Theorem mendlmod 37763

Description: The module endomorphism algebra is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mendassa.a	|- A = (MEndo ` M )
mendassa.s	|- S = (Scalar ` M )

Assertion

Ref	Expression
mendlmod	|- ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) -> A e. LMod )

Proof of Theorem mendlmod

Dummy variables x y z u k v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mendassa.a	. . . 4 |- A = (MEndo ` M )
2	1	mendbas 37754	. . 3 |- ( M LMHom M ) = ( Base ` A )
3	2	a1i 11	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) -> ( M LMHom M ) = ( Base ` A ) )
4		eqidd 2623	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) -> ( +g ` A ) = ( +g ` A ) )
5		mendassa.s	. . . 4 |- S = (Scalar ` M )
6	1, 5	mendsca 37759	. . 3 |- S = (Scalar ` A )
7	6	a1i 11	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) -> S = (Scalar ` A ) )
8		eqidd 2623	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) -> ( .s ` A ) = ( .s ` A ) )
9		eqidd 2623	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) -> ( Base ` S ) = ( Base ` S ) )
10		eqidd 2623	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) -> ( +g ` S ) = ( +g ` S ) )
11		eqidd 2623	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) -> ( .r ` S ) = ( .r ` S ) )
12		eqidd 2623	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) -> ( 1r ` S ) = ( 1r ` S ) )
13		crngring 18558	. . 3 |- ( S e. CRing -> S e. Ring )
14	13	adantl 482	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) -> S e. Ring )
15	1	mendring 37762	. . . 4 |- ( M e. LMod -> A e. Ring )
16	15	adantr 481	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) -> A e. Ring )
17		ringgrp 18552	. . 3 |- ( A e. Ring -> A e. Grp )
18	16, 17	syl 17	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) -> A e. Grp )
19		eqid 2622	. . . . 5 |- ( .s ` M ) = ( .s ` M )
20		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
21		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
22		eqid 2622	. . . . 5 |- ( .s ` A ) = ( .s ` A )
23	1, 19, 2, 5, 20, 21, 22	mendvsca 37761	. . . 4 |- ( ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( .s ` A ) y ) = ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) y ) )
24	23	3adant1 1079	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( .s ` A ) y ) = ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) y ) )
25	21, 19, 5, 20	lmhmvsca 19045	. . . 4 |- ( ( S e. CRing /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) y ) e. ( M LMHom M ) )
26	25	3adant1l 1318	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) y ) e. ( M LMHom M ) )
27	24, 26	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( .s ` A ) y ) e. ( M LMHom M ) )
28		simpr2 1068	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> y e. ( M LMHom M ) )
29		simpr3 1069	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> z e. ( M LMHom M ) )
30		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
31		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( +g ` A ) = ( +g ` A )
32	1, 2, 30, 31	mendplusg 37756	. . . . 5 |- ( ( y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) -> ( y ( +g ` A ) z ) = ( y oF ( +g ` M ) z ) )
33	28, 29, 32	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( y ( +g ` A ) z ) = ( y oF ( +g ` M ) z ) )
34	33	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) ( y ( +g ` A ) z ) ) = ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) ( y oF ( +g ` M ) z ) ) )
35		simpr1 1067	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> x e. ( Base ` S ) )
36	18	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> A e. Grp )
37	2, 31	grpcl 17430	. . . . 5 |- ( ( A e. Grp /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) -> ( y ( +g ` A ) z ) e. ( M LMHom M ) )
38	36, 28, 29, 37	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( y ( +g ` A ) z ) e. ( M LMHom M ) )
39	1, 19, 2, 5, 20, 21, 22	mendvsca 37761	. . . 4 |- ( ( x e. ( Base ` S ) /\ ( y ( +g ` A ) z ) e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( .s ` A ) ( y ( +g ` A ) z ) ) = ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) ( y ( +g ` A ) z ) ) )
40	35, 38, 39	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( .s ` A ) ( y ( +g ` A ) z ) ) = ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) ( y ( +g ` A ) z ) ) )
