MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metust Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem metust 22363
Description: The uniform structure generated by a metric D. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Nov-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
metust.1 |- F = ran ( a e. RR+ |-> ( `' D " ( 0 [,) a ) ) )
Assertion
Ref Expression
metust |- ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) -> ( ( X X. X ) filGen F ) e. (UnifOn ` X ) )
Distinct variable groups:   D, a   X, a   F, a
Proof of Theorem metust
Dummy variables v u w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 metust.1 . . . 4 |- F = ran ( a e. RR+ |-> ( `' D " ( 0 [,) a ) ) )
21metustfbas 22362 . . 3 |- ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) -> F e. ( fBas ` ( X X. X ) ) )
3 fgcl 21682 . . 3 |- ( F e. ( fBas ` ( X X. X ) ) -> ( ( X X. X ) filGen F ) e. ( Fil ` ( X X. X ) ) )
4 filsspw 21655 . . 3 |- ( ( ( X X. X ) filGen F ) e. ( Fil ` ( X X. X ) ) -> ( ( X X. X ) filGen F ) C_ ~P ( X X. X ) )
52, 3, 43syl 18 . 2 |- ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) -> ( ( X X. X ) filGen F ) C_ ~P ( X X. X ) )
6 filtop 21659 . . 3 |- ( ( ( X X. X ) filGen F ) e. ( Fil ` ( X X. X ) ) -> ( X X. X ) e. ( ( X X. X ) filGen F ) )
72, 3, 63syl 18 . 2 |- ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) -> ( X X. X ) e. ( ( X X. X ) filGen F ) )
82, 3syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) -> ( ( X X. X ) filGen F ) e. ( Fil ` ( X X. X ) ) )
98ad3antrrr 766 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ w e. ~P ( X X. X ) ) /\ v C_ w ) -> ( ( X X. X ) filGen F ) e. ( Fil ` ( X X. X ) ) )
10 simpllr 799 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ w e. ~P ( X X. X ) ) /\ v C_ w ) -> v e. ( ( X X. X ) filGen F ) )
11 simplr 792 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ w e. ~P ( X X. X ) ) /\ v C_ w ) -> w e. ~P ( X X. X ) )
1211elpwid 4170 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ w e. ~P ( X X. X ) ) /\ v C_ w ) -> w C_ ( X X. X ) )
13 simpr 477 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ w e. ~P ( X X. X ) ) /\ v C_ w ) -> v C_ w )
14 filss 21657 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X X. X ) filGen F ) e. ( Fil ` ( X X. X ) ) /\ ( v e. ( ( X X. X ) filGen F ) /\ w C_ ( X X. X ) /\ v C_ w ) ) -> w e. ( ( X X. X ) filGen F ) )
159, 10, 12, 13, 14syl13anc 1328 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ w e. ~P ( X X. X ) ) /\ v C_ w ) -> w e. ( ( X X. X ) filGen F ) )
1615ex 450 . . . . 5 |- ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ w e. ~P ( X X. X ) ) -> ( v C_ w -> w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) )
1716ralrimiva 2966 . . . 4 |- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) )
188ad2antrr 762 . . . . . 6 |- ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> ( ( X X. X ) filGen F ) e. ( Fil ` ( X X. X ) ) )
19 simplr 792 . . . . . 6 |- ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> v e. ( ( X X. X ) filGen F ) )
20 simpr 477 . . . . . 6 |- ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> w e. ( ( X X. X ) filGen F ) )
21 filin 21658 . . . . . 6 |- ( ( ( ( X X. X ) filGen F ) e. ( Fil ` ( X X. X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) /\ w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> ( v i^i w ) e. ( ( X X. X ) filGen F ) )
2218, 19, 20, 21syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> ( v i^i w ) e. ( ( X X. X ) filGen F ) )
2322ralrimiva 2966 . . . 4 |- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> A. w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ( v i^i w ) e. ( ( X X. X ) filGen F ) )
241metustid 22359 . . . . . . . 8 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ u e. F ) -> ( _I |` X ) C_ u )
