C_ U. S )
13		nnon 7071	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. om -> b e. On )
14		omsson 7069	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- om C_ On
15	14, 11	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ S e. Fin ) -> U. S e. On )
16		ontri1 5757	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. On /\ U. S e. On ) -> ( b C_ U. S <-> -. U. S e. b ) )
17	13, 15, 16	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ b e. om ) -> ( b C_ U. S <-> -. U. S e. b ) )
18	12, 17	syl5ib 234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ b e. om ) -> ( b e. S -> -. U. S e. b ) )
19	18	con2d 129	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ b e. om ) -> ( U. S e. b -> -. b e. S ) )
20	19	impr 649	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ ( b e. om /\ U. S e. b ) ) -> -. b e. S )
21	6	eleq2i 2693	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. S <-> b e. { y e. om | ( F ` suc y ) C. ( F ` y ) } )
22	20, 21	sylnib 318	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ ( b e. om /\ U. S e. b ) ) -> -. b e. { y e. om | ( F ` suc y ) C. ( F ` y ) } )
23		suceq 5790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = b -> suc y = suc b )
24	23	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = b -> ( F ` suc y ) = ( F ` suc b ) )
25		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = b -> ( F ` y ) = ( F ` b ) )
26	24, 25	psseq12d 3701	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = b -> ( ( F ` suc y ) C. ( F ` y ) <-> ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
27	26	elrab3 3364	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. om -> ( b e. { y e. om | ( F ` suc y ) C. ( F ` y ) } <-> ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
28	27	ad2antrl 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ ( b e. om /\ U. S e. b ) ) -> ( b e. { y e. om | ( F ` suc y ) C. ( F ` y ) } <-> ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
29	22, 28	mtbid 314	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ ( b e. om /\ U. S e. b ) ) -> -. ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) )
30	29	expr 643	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ b e. om ) -> ( U. S e. b -> -. ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
31		imnan 438	. . . . . . 7 |- ( ( U. S e. b -> -. ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) <-> -. ( U. S e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
32	30, 31	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ S e. Fin ) /\ b e. om ) -> -. ( U. S e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
33	32	nrexdv 3001	. . . . 5 |- ( ( ph /\ S e. Fin ) -> -. E. b e. om ( U. S e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
34		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( a = U. S -> ( a e. b <-> U. S e. b ) )
35	34	anbi1d 741	. . . . . . . 8 |- ( a = U. S -> ( ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) <-> ( U. S e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) ) )
36	35	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( a = U. S -> ( E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) <-> E. b e. om ( U. S e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) ) )
37	36	notbid 308	. . . . . 6 |- ( a = U. S -> ( -. E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) <-> -. E. b e. om ( U. S e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) ) )
38	37	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( U. S e. om /\ -. E. b e. om ( U. S e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) ) -> E. a e. om -. E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
39	11, 33, 38	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ S e. Fin ) -> E. a e. om -. E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
40		rexnal 2995	. . . 4 |- ( E. a e. om -. E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) <-> -. A. a e. om E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
41	39, 40	sylib 208	. . 3 |- ( ( ph /\ S e. Fin ) -> -. A. a e. om E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) )
42	41	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( S e. Fin -> -. A. a e. om E. b e. om ( a e. b /\ ( F ` suc b ) C. ( F ` b ) ) ) )
43	5, 42	mt2d 131	1 |- ( ph -> -. S e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   C. wpss 3575   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   |^|cint 4475   ran crn 5115   Oncon0 5723   suc csuc 5725   -->wf 5884   ` cfv 5888   omcom 7065   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  isf32lem6  9180  isf32lem7  9181  isf32lem8  9182