41	35, 28, 23	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( .s ` A ) y ) = ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) y ) )
42	1, 19, 2, 5, 20, 21, 22	mendvsca 37761	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( .s ` A ) z ) = ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) z ) )
43	35, 29, 42	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( .s ` A ) z ) = ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) z ) )
44	41, 43	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x ( .s ` A ) y ) oF ( +g ` M ) ( x ( .s ` A ) z ) ) = ( ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) y ) oF ( +g ` M ) ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) z ) ) )
45	27	3adant3r3 1276	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( .s ` A ) y ) e. ( M LMHom M ) )
46		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( y e. ( M LMHom M ) <-> z e. ( M LMHom M ) ) )
47	46	3anbi3d 1405	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( M LMHom M ) ) <-> ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ x e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) )
48		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( x ( .s ` A ) y ) = ( x ( .s ` A ) z ) )
49	48	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( ( x ( .s ` A ) y ) e. ( M LMHom M ) <-> ( x ( .s ` A ) z ) e. ( M LMHom M ) ) )
50	47, 49	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( .s ` A ) y ) e. ( M LMHom M ) ) <-> ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ x e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( .s ` A ) z ) e. ( M LMHom M ) ) ) )
51	50, 27	chvarv 2263	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ x e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( .s ` A ) z ) e. ( M LMHom M ) )
52	51	3adant3r2 1275	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( .s ` A ) z ) e. ( M LMHom M ) )
53	1, 2, 30, 31	mendplusg 37756	. . . . 5 |- ( ( ( x ( .s ` A ) y ) e. ( M LMHom M ) /\ ( x ( .s ` A ) z ) e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( x ( .s ` A ) y ) ( +g ` A ) ( x ( .s ` A ) z ) ) = ( ( x ( .s ` A ) y ) oF ( +g ` M ) ( x ( .s ` A ) z ) ) )
54	45, 52, 53	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x ( .s ` A ) y ) ( +g ` A ) ( x ( .s ` A ) z ) ) = ( ( x ( .s ` A ) y ) oF ( +g ` M ) ( x ( .s ` A ) z ) ) )
55		fvexd 6203	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( Base ` M ) e. _V )
56		fconst6g 6094	. . . . . 6 |- ( x e. ( Base ` S ) -> ( ( Base ` M ) X. { x } ) : ( Base ` M ) --> ( Base ` S ) )
57	35, 56	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( Base ` M ) X. { x } ) : ( Base ` M ) --> ( Base ` S ) )
58	21, 21	lmhmf 19034	. . . . . 6 |- ( y e. ( M LMHom M ) -> y : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
59	28, 58	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> y : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
60	21, 21	lmhmf 19034	. . . . . 6 |- ( z e. ( M LMHom M ) -> z : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
61	29, 60	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> z : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
62		simpll 790	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> M e. LMod )
63	21, 30, 5, 19, 20	lmodvsdi 18886	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( w e. ( Base ` S ) /\ v e. ( Base ` M ) /\ u e. ( Base ` M ) ) ) -> ( w ( .s ` M ) ( v ( +g ` M ) u ) ) = ( ( w ( .s ` M ) v ) ( +g ` M ) ( w ( .s ` M ) u ) ) )
64	62, 63	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) /\ ( w e. ( Base ` S ) /\ v e. ( Base ` M ) /\ u e. ( Base ` M ) ) ) -> ( w ( .s ` M ) ( v ( +g ` M ) u ) ) = ( ( w ( .s ` M ) v ) ( +g ` M ) ( w ( .s ` M ) u ) ) )
65	55, 57, 59, 61, 64	caofdi 6933	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) ( y oF ( +g ` M ) z ) ) = ( ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) y ) oF ( +g ` M ) ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) z ) ) )
66	44, 54, 65	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x ( .s ` A ) y ) ( +g ` A ) ( x ( .s ` A ) z ) ) = ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) ( y oF ( +g ` M ) z ) ) )