2524ad5ant24 1305 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ u e. F ) /\ u C_ v ) -> ( _I |` X ) C_ u )
26 simpr 477 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ u e. F ) /\ u C_ v ) -> u C_ v )
2725, 26sstrd 3613 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ u e. F ) /\ u C_ v ) -> ( _I |` X ) C_ v )
28 elfg 21675 . . . . . . . . 9 |- ( F e. ( fBas ` ( X X. X ) ) -> ( v e. ( ( X X. X ) filGen F ) <-> ( v C_ ( X X. X ) /\ E. u e. F u C_ v ) ) )
2928biimpa 501 . . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( fBas ` ( X X. X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> ( v C_ ( X X. X ) /\ E. u e. F u C_ v ) )
3029simprd 479 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( fBas ` ( X X. X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> E. u e. F u C_ v )
312, 30sylan 488 . . . . . 6 |- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> E. u e. F u C_ v )
3227, 31r19.29a 3078 . . . . 5 |- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> ( _I |` X ) C_ v )
338ad3antrrr 766 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ u e. F ) /\ u C_ v ) -> ( ( X X. X ) filGen F ) e. ( Fil ` ( X X. X ) ) )
342adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> F e. ( fBas ` ( X X. X ) ) )
35 ssfg 21676 . . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( fBas ` ( X X. X ) ) -> F C_ ( ( X X. X ) filGen F ) )
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> F C_ ( ( X X. X ) filGen F ) )
3736ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ u e. F ) /\ u C_ v ) -> F C_ ( ( X X. X ) filGen F ) )
38 simplr 792 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ u e. F ) /\ u C_ v ) -> u e. F )
3937, 38sseldd 3604 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ u e. F ) /\ u C_ v ) -> u e. ( ( X X. X ) filGen F ) )
4029simpld 475 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. ( fBas ` ( X X. X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> v C_ ( X X. X ) )
412, 40sylan 488 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> v C_ ( X X. X ) )
4241ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ u e. F ) /\ u C_ v ) -> v C_ ( X X. X ) )
43 cnvss 5294 . . . . . . . . 9 |- ( v C_ ( X X. X ) -> `' v C_ `' ( X X. X ) )
44 cnvxp 5551 . . . . . . . . 9 |- `' ( X X. X ) = ( X X. X )
4543, 44syl6sseq 3651 . . . . . . . 8 |- ( v C_ ( X X. X ) -> `' v C_ ( X X. X ) )
4642, 45syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ u e. F ) /\ u C_ v ) -> `' v C_ ( X X. X ) )
471metustsym 22360 . . . . . . . . 9 |- ( ( D e. (PsMet ` X ) /\ u e. F ) -> `' u = u )
4847ad5ant24 1305 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ u e. F ) /\ u C_ v ) -> `' u = u )
49 cnvss 5294 . . . . . . . . 9 |- ( u C_ v -> `' u C_ `' v )
5049adantl 482 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ u e. F ) /\ u C_ v ) -> `' u C_ `' v )
5148, 50eqsstr3d 3640 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ u e. F ) /\ u C_ v ) -> u C_ `' v )
52 filss 21657 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X X. X ) filGen F ) e. ( Fil ` ( X X. X ) ) /\ ( u e. ( ( X X. X ) filGen F ) /\ `' v C_ ( X X. X ) /\ u C_ `' v ) ) -> `' v e. ( ( X X. X ) filGen F ) )
5333, 39, 46, 51, 52syl13anc 1328 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ u e. F ) /\ u C_ v ) -> `' v e. ( ( X X. X ) filGen F ) )
5453, 31r19.29a 3078 . . . . 5 |- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> `' v e. ( ( X X. X ) filGen F ) )
551metustexhalf 22361 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ u e. F ) -> E. w e. F ( w o. w ) C_ u )
5655ad4ant13 1292 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ u e. F ) /\ u C_ v ) -> E. w e. F ( w o. w ) C_ u )
57 r19.41v 3089 . . . . . . . . 9 |- ( E. w e. F ( ( w o. w ) C_ u /\ u C_ v ) <-> ( E. w e. F ( w o. w ) C_ u /\ u C_ v ) )
