Theorem prdslmodd 18969

Description: The product of a family of left modules is a left module. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdslmodd.y	|- Y = ( S X_s R )
prdslmodd.s	|- ( ph -> S e. Ring )
prdslmodd.i	|- ( ph -> I e. V )
prdslmodd.rm	|- ( ph -> R : I --> LMod )
prdslmodd.rs	|- ( ( ph /\ y e. I ) -> (Scalar ` ( R ` y ) ) = S )

Assertion

Ref	Expression
prdslmodd	|- ( ph -> Y e. LMod )

Distinct variable groups:   y, I   ph, y   y, R   y, S   y, Y

Allowed substitution hint:   V( y)

Proof of Theorem prdslmodd

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2623	. 2 |- ( ph -> ( Base ` Y ) = ( Base ` Y ) )
2		eqidd 2623	. 2 |- ( ph -> ( +g ` Y ) = ( +g ` Y ) )
3		prdslmodd.y	. . 3 |- Y = ( S X_s R )
4		prdslmodd.s	. . 3 |- ( ph -> S e. Ring )
5		prdslmodd.rm	. . . 4 |- ( ph -> R : I --> LMod )
6		prdslmodd.i	. . . 4 |- ( ph -> I e. V )
7		fex 6490	. . . 4 |- ( ( R : I --> LMod /\ I e. V ) -> R e. _V )
8	5, 6, 7	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> R e. _V )
9	3, 4, 8	prdssca 16116	. 2 |- ( ph -> S = (Scalar ` Y ) )
10		eqidd 2623	. 2 |- ( ph -> ( .s ` Y ) = ( .s ` Y ) )
11		eqidd 2623	. 2 |- ( ph -> ( Base ` S ) = ( Base ` S ) )
12		eqidd 2623	. 2 |- ( ph -> ( +g ` S ) = ( +g ` S ) )
13		eqidd 2623	. 2 |- ( ph -> ( .r ` S ) = ( .r ` S ) )
14		eqidd 2623	. 2 |- ( ph -> ( 1r ` S ) = ( 1r ` S ) )
15		lmodgrp 18870	. . . . 5 |- ( a e. LMod -> a e. Grp )
16	15	ssriv 3607	. . . 4 |- LMod C_ Grp
17		fss 6056	. . . 4 |- ( ( R : I --> LMod /\ LMod C_ Grp ) -> R : I --> Grp )
18	5, 16, 17	sylancl 694	. . 3 |- ( ph -> R : I --> Grp )
19	3, 6, 4, 18	prdsgrpd 17525	. 2 |- ( ph -> Y e. Grp )
20		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
21		eqid 2622	. . . 4 |- ( .s ` Y ) = ( .s ` Y )
22		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
23	4	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) -> S e. Ring )
24		elex 3212	. . . . . 6 |- ( I e. V -> I e. _V )
25	6, 24	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> I e. _V )
26	25	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) -> I e. _V )
27	5	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) -> R : I --> LMod )
28		simprl 794	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) -> a e. ( Base ` S ) )
29		simprr 796	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) -> b e. ( Base ` Y ) )
30		prdslmodd.rs	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> (Scalar ` ( R ` y ) ) = S )
31	30	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> (Scalar ` ( R ` y ) ) = S )
32	3, 20, 21, 22, 23, 26, 27, 28, 29, 31	prdsvscacl 18968	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( a ( .s ` Y ) b ) e. ( Base ` Y ) )
33	32	3impb 1260	. 2 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) ) -> ( a ( .s ` Y ) b ) e. ( Base ` Y ) )
34	5	ffvelrnda 6359	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( R ` y ) e. LMod )
35	34	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( R ` y ) e. LMod )
36		simplr1 1103	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> a e. ( Base ` S ) )
37	30	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( Base ` (Scalar ` ( R ` y ) ) ) = ( Base ` S ) )
38	37	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( Base ` (Scalar ` ( R ` y ) ) ) = ( Base ` S ) )
39	36, 38	eleqtrrd 2704	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> a e. ( Base ` (Scalar ` ( R ` y ) ) ) )
40	4	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> S e. Ring )
41	25	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> I e. _V )
42		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( R : I --> LMod -> R Fn I )
43	5, 42	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R Fn I )
44	43	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> R Fn I )
45		simplr2 1104	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> b e. ( Base ` Y ) )
46		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> y e. I )
47	3, 20, 40, 41, 44, 45, 46	prdsbasprj 16132	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( b ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
48		simplr3 1105	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> c e. ( Base ` Y ) )
49	3, 20, 40, 41, 44, 48, 46	prdsbasprj 16132	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( c ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
50		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` ( R ` y ) ) = ( Base ` ( R ` y ) )