67	34, 40, 66	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( M LMHom M ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( .s ` A ) ( y ( +g ` A ) z ) ) = ( ( x ( .s ` A ) y ) ( +g ` A ) ( x ( .s ` A ) z ) ) )
68		fvexd 6203	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( Base ` M ) e. _V )
69		simpr3 1069	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> z e. ( M LMHom M ) )
70	69, 60	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> z : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
71		simpr1 1067	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> x e. ( Base ` S ) )
72	71, 56	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( Base ` M ) X. { x } ) : ( Base ` M ) --> ( Base ` S ) )
73		simpr2 1068	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> y e. ( Base ` S ) )
74		fconst6g 6094	. . . . 5 |- ( y e. ( Base ` S ) -> ( ( Base ` M ) X. { y } ) : ( Base ` M ) --> ( Base ` S ) )
75	73, 74	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( Base ` M ) X. { y } ) : ( Base ` M ) --> ( Base ` S ) )
76		simpll 790	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> M e. LMod )
77		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
78	21, 30, 5, 19, 20, 77	lmodvsdir 18887	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ ( w e. ( Base ` S ) /\ v e. ( Base ` S ) /\ u e. ( Base ` M ) ) ) -> ( ( w ( +g ` S ) v ) ( .s ` M ) u ) = ( ( w ( .s ` M ) u ) ( +g ` M ) ( v ( .s ` M ) u ) ) )
79	76, 78	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) /\ ( w e. ( Base ` S ) /\ v e. ( Base ` S ) /\ u e. ( Base ` M ) ) ) -> ( ( w ( +g ` S ) v ) ( .s ` M ) u ) = ( ( w ( .s ` M ) u ) ( +g ` M ) ( v ( .s ` M ) u ) ) )
80	68, 70, 72, 75, 79	caofdir 6934	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( +g ` S ) ( ( Base ` M ) X. { y } ) ) oF ( .s ` M ) z ) = ( ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) z ) oF ( +g ` M ) ( ( ( Base ` M ) X. { y } ) oF ( .s ` M ) z ) ) )
81	14	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> S e. Ring )
82	20, 77	ringacl 18578	. . . . . 6 |- ( ( S e. Ring /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. ( Base ` S ) )
83	81, 71, 73, 82	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( +g ` S ) y ) e. ( Base ` S ) )
84	1, 19, 2, 5, 20, 21, 22	mendvsca 37761	. . . . 5 |- ( ( ( x ( +g ` S ) y ) e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( x ( +g ` S ) y ) ( .s ` A ) z ) = ( ( ( Base ` M ) X. { ( x ( +g ` S ) y ) } ) oF ( .s ` M ) z ) )
85	83, 69, 84	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x ( +g ` S ) y ) ( .s ` A ) z ) = ( ( ( Base ` M ) X. { ( x ( +g ` S ) y ) } ) oF ( .s ` M ) z ) )
86	68, 71, 73	ofc12 6922	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( +g ` S ) ( ( Base ` M ) X. { y } ) ) = ( ( Base ` M ) X. { ( x ( +g ` S ) y ) } ) )
87	86	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( +g ` S ) ( ( Base ` M ) X. { y } ) ) oF ( .s ` M ) z ) = ( ( ( Base ` M ) X. { ( x ( +g ` S ) y ) } ) oF ( .s ` M ) z ) )
88	85, 87	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x ( +g ` S ) y ) ( .s ` A ) z ) = ( ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( +g ` S ) ( ( Base ` M ) X. { y } ) ) oF ( .s ` M ) z ) )
89	51	3adant3r2 1275	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( .s ` A ) z ) e. ( M LMHom M ) )
90		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x e. ( Base ` S ) <-> y e. ( Base ` S ) ) )
91	90	3anbi2d 1404	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ x e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) <-> ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) )
92		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( x ( .s ` A ) z ) = ( y ( .s ` A ) z ) )
93	92	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( x ( .s ` A ) z ) e. ( M LMHom M ) <-> ( y ( .s ` A ) z ) e. ( M LMHom M ) ) )
94	91, 93	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ x e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( .s ` A ) z ) e. ( M LMHom M ) ) <-> ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) -> ( y ( .s ` A ) z ) e. ( M LMHom M ) ) ) )
95	94, 51	chvarv 2263	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) -> ( y ( .s ` A ) z ) e. ( M LMHom M ) )
