Theorem kgencn 21359

Description: A function from a compactly generated space is continuous iff it is continuous "on compacta". (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kgencn	|- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( (𝑘Gen ` J ) Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   k, F   k, J   k, K   k, X   k, Y

Proof of Theorem kgencn

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kgentopon 21341	. . 3 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> (𝑘Gen ` J ) e. (TopOn ` X ) )
2		iscn 21039	. . 3 |- ( ( (𝑘Gen ` J ) e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( (𝑘Gen ` J ) Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. (𝑘Gen ` J ) ) ) )
3	1, 2	sylan 488	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( (𝑘Gen ` J ) Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. (𝑘Gen ` J ) ) ) )
4		elkgen 21339	. . . . . . 7 |- ( J e. (TopOn ` X ) -> ( ( `' F " x ) e. (𝑘Gen ` J ) <-> ( ( `' F " x ) C_ X /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( ( `' F " x ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) ) )
5	4	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( `' F " x ) e. (𝑘Gen ` J ) <-> ( ( `' F " x ) C_ X /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( ( `' F " x ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) ) )
6		cnvimass 5485	. . . . . . . 8 |- ( `' F " x ) C_ dom F
7		fdm 6051	. . . . . . . . 9 |- ( F : X --> Y -> dom F = X )
8	7	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> dom F = X )
9	6, 8	syl5sseq 3653	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( `' F " x ) C_ X )
10	9	biantrurd 529	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( ( `' F " x ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) <-> ( ( `' F " x ) C_ X /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( ( `' F " x ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) ) )
11	5, 10	bitr4d 271	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( ( `' F " x ) e. (𝑘Gen ` J ) <-> A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( ( `' F " x ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) )
12	11	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. K ( `' F " x ) e. (𝑘Gen ` J ) <-> A. x e. K A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( ( `' F " x ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) )
13		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> J e. (TopOn ` X ) )
14		elpwi 4168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ~P X -> k C_ X )
15		resttopon 20965	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ k C_ X ) -> ( J ↾t k ) e. (TopOn ` k ) )
16	13, 14, 15	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( J ↾t k ) e. (TopOn ` k ) )
17		simpllr 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> K e. (TopOn ` Y ) )
18		iscn 21039	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J ↾t k ) e. (TopOn ` k ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) <-> ( ( F |` k ) : k --> Y /\ A. x e. K ( `' ( F |` k ) " x ) e. ( J ↾t k ) ) ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) <-> ( ( F |` k ) : k --> Y /\ A. x e. K ( `' ( F |` k ) " x ) e. ( J ↾t k ) ) ) )
20		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> F : X --> Y )
21		fssres 6070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : X --> Y /\ k C_ X ) -> ( F |` k ) : k --> Y )
22	20, 14, 21	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( F |` k ) : k --> Y )
23	22	biantrurd 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( A. x e. K ( `' ( F |` k ) " x ) e. ( J ↾t k ) <-> ( ( F |` k ) : k --> Y /\ A. x e. K ( `' ( F |` k ) " x ) e. ( J ↾t k ) ) ) )
24	19, 23	bitr4d 271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) <-> A. x e. K ( `' ( F |` k ) " x ) e. ( J ↾t k ) ) )
25		cnvresima 5623	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' ( F |` k ) " x ) = ( ( `' F " x ) i^i k )
26	25	eleq1i 2692	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' ( F |` k ) " x ) e. ( J ↾t k ) <-> ( ( `' F " x ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
27	26	ralbii 2980	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. K ( `' ( F |` k ) " x ) e. ( J ↾t k ) <-> A. x e. K ( ( `' F " x ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) )
28	24, 27	syl6bb 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) <-> A. x e. K ( ( `' F " x ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
29	28	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) <-> ( ( J ↾t k ) e. Comp -> A. x e. K ( ( `' F " x ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) )
30		r19.21v 2960	. . . . . . 7 |- ( A. x e. K ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( ( `' F " x ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) <-> ( ( J ↾t k ) e. Comp -> A. x e. K ( ( `' F " x ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
31	29, 30	syl6bbr 278	. . . . . 6 |- ( ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) /\ k e. ~P X ) -> ( ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) <-> A. x e. K ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( ( `' F " x ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) )
32	31	ralbidva 2985	. . . . 5 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) <-> A. k e. ~P X A. x e. K ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( ( `' F " x ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) ) )
33		ralcom 3098	. . . . 5 |- ( A. x e. K A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( ( `' F " x ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) <-> A. k e. ~P X A. x e. K ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( ( `' F " x ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) )
34	32, 33	syl6rbbr 279	. . . 4 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. K A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( ( `' F " x ) i^i k ) e. ( J ↾t k ) ) <-> A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) ) )
35	12, 34	bitrd 268	. . 3 |- ( ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) /\ F : X --> Y ) -> ( A. x e. K ( `' F " x ) e. (𝑘Gen ` J ) <-> A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) ) )
36	35	pm5.32da 673	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( ( F : X --> Y /\ A. x e. K ( `' F " x ) e. (𝑘Gen ` J ) ) <-> ( F : X --> Y /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) ) ) )
37	3, 36	bitrd 268	1 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) ) -> ( F e. ( (𝑘Gen ` J ) Cn K ) <-> ( F : X --> Y /\ A. k e. ~P X ( ( J ↾t k ) e. Comp -> ( F |` k ) e. ( ( J ↾t k ) Cn K ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   |` cres 5116   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   Compccmp 21189  𝑘Genckgen 21336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cmp 21190  df-kgen 21337

This theorem is referenced by:  kgencn2  21360