Theorem psrlmod 19401

Description: The ring of power series is a left module. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrring.s	|- S = ( I mPwSer R )
psrring.i	|- ( ph -> I e. V )
psrring.r	|- ( ph -> R e. Ring )

Assertion

Ref	Expression
psrlmod	|- ( ph -> S e. LMod )

Proof of Theorem psrlmod

Dummy variables x f y z r s t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2623	. 2 |- ( ph -> ( Base ` S ) = ( Base ` S ) )
2		eqidd 2623	. 2 |- ( ph -> ( +g ` S ) = ( +g ` S ) )
3		psrring.s	. . 3 |- S = ( I mPwSer R )
4		psrring.i	. . 3 |- ( ph -> I e. V )
5		psrring.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Ring )
6	3, 4, 5	psrsca 19389	. 2 |- ( ph -> R = (Scalar ` S ) )
7		eqidd 2623	. 2 |- ( ph -> ( .s ` S ) = ( .s ` S ) )
8		eqidd 2623	. 2 |- ( ph -> ( Base ` R ) = ( Base ` R ) )
9		eqidd 2623	. 2 |- ( ph -> ( +g ` R ) = ( +g ` R ) )
10		eqidd 2623	. 2 |- ( ph -> ( .r ` R ) = ( .r ` R ) )
11		eqidd 2623	. 2 |- ( ph -> ( 1r ` R ) = ( 1r ` R ) )
12		ringgrp 18552	. . . 4 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
13	5, 12	syl 17	. . 3 |- ( ph -> R e. Grp )
14	3, 4, 13	psrgrp 19398	. 2 |- ( ph -> S e. Grp )
15		eqid 2622	. . 3 |- ( .s ` S ) = ( .s ` S )
16		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
17		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
18	5	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> R e. Ring )
19		simp2 1062	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> x e. ( Base ` R ) )
20		simp3 1063	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> y e. ( Base ` S ) )
21	3, 15, 16, 17, 18, 19, 20	psrvscacl 19393	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( x ( .s ` S ) y ) e. ( Base ` S ) )
22		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
23	22	rabex 4813	. . . . . 6 |- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V
24	23	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V )
25		simpr1 1067	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> x e. ( Base ` R ) )
26		fconst6g 6094	. . . . . 6 |- ( x e. ( Base ` R ) -> ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { x } ) : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { x } ) : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
28		eqid 2622	. . . . . 6 |- { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
29		simpr2 1068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> y e. ( Base ` S ) )
30	3, 16, 28, 17, 29	psrelbas 19379	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> y : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
31		simpr3 1069	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> z e. ( Base ` S ) )
32	3, 16, 28, 17, 31	psrelbas 19379	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> z : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
33	5	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> R e. Ring )
34		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
35		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
36	16, 34, 35	ringdi 18566	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( r e. ( Base ` R ) /\ s e. ( Base ` R ) /\ t e. ( Base ` R ) ) ) -> ( r ( .r ` R ) ( s ( +g ` R ) t ) ) = ( ( r ( .r ` R ) s ) ( +g ` R ) ( r ( .r ` R ) t ) ) )
37	33, 36	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` R ) /\ s e. ( Base ` R ) /\ t e. ( Base ` R ) ) ) -> ( r ( .r ` R ) ( s ( +g ` R ) t ) ) = ( ( r ( .r ` R ) s ) ( +g ` R ) ( r ( .r ` R ) t ) ) )
38	24, 27, 30, 32, 37	caofdi 6933	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) ( y oF ( +g ` R ) z ) ) = ( ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) y ) oF ( +g ` R ) ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) z ) ) )
39		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( +g ` S ) = ( +g ` S )
40	3, 17, 34, 39, 29, 31	psradd 19382	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( y ( +g ` S ) z ) = ( y oF ( +g ` R ) z ) )
41	40	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) ( y ( +g ` S ) z ) ) = ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) ( y oF ( +g ` R ) z ) ) )
42	3, 15, 16, 17, 35, 28, 25, 29	psrvsca 19391	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( x ( .s ` S ) y ) = ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) y ) )
43	3, 15, 16, 17, 35, 28, 25, 31	psrvsca 19391	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( x ( .s ` S ) z ) = ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) z ) )
44	42, 43	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( x ( .s ` S ) y ) oF ( +g ` R ) ( x ( .s ` S ) z ) ) = ( ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) y ) oF ( +g ` R ) ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) z ) ) )
45	38, 41, 44	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) ( y ( +g ` S ) z ) ) = ( ( x ( .s ` S ) y ) oF ( +g ` R ) ( x ( .s ` S ) z ) ) )