51		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( +g ` ( R ` y ) ) = ( +g ` ( R ` y ) )
52		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (Scalar ` ( R ` y ) ) = (Scalar ` ( R ` y ) )
53		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( .s ` ( R ` y ) ) = ( .s ` ( R ` y ) )
54		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` (Scalar ` ( R ` y ) ) ) = ( Base ` (Scalar ` ( R ` y ) ) )
55	50, 51, 52, 53, 54	lmodvsdi 18886	. . . . . 6 |- ( ( ( R ` y ) e. LMod /\ ( a e. ( Base ` (Scalar ` ( R ` y ) ) ) /\ ( b ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) /\ ( c ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) -> ( a ( .s ` ( R ` y ) ) ( ( b ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) = ( ( a ( .s ` ( R ` y ) ) ( b ` y ) ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( a ( .s ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) )
56	35, 39, 47, 49, 55	syl13anc 1328	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( a ( .s ` ( R ` y ) ) ( ( b ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) = ( ( a ( .s ` ( R ` y ) ) ( b ` y ) ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( a ( .s ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) )
57		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( +g ` Y ) = ( +g ` Y )
58	3, 20, 40, 41, 44, 45, 48, 57, 46	prdsplusgfval 16134	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( b ( +g ` Y ) c ) ` y ) = ( ( b ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) )
59	58	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( a ( .s ` ( R ` y ) ) ( ( b ( +g ` Y ) c ) ` y ) ) = ( a ( .s ` ( R ` y ) ) ( ( b ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) )
60	3, 20, 21, 22, 40, 41, 44, 36, 45, 46	prdsvscafval 16140	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( a ( .s ` Y ) b ) ` y ) = ( a ( .s ` ( R ` y ) ) ( b ` y ) ) )
61	3, 20, 21, 22, 40, 41, 44, 36, 48, 46	prdsvscafval 16140	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( a ( .s ` Y ) c ) ` y ) = ( a ( .s ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) )
62	60, 61	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( ( a ( .s ` Y ) b ) ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( a ( .s ` Y ) c ) ` y ) ) = ( ( a ( .s ` ( R ` y ) ) ( b ` y ) ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( a ( .s ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) )
63	56, 59, 62	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( a ( .s ` ( R ` y ) ) ( ( b ( +g ` Y ) c ) ` y ) ) = ( ( ( a ( .s ` Y ) b ) ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( a ( .s ` Y ) c ) ` y ) ) )
64	63	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( y e. I |-> ( a ( .s ` ( R ` y ) ) ( ( b ( +g ` Y ) c ) ` y ) ) ) = ( y e. I |-> ( ( ( a ( .s ` Y ) b ) ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( a ( .s ` Y ) c ) ` y ) ) ) )
65	4	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> S e. Ring )
66	25	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> I e. _V )
67	43	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> R Fn I )
68		simpr1 1067	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> a e. ( Base ` S ) )
69	19	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> Y e. Grp )
70		simpr2 1068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> b e. ( Base ` Y ) )
71		simpr3 1069	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> c e. ( Base ` Y ) )
72	20, 57	grpcl 17430	. . . . 5 |- ( ( Y e. Grp /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) -> ( b ( +g ` Y ) c ) e. ( Base ` Y ) )
73	69, 70, 71, 72	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( b ( +g ` Y ) c ) e. ( Base ` Y ) )
74	3, 20, 21, 22, 65, 66, 67, 68, 73	prdsvscaval 16139	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( a ( .s ` Y ) ( b ( +g ` Y ) c ) ) = ( y e. I |-> ( a ( .s ` ( R ` y ) ) ( ( b ( +g ` Y ) c ) ` y ) ) ) )
75	32	3adantr3 1222	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( a ( .s ` Y ) b ) e. ( Base ` Y ) )
76	4	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> S e. Ring )
77	25	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> I e. _V )
78	5	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> R : I --> LMod )
79		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> a e. ( Base ` S ) )
80		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> c e. ( Base ` Y ) )