58 sstr 3611 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( w o. w ) C_ u /\ u C_ v ) -> ( w o. w ) C_ v )
5958reximi 3011 . . . . . . . . 9 |- ( E. w e. F ( ( w o. w ) C_ u /\ u C_ v ) -> E. w e. F ( w o. w ) C_ v )
6057, 59sylbir 225 . . . . . . . 8 |- ( ( E. w e. F ( w o. w ) C_ u /\ u C_ v ) -> E. w e. F ( w o. w ) C_ v )
6156, 26, 60syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ u e. F ) /\ u C_ v ) -> E. w e. F ( w o. w ) C_ v )
6261, 31r19.29a 3078 . . . . . 6 |- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> E. w e. F ( w o. w ) C_ v )
63 ssrexv 3667 . . . . . 6 |- ( F C_ ( ( X X. X ) filGen F ) -> ( E. w e. F ( w o. w ) C_ v -> E. w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ( w o. w ) C_ v ) )
6436, 62, 63sylc 65 . . . . 5 |- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> E. w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ( w o. w ) C_ v )
6532, 54, 643jca 1242 . . . 4 |- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. ( ( X X. X ) filGen F ) /\ E. w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ( w o. w ) C_ v ) )
6617, 23, 653jca 1242 . . 3 |- ( ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) /\ v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) -> ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ A. w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ( v i^i w ) e. ( ( X X. X ) filGen F ) /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. ( ( X X. X ) filGen F ) /\ E. w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ( w o. w ) C_ v ) ) )
6766ralrimiva 2966 . 2 |- ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) -> A. v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ A. w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ( v i^i w ) e. ( ( X X. X ) filGen F ) /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. ( ( X X. X ) filGen F ) /\ E. w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ( w o. w ) C_ v ) ) )
68 elfvex 6221 . . . 4 |- ( D e. (PsMet ` X ) -> X e. _V )
6968adantl 482 . . 3 |- ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) -> X e. _V )
70 isust 22007 . . 3 |- ( X e. _V -> ( ( ( X X. X ) filGen F ) e. (UnifOn ` X ) <-> ( ( ( X X. X ) filGen F ) C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. ( ( X X. X ) filGen F ) /\ A. v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ A. w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ( v i^i w ) e. ( ( X X. X ) filGen F ) /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. ( ( X X. X ) filGen F ) /\ E. w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ( w o. w ) C_ v ) ) ) ) )
7169, 70syl 17 . 2 |- ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) -> ( ( ( X X. X ) filGen F ) e. (UnifOn ` X ) <-> ( ( ( X X. X ) filGen F ) C_ ~P ( X X. X ) /\ ( X X. X ) e. ( ( X X. X ) filGen F ) /\ A. v e. ( ( X X. X ) filGen F ) ( A. w e. ~P ( X X. X ) ( v C_ w -> w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ) /\ A. w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ( v i^i w ) e. ( ( X X. X ) filGen F ) /\ ( ( _I |` X ) C_ v /\ `' v e. ( ( X X. X ) filGen F ) /\ E. w e. ( ( X X. X ) filGen F ) ( w o. w ) C_ v ) ) ) ) )
725, 7, 67, 71mpbir3and 1245 1 |- ( ( X =/= (/) /\ D e. (PsMet ` X ) ) -> ( ( X X. X ) filGen F ) e. (UnifOn ` X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   RR+crp 11832   [,)cico 12177  PsMetcpsmet 19730   fBascfbas 19734   filGencfg 19735   Filcfil 21649  UnifOncust 22003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-psmet 19738  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-fil 21650  df-ust 22004
This theorem is referenced by:  cfilucfil  22364  metuust  22365  metucn  22376
  Copyright terms: Public domain W3C validator