46	13	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> R e. Grp )
47	3, 17, 39, 46, 29, 31	psraddcl 19383	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( y ( +g ` S ) z ) e. ( Base ` S ) )
48	3, 15, 16, 17, 35, 28, 25, 47	psrvsca 19391	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( x ( .s ` S ) ( y ( +g ` S ) z ) ) = ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) ( y ( +g ` S ) z ) ) )
49	21	3adant3r3 1276	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( x ( .s ` S ) y ) e. ( Base ` S ) )
50	3, 15, 16, 17, 33, 25, 31	psrvscacl 19393	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( x ( .s ` S ) z ) e. ( Base ` S ) )
51	3, 17, 34, 39, 49, 50	psradd 19382	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( x ( .s ` S ) y ) ( +g ` S ) ( x ( .s ` S ) z ) ) = ( ( x ( .s ` S ) y ) oF ( +g ` R ) ( x ( .s ` S ) z ) ) )
52	45, 48, 51	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` S ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( x ( .s ` S ) ( y ( +g ` S ) z ) ) = ( ( x ( .s ` S ) y ) ( +g ` S ) ( x ( .s ` S ) z ) ) )
53		simpr1 1067	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> x e. ( Base ` R ) )
54		simpr3 1069	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> z e. ( Base ` S ) )
55	3, 15, 16, 17, 35, 28, 53, 54	psrvsca 19391	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( x ( .s ` S ) z ) = ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) z ) )
56		simpr2 1068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> y e. ( Base ` R ) )
57	3, 15, 16, 17, 35, 28, 56, 54	psrvsca 19391	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( y ( .s ` S ) z ) = ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { y } ) oF ( .r ` R ) z ) )
58	55, 57	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( x ( .s ` S ) z ) oF ( +g ` R ) ( y ( .s ` S ) z ) ) = ( ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) z ) oF ( +g ` R ) ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { y } ) oF ( .r ` R ) z ) ) )
59	23	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V )
60	3, 16, 28, 17, 54	psrelbas 19379	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> z : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
61	53, 26	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { x } ) : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
62		fconst6g 6094	. . . . . 6 |- ( y e. ( Base ` R ) -> ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { y } ) : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
63	56, 62	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { y } ) : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
64	5	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> R e. Ring )
65	16, 34, 35	ringdir 18567	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( r e. ( Base ` R ) /\ s e. ( Base ` R ) /\ t e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( r ( +g ` R ) s ) ( .r ` R ) t ) = ( ( r ( .r ` R ) t ) ( +g ` R ) ( s ( .r ` R ) t ) ) )
66	64, 65	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` R ) /\ s e. ( Base ` R ) /\ t e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( r ( +g ` R ) s ) ( .r ` R ) t ) = ( ( r ( .r ` R ) t ) ( +g ` R ) ( s ( .r ` R ) t ) ) )
67	59, 60, 61, 63, 66	caofdir 6934	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( +g ` R ) ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { y } ) ) oF ( .r ` R ) z ) = ( ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) z ) oF ( +g ` R ) ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { y } ) oF ( .r ` R ) z ) ) )
68	59, 53, 56	ofc12 6922	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( +g ` R ) ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { y } ) ) = ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { ( x ( +g ` R ) y ) } ) )
69	68	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( +g ` R ) ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { y } ) ) oF ( .r ` R ) z ) = ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { ( x ( +g ` R ) y ) } ) oF ( .r ` R ) z ) )
70	58, 67, 69	3eqtr2rd 2663	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { ( x ( +g ` R ) y ) } ) oF ( .r ` R ) z ) = ( ( x ( .s ` S ) z ) oF ( +g ` R ) ( y ( .s ` S ) z ) ) )
71	16, 34	ringacl 18578	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
72	64, 53, 56, 71	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
73	3, 15, 16, 17, 35, 28, 72, 54	psrvsca 19391	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .s ` S ) z ) = ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { ( x ( +g ` R ) y ) } ) oF ( .r ` R ) z ) )
74	3, 15, 16, 17, 64, 53, 54	psrvscacl 19393	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( x ( .s ` S ) z ) e. ( Base ` S ) )
75	3, 15, 16, 17, 64, 56, 54	psrvscacl 19393	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( y ( .s ` S ) z ) e. ( Base ` S ) )