81	30	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> (Scalar ` ( R ` y ) ) = S )
82	3, 20, 21, 22, 76, 77, 78, 79, 80, 81	prdsvscacl 18968	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( a ( .s ` Y ) c ) e. ( Base ` Y ) )
83	82	3adantr2 1221	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( a ( .s ` Y ) c ) e. ( Base ` Y ) )
84	3, 20, 65, 66, 67, 75, 83, 57	prdsplusgval 16133	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( ( a ( .s ` Y ) b ) ( +g ` Y ) ( a ( .s ` Y ) c ) ) = ( y e. I |-> ( ( ( a ( .s ` Y ) b ) ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( a ( .s ` Y ) c ) ` y ) ) ) )
85	64, 74, 84	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` Y ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( a ( .s ` Y ) ( b ( +g ` Y ) c ) ) = ( ( a ( .s ` Y ) b ) ( +g ` Y ) ( a ( .s ` Y ) c ) ) )
86	4	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> S e. Ring )
87	25	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> I e. _V )
88	43	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> R Fn I )
89		simplr1 1103	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> a e. ( Base ` S ) )
90		simplr3 1105	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> c e. ( Base ` Y ) )
91		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> y e. I )
92	3, 20, 21, 22, 86, 87, 88, 89, 90, 91	prdsvscafval 16140	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( a ( .s ` Y ) c ) ` y ) = ( a ( .s ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) )
93		simplr2 1104	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> b e. ( Base ` S ) )
94	3, 20, 21, 22, 86, 87, 88, 93, 90, 91	prdsvscafval 16140	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( b ( .s ` Y ) c ) ` y ) = ( b ( .s ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) )
95	92, 94	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( ( a ( .s ` Y ) c ) ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( b ( .s ` Y ) c ) ` y ) ) = ( ( a ( .s ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( b ( .s ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) )
96	34	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( R ` y ) e. LMod )
97	37	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( Base ` (Scalar ` ( R ` y ) ) ) = ( Base ` S ) )
98	89, 97	eleqtrrd 2704	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> a e. ( Base ` (Scalar ` ( R ` y ) ) ) )
99	93, 97	eleqtrrd 2704	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> b e. ( Base ` (Scalar ` ( R ` y ) ) ) )
100	3, 20, 86, 87, 88, 90, 91	prdsbasprj 16132	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( c ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
101		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( +g ` (Scalar ` ( R ` y ) ) ) = ( +g ` (Scalar ` ( R ` y ) ) )
102	50, 51, 52, 53, 54, 101	lmodvsdir 18887	. . . . . 6 |- ( ( ( R ` y ) e. LMod /\ ( a e. ( Base ` (Scalar ` ( R ` y ) ) ) /\ b e. ( Base ` (Scalar ` ( R ` y ) ) ) /\ ( c ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) -> ( ( a ( +g ` (Scalar ` ( R ` y ) ) ) b ) ( .s ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) = ( ( a ( .s ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( b ( .s ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) )
103	96, 98, 99, 100, 102	syl13anc 1328	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( a ( +g ` (Scalar ` ( R ` y ) ) ) b ) ( .s ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) = ( ( a ( .s ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( b ( .s ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) )
104	30	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> (Scalar ` ( R ` y ) ) = S )
105	104	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( +g ` (Scalar ` ( R ` y ) ) ) = ( +g ` S ) )
106	105	oveqd 6667	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( a ( +g ` (Scalar ` ( R ` y ) ) ) b ) = ( a ( +g ` S ) b ) )
107	106	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( a ( +g ` (Scalar ` ( R ` y ) ) ) b ) ( .s ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) = ( ( a ( +g ` S ) b ) ( .s ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) )
108	95, 103, 107	3eqtr2rd 2663	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( a ( +g ` S ) b ) ( .s ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) = ( ( ( a ( .s ` Y ) c ) ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( b ( .s ` Y ) c ) ` y ) ) )
