Theorem zlmlmod 19871

Description: The ZZ-module operation turns an arbitrary abelian group into a left module over ZZ. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zlmlmod.w	|- W = ( ZMod ` G )

Assertion

Ref	Expression
zlmlmod	|- ( G e. Abel <-> W e. LMod )

Proof of Theorem zlmlmod

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmlmod.w	. . . . 5 |- W = ( ZMod ` G )
2		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
3	1, 2	zlmbas 19866	. . . 4 |- ( Base ` G ) = ( Base ` W )
4	3	a1i 11	. . 3 |- ( G e. Abel -> ( Base ` G ) = ( Base ` W ) )
5		eqid 2622	. . . . 5 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
6	1, 5	zlmplusg 19867	. . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` W )
7	6	a1i 11	. . 3 |- ( G e. Abel -> ( +g ` G ) = ( +g ` W ) )
8	1	zlmsca 19869	. . 3 |- ( G e. Abel -> ℤring = (Scalar ` W ) )
9		eqid 2622	. . . . 5 |- (.g ` G ) = (.g ` G )
10	1, 9	zlmvsca 19870	. . . 4 |- (.g ` G ) = ( .s ` W )
11	10	a1i 11	. . 3 |- ( G e. Abel -> (.g ` G ) = ( .s ` W ) )
12		zringbas 19824	. . . 4 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
13	12	a1i 11	. . 3 |- ( G e. Abel -> ZZ = ( Base ` ℤring ) )
14		zringplusg 19825	. . . 4 |- + = ( +g ` ℤring )
15	14	a1i 11	. . 3 |- ( G e. Abel -> + = ( +g ` ℤring ) )
16		zringmulr 19827	. . . 4 |- x. = ( .r ` ℤring )
17	16	a1i 11	. . 3 |- ( G e. Abel -> x. = ( .r ` ℤring ) )
18		zring1 19829	. . . 4 |- 1 = ( 1r ` ℤring )
19	18	a1i 11	. . 3 |- ( G e. Abel -> 1 = ( 1r ` ℤring ) )
20		zringring 19821	. . . 4 |- ℤring e. Ring
21	20	a1i 11	. . 3 |- ( G e. Abel -> ℤring e. Ring )
22	3, 6	ablprop 18204	. . . 4 |- ( G e. Abel <-> W e. Abel )
23		ablgrp 18198	. . . 4 |- ( W e. Abel -> W e. Grp )
24	22, 23	sylbi 207	. . 3 |- ( G e. Abel -> W e. Grp )
25		ablgrp 18198	. . . 4 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
26	2, 9	mulgcl 17559	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ x e. ZZ /\ y e. ( Base ` G ) ) -> ( x (.g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) )
27	25, 26	syl3an1 1359	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ x e. ZZ /\ y e. ( Base ` G ) ) -> ( x (.g ` G ) y ) e. ( Base ` G ) )
28	2, 9, 5	mulgdi 18232	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( x e. ZZ /\ y e. ( Base ` G ) /\ z e. ( Base ` G ) ) ) -> ( x (.g ` G ) ( y ( +g ` G ) z ) ) = ( ( x (.g ` G ) y ) ( +g ` G ) ( x (.g ` G ) z ) ) )
29	2, 9, 5	mulgdir 17573	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ /\ z e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( x + y ) (.g ` G ) z ) = ( ( x (.g ` G ) z ) ( +g ` G ) ( y (.g ` G ) z ) ) )
30	25, 29	sylan 488	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ /\ z e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( x + y ) (.g ` G ) z ) = ( ( x (.g ` G ) z ) ( +g ` G ) ( y (.g ` G ) z ) ) )
31	2, 9	mulgass 17579	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ /\ z e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( x x. y ) (.g ` G ) z ) = ( x (.g ` G ) ( y (.g ` G ) z ) ) )
32	25, 31	sylan 488	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ /\ z e. ( Base ` G ) ) ) -> ( ( x x. y ) (.g ` G ) z ) = ( x (.g ` G ) ( y (.g ` G ) z ) ) )
33	2, 9	mulg1 17548	. . . 4 |- ( x e. ( Base ` G ) -> ( 1 (.g ` G ) x ) = x )
34	33	adantl 482	. . 3 |- ( ( G e. Abel /\ x e. ( Base ` G ) ) -> ( 1 (.g ` G ) x ) = x )
35	4, 7, 8, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 24, 27, 28, 30, 32, 34	islmodd 18869	. 2 |- ( G e. Abel -> W e. LMod )
36		lmodabl 18910	. . 3 |- ( W e. LMod -> W e. Abel )
37	36, 22	sylibr 224	. 2 |- ( W e. LMod -> G e. Abel )
38	35, 37	impbii 199	1 |- ( G e. Abel <-> W e. LMod )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   ZZcz 11377   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   .scvsca 15945   Grpcgrp 17422  ._gcmg 17540   Abelcabl 18194   1rcur 18501   Ringcrg 18547   LModclmod 18863  ℤ_ringzring 19818   ZModczlm 19849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zlm 19853

This theorem is referenced by:  zlmassa  19872  zlmclm  22912  nmmulg  30012  cnzh  30014  rezh  30015