96	95	3adant3r1 1274	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( y ( .s ` A ) z ) e. ( M LMHom M ) )
97	1, 2, 30, 31	mendplusg 37756	. . . . 5 |- ( ( ( x ( .s ` A ) z ) e. ( M LMHom M ) /\ ( y ( .s ` A ) z ) e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( x ( .s ` A ) z ) ( +g ` A ) ( y ( .s ` A ) z ) ) = ( ( x ( .s ` A ) z ) oF ( +g ` M ) ( y ( .s ` A ) z ) ) )
98	89, 96, 97	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x ( .s ` A ) z ) ( +g ` A ) ( y ( .s ` A ) z ) ) = ( ( x ( .s ` A ) z ) oF ( +g ` M ) ( y ( .s ` A ) z ) ) )
99	71, 69, 42	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( .s ` A ) z ) = ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) z ) )
100	1, 19, 2, 5, 20, 21, 22	mendvsca 37761	. . . . . 6 |- ( ( y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) -> ( y ( .s ` A ) z ) = ( ( ( Base ` M ) X. { y } ) oF ( .s ` M ) z ) )
101	73, 69, 100	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( y ( .s ` A ) z ) = ( ( ( Base ` M ) X. { y } ) oF ( .s ` M ) z ) )
102	99, 101	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x ( .s ` A ) z ) oF ( +g ` M ) ( y ( .s ` A ) z ) ) = ( ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) z ) oF ( +g ` M ) ( ( ( Base ` M ) X. { y } ) oF ( .s ` M ) z ) ) )
103	98, 102	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x ( .s ` A ) z ) ( +g ` A ) ( y ( .s ` A ) z ) ) = ( ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) z ) oF ( +g ` M ) ( ( ( Base ` M ) X. { y } ) oF ( .s ` M ) z ) ) )
104	80, 88, 103	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x ( +g ` S ) y ) ( .s ` A ) z ) = ( ( x ( .s ` A ) z ) ( +g ` A ) ( y ( .s ` A ) z ) ) )
105		ovexd 6680	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) /\ k e. ( Base ` M ) ) -> ( x ( .r ` S ) y ) e. _V )
106	70	ffvelrnda 6359	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) /\ k e. ( Base ` M ) ) -> ( z ` k ) e. ( Base ` M ) )
107		fconstmpt 5163	. . . . 5 |- ( ( Base ` M ) X. { ( x ( .r ` S ) y ) } ) = ( k e. ( Base ` M ) |-> ( x ( .r ` S ) y ) )
108	107	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( Base ` M ) X. { ( x ( .r ` S ) y ) } ) = ( k e. ( Base ` M ) |-> ( x ( .r ` S ) y ) ) )
109	70	feqmptd 6249	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> z = ( k e. ( Base ` M ) |-> ( z ` k ) ) )
110	68, 105, 106, 108, 109	offval2 6914	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( ( Base ` M ) X. { ( x ( .r ` S ) y ) } ) oF ( .s ` M ) z ) = ( k e. ( Base ` M ) |-> ( ( x ( .r ` S ) y ) ( .s ` M ) ( z ` k ) ) ) )
111		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( .r ` S ) = ( .r ` S )
112	20, 111	ringcl 18561	. . . . 5 |- ( ( S e. Ring /\ x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( x ( .r ` S ) y ) e. ( Base ` S ) )
113	81, 71, 73, 112	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( .r ` S ) y ) e. ( Base ` S ) )
114	1, 19, 2, 5, 20, 21, 22	mendvsca 37761	. . . 4 |- ( ( ( x ( .r ` S ) y ) e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( x ( .r ` S ) y ) ( .s ` A ) z ) = ( ( ( Base ` M ) X. { ( x ( .r ` S ) y ) } ) oF ( .s ` M ) z ) )
115	113, 69, 114	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x ( .r ` S ) y ) ( .s ` A ) z ) = ( ( ( Base ` M ) X. { ( x ( .r ` S ) y ) } ) oF ( .s ` M ) z ) )
116	71	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) /\ k e. ( Base ` M ) ) -> x e. ( Base ` S ) )
117		ovexd 6680	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) /\ k e. ( Base ` M ) ) -> ( y ( .s ` M ) ( z ` k ) ) e. _V )
118		fconstmpt 5163	. . . . . 6 |- ( ( Base ` M ) X. { x } ) = ( k e. ( Base ` M ) |-> x )
119	118	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( Base ` M ) X. { x } ) = ( k e. ( Base ` M ) |-> x ) )
120		simplr2 1104	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) /\ k e. ( Base ` M ) ) -> y e. ( Base ` S ) )
121		fconstmpt 5163	. . . . . . . 8 |- ( ( Base ` M ) X. { y } ) = ( k e. ( Base ` M ) |-> y )
122	121	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( Base ` M ) X. { y } ) = ( k e. ( Base ` M ) |-> y ) )