76	3, 17, 34, 39, 74, 75	psradd 19382	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( x ( .s ` S ) z ) ( +g ` S ) ( y ( .s ` S ) z ) ) = ( ( x ( .s ` S ) z ) oF ( +g ` R ) ( y ( .s ` S ) z ) ) )
77	70, 73, 76	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( x ( +g ` R ) y ) ( .s ` S ) z ) = ( ( x ( .s ` S ) z ) ( +g ` S ) ( y ( .s ` S ) z ) ) )
78	57	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) ( y ( .s ` S ) z ) ) = ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { y } ) oF ( .r ` R ) z ) ) )
79	16, 35	ringass 18564	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ ( r e. ( Base ` R ) /\ s e. ( Base ` R ) /\ t e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( r ( .r ` R ) s ) ( .r ` R ) t ) = ( r ( .r ` R ) ( s ( .r ` R ) t ) ) )
80	64, 79	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` R ) /\ s e. ( Base ` R ) /\ t e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( r ( .r ` R ) s ) ( .r ` R ) t ) = ( r ( .r ` R ) ( s ( .r ` R ) t ) ) )
81	59, 61, 63, 60, 80	caofass 6931	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { y } ) ) oF ( .r ` R ) z ) = ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { y } ) oF ( .r ` R ) z ) ) )
82	59, 53, 56	ofc12 6922	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { y } ) ) = ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { ( x ( .r ` R ) y ) } ) )
83	82	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { y } ) ) oF ( .r ` R ) z ) = ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { ( x ( .r ` R ) y ) } ) oF ( .r ` R ) z ) )
84	78, 81, 83	3eqtr2rd 2663	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { ( x ( .r ` R ) y ) } ) oF ( .r ` R ) z ) = ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) ( y ( .s ` S ) z ) ) )
85	16, 35	ringcl 18561	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) ) -> ( x ( .r ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
86	64, 53, 56, 85	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( x ( .r ` R ) y ) e. ( Base ` R ) )
87	3, 15, 16, 17, 35, 28, 86, 54	psrvsca 19391	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( x ( .r ` R ) y ) ( .s ` S ) z ) = ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { ( x ( .r ` R ) y ) } ) oF ( .r ` R ) z ) )
88	3, 15, 16, 17, 35, 28, 53, 75	psrvsca 19391	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( x ( .s ` S ) ( y ( .s ` S ) z ) ) = ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { x } ) oF ( .r ` R ) ( y ( .s ` S ) z ) ) )
89	84, 87, 88	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` S ) ) ) -> ( ( x ( .r ` R ) y ) ( .s ` S ) z ) = ( x ( .s ` S ) ( y ( .s ` S ) z ) ) )
90	5	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` S ) ) -> R e. Ring )
91		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
92	16, 91	ringidcl 18568	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
93	90, 92	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` S ) ) -> ( 1r ` R ) e. ( Base ` R ) )
94		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` S ) ) -> x e. ( Base ` S ) )
95	3, 15, 16, 17, 35, 28, 93, 94	psrvsca 19391	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` S ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( .s ` S ) x ) = ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { ( 1r ` R ) } ) oF ( .r ` R ) x ) )
96	23	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` S ) ) -> { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } e. _V )
97	3, 16, 28, 17, 94	psrelbas 19379	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` S ) ) -> x : { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
98	16, 35, 91	ringlidm 18571	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ r e. ( Base ` R ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) r ) = r )
99	90, 98	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` S ) ) /\ r e. ( Base ` R ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( .r ` R ) r ) = r )
100	96, 97, 93, 99	caofid0l 6925	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` S ) ) -> ( ( { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } X. { ( 1r ` R ) } ) oF ( .r ` R ) x ) = x )
101	95, 100	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` S ) ) -> ( ( 1r ` R ) ( .s ` S ) x ) = x )
102	1, 2, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 5, 14, 21, 52, 77, 89, 101	islmodd 18869	1 |- ( ph -> S e. LMod )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   {csn 4177   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   NNcn 11020   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   .scvsca 15945   Grpcgrp 17422   1rcur 18501   Ringcrg 18547   LModclmod 18863   mPwSer cmps 19351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-psr 19356

This theorem is referenced by:  psrassa  19414  mpllmod  19451  mplbas2  19470  opsrlmod  19616