109	108	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( y e. I |-> ( ( a ( +g ` S ) b ) ( .s ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) = ( y e. I |-> ( ( ( a ( .s ` Y ) c ) ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( b ( .s ` Y ) c ) ` y ) ) ) )
110	4	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> S e. Ring )
111	25	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> I e. _V )
112	43	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> R Fn I )
113		simpr1 1067	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> a e. ( Base ` S ) )
114		simpr2 1068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> b e. ( Base ` S ) )
115		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
116	22, 115	ringacl 18578	. . . . 5 |- ( ( S e. Ring /\ a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) ) -> ( a ( +g ` S ) b ) e. ( Base ` S ) )
117	110, 113, 114, 116	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( a ( +g ` S ) b ) e. ( Base ` S ) )
118		simpr3 1069	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> c e. ( Base ` Y ) )
119	3, 20, 21, 22, 110, 111, 112, 117, 118	prdsvscaval 16139	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( ( a ( +g ` S ) b ) ( .s ` Y ) c ) = ( y e. I |-> ( ( a ( +g ` S ) b ) ( .s ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) )
120	82	3adantr2 1221	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( a ( .s ` Y ) c ) e. ( Base ` Y ) )
121	5	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> R : I --> LMod )
122	3, 20, 21, 22, 110, 111, 121, 114, 118, 104	prdsvscacl 18968	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( b ( .s ` Y ) c ) e. ( Base ` Y ) )
123	3, 20, 110, 111, 112, 120, 122, 57	prdsplusgval 16133	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( ( a ( .s ` Y ) c ) ( +g ` Y ) ( b ( .s ` Y ) c ) ) = ( y e. I |-> ( ( ( a ( .s ` Y ) c ) ` y ) ( +g ` ( R ` y ) ) ( ( b ( .s ` Y ) c ) ` y ) ) ) )
124	109, 119, 123	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( ( a ( +g ` S ) b ) ( .s ` Y ) c ) = ( ( a ( .s ` Y ) c ) ( +g ` Y ) ( b ( .s ` Y ) c ) ) )
125	94	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( a ( .s ` ( R ` y ) ) ( ( b ( .s ` Y ) c ) ` y ) ) = ( a ( .s ` ( R ` y ) ) ( b ( .s ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) )
126		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( .r ` (Scalar ` ( R ` y ) ) ) = ( .r ` (Scalar ` ( R ` y ) ) )
127	50, 52, 53, 54, 126	lmodvsass 18888	. . . . . 6 |- ( ( ( R ` y ) e. LMod /\ ( a e. ( Base ` (Scalar ` ( R ` y ) ) ) /\ b e. ( Base ` (Scalar ` ( R ` y ) ) ) /\ ( c ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) ) ) -> ( ( a ( .r ` (Scalar ` ( R ` y ) ) ) b ) ( .s ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) = ( a ( .s ` ( R ` y ) ) ( b ( .s ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) )
128	96, 98, 99, 100, 127	syl13anc 1328	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( a ( .r ` (Scalar ` ( R ` y ) ) ) b ) ( .s ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) = ( a ( .s ` ( R ` y ) ) ( b ( .s ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) )
129	104	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( .r ` (Scalar ` ( R ` y ) ) ) = ( .r ` S ) )
130	129	oveqd 6667	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( a ( .r ` (Scalar ` ( R ` y ) ) ) b ) = ( a ( .r ` S ) b ) )
131	130	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( a ( .r ` (Scalar ` ( R ` y ) ) ) b ) ( .s ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) = ( ( a ( .r ` S ) b ) ( .s ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) )
132	125, 128, 131	3eqtr2rd 2663	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) /\ y e. I ) -> ( ( a ( .r ` S ) b ) ( .s ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) = ( a ( .s ` ( R ` y ) ) ( ( b ( .s ` Y ) c ) ` y ) ) )
133	132	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( y e. I |-> ( ( a ( .r ` S ) b ) ( .s ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) = ( y e. I |-> ( a ( .s ` ( R ` y ) ) ( ( b ( .s ` Y ) c ) ` y ) ) ) )
134		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( .r ` S ) = ( .r ` S )
135	22, 134	ringcl 18561	. . . . 5 |- ( ( S e. Ring /\ a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) ) -> ( a ( .r ` S ) b ) e. ( Base ` S ) )
136	110, 113, 114, 135	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( a ( .r ` S ) b ) e. ( Base ` S ) )