123	68, 120, 106, 122, 109	offval2 6914	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( ( Base ` M ) X. { y } ) oF ( .s ` M ) z ) = ( k e. ( Base ` M ) |-> ( y ( .s ` M ) ( z ` k ) ) ) )
124	101, 123	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( y ( .s ` A ) z ) = ( k e. ( Base ` M ) |-> ( y ( .s ` M ) ( z ` k ) ) ) )
125	68, 116, 117, 119, 124	offval2 6914	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) ( y ( .s ` A ) z ) ) = ( k e. ( Base ` M ) |-> ( x ( .s ` M ) ( y ( .s ` M ) ( z ` k ) ) ) ) )
126	1, 19, 2, 5, 20, 21, 22	mendvsca 37761	. . . . 5 |- ( ( x e. ( Base ` S ) /\ ( y ( .s ` A ) z ) e. ( M LMHom M ) ) -> ( x ( .s ` A ) ( y ( .s ` A ) z ) ) = ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) ( y ( .s ` A ) z ) ) )
127	71, 96, 126	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( .s ` A ) ( y ( .s ` A ) z ) ) = ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) ( y ( .s ` A ) z ) ) )
128	76	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) /\ k e. ( Base ` M ) ) -> M e. LMod )
129	21, 5, 19, 20, 111	lmodvsass 18888	. . . . . 6 |- ( ( M e. LMod /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ ( z ` k ) e. ( Base ` M ) ) ) -> ( ( x ( .r ` S ) y ) ( .s ` M ) ( z ` k ) ) = ( x ( .s ` M ) ( y ( .s ` M ) ( z ` k ) ) ) )
130	128, 116, 120, 106, 129	syl13anc 1328	. . . . 5 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) /\ k e. ( Base ` M ) ) -> ( ( x ( .r ` S ) y ) ( .s ` M ) ( z ` k ) ) = ( x ( .s ` M ) ( y ( .s ` M ) ( z ` k ) ) ) )
131	130	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( k e. ( Base ` M ) |-> ( ( x ( .r ` S ) y ) ( .s ` M ) ( z ` k ) ) ) = ( k e. ( Base ` M ) |-> ( x ( .s ` M ) ( y ( .s ` M ) ( z ` k ) ) ) ) )
132	125, 127, 131	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( x ( .s ` A ) ( y ( .s ` A ) z ) ) = ( k e. ( Base ` M ) |-> ( ( x ( .r ` S ) y ) ( .s ` M ) ( z ` k ) ) ) )
133	110, 115, 132	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ ( x e. ( Base ` S ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( M LMHom M ) ) ) -> ( ( x ( .r ` S ) y ) ( .s ` A ) z ) = ( x ( .s ` A ) ( y ( .s ` A ) z ) ) )
134	14	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> S e. Ring )
135		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 1r ` S ) = ( 1r ` S )
136	20, 135	ringidcl 18568	. . . . 5 |- ( S e. Ring -> ( 1r ` S ) e. ( Base ` S ) )
137	134, 136	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( 1r ` S ) e. ( Base ` S ) )
138	1, 19, 2, 5, 20, 21, 22	mendvsca 37761	. . . 4 |- ( ( ( 1r ` S ) e. ( Base ` S ) /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( 1r ` S ) ( .s ` A ) x ) = ( ( ( Base ` M ) X. { ( 1r ` S ) } ) oF ( .s ` M ) x ) )
139	137, 138	sylancom 701	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( 1r ` S ) ( .s ` A ) x ) = ( ( ( Base ` M ) X. { ( 1r ` S ) } ) oF ( .s ` M ) x ) )
140		fvexd 6203	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( Base ` M ) e. _V )
141	21, 21	lmhmf 19034	. . . . 5 |- ( x e. ( M LMHom M ) -> x : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
142	141	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> x : ( Base ` M ) --> ( Base ` M ) )
143		simpll 790	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> M e. LMod )
144	21, 5, 19, 135	lmodvs1 18891	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ y e. ( Base ` M ) ) -> ( ( 1r ` S ) ( .s ` M ) y ) = y )
145	143, 144	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ x e. ( M LMHom M ) ) /\ y e. ( Base ` M ) ) -> ( ( 1r ` S ) ( .s ` M ) y ) = y )
146	140, 142, 137, 145	caofid0l 6925	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( ( Base ` M ) X. { ( 1r ` S ) } ) oF ( .s ` M ) x ) = x )
147	139, 146	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) /\ x e. ( M LMHom M ) ) -> ( ( 1r ` S ) ( .s ` A ) x ) = x )
148	3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 18, 27, 67, 104, 133, 147	islmodd 18869	1 |- ( ( M e. LMod /\ S e. CRing ) -> A e. LMod )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   Grpcgrp 17422   1rcur 18501   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   LModclmod 18863   LMHom clmhm 19019  MEndocmend 37745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-lmod 18865  df-lmhm 19022  df-mend 37746

This theorem is referenced by:  mendassa  37764