137	3, 20, 21, 22, 110, 111, 112, 136, 118	prdsvscaval 16139	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( ( a ( .r ` S ) b ) ( .s ` Y ) c ) = ( y e. I |-> ( ( a ( .r ` S ) b ) ( .s ` ( R ` y ) ) ( c ` y ) ) ) )
138	3, 20, 21, 22, 110, 111, 112, 113, 122	prdsvscaval 16139	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( a ( .s ` Y ) ( b ( .s ` Y ) c ) ) = ( y e. I |-> ( a ( .s ` ( R ` y ) ) ( ( b ( .s ` Y ) c ) ` y ) ) ) )
139	133, 137, 138	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ph /\ ( a e. ( Base ` S ) /\ b e. ( Base ` S ) /\ c e. ( Base ` Y ) ) ) -> ( ( a ( .r ` S ) b ) ( .s ` Y ) c ) = ( a ( .s ` Y ) ( b ( .s ` Y ) c ) ) )
140	30	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> ( 1r ` (Scalar ` ( R ` y ) ) ) = ( 1r ` S ) )
141	140	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) /\ y e. I ) -> ( 1r ` (Scalar ` ( R ` y ) ) ) = ( 1r ` S ) )
142	141	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) /\ y e. I ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` ( R ` y ) ) ) ( .s ` ( R ` y ) ) ( a ` y ) ) = ( ( 1r ` S ) ( .s ` ( R ` y ) ) ( a ` y ) ) )
143	34	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) /\ y e. I ) -> ( R ` y ) e. LMod )
144	4	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) /\ y e. I ) -> S e. Ring )
145	25	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) /\ y e. I ) -> I e. _V )
146	43	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) /\ y e. I ) -> R Fn I )
147		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) /\ y e. I ) -> a e. ( Base ` Y ) )
148		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) /\ y e. I ) -> y e. I )
149	3, 20, 144, 145, 146, 147, 148	prdsbasprj 16132	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) /\ y e. I ) -> ( a ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) )
150		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 1r ` (Scalar ` ( R ` y ) ) ) = ( 1r ` (Scalar ` ( R ` y ) ) )
151	50, 52, 53, 150	lmodvs1 18891	. . . . . 6 |- ( ( ( R ` y ) e. LMod /\ ( a ` y ) e. ( Base ` ( R ` y ) ) ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` ( R ` y ) ) ) ( .s ` ( R ` y ) ) ( a ` y ) ) = ( a ` y ) )
152	143, 149, 151	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) /\ y e. I ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` ( R ` y ) ) ) ( .s ` ( R ` y ) ) ( a ` y ) ) = ( a ` y ) )
153	142, 152	eqtr3d 2658	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) /\ y e. I ) -> ( ( 1r ` S ) ( .s ` ( R ` y ) ) ( a ` y ) ) = ( a ` y ) )
154	153	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) -> ( y e. I |-> ( ( 1r ` S ) ( .s ` ( R ` y ) ) ( a ` y ) ) ) = ( y e. I |-> ( a ` y ) ) )
155	4	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) -> S e. Ring )
156	25	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) -> I e. _V )
157	43	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) -> R Fn I )
158		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 1r ` S ) = ( 1r ` S )
159	22, 158	ringidcl 18568	. . . . . 6 |- ( S e. Ring -> ( 1r ` S ) e. ( Base ` S ) )
160	4, 159	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1r ` S ) e. ( Base ` S ) )
161	160	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) -> ( 1r ` S ) e. ( Base ` S ) )
162		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) -> a e. ( Base ` Y ) )
163	3, 20, 21, 22, 155, 156, 157, 161, 162	prdsvscaval 16139	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( 1r ` S ) ( .s ` Y ) a ) = ( y e. I |-> ( ( 1r ` S ) ( .s ` ( R ` y ) ) ( a ` y ) ) ) )
164	3, 20, 155, 156, 157, 162	prdsbasfn 16131	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) -> a Fn I )
165		dffn5 6241	. . . 4 |- ( a Fn I <-> a = ( y e. I |-> ( a ` y ) ) )
166	164, 165	sylib 208	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) -> a = ( y e. I |-> ( a ` y ) ) )
167	154, 163, 166	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ph /\ a e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( 1r ` S ) ( .s ` Y ) a ) = a )
168	1, 2, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 4, 19, 33, 85, 124, 139, 167	islmodd 18869	1 |- ( ph -> Y e. LMod )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   |-> cmpt 4729   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   X__scprds 16106   Grpcgrp 17422   1rcur 18501   Ringcrg 18547   LModclmod 18863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865

This theorem is referenced by:  pwslmod  18970  dsmmlss  20088  dsmmlmod  20089