Theorem limsupre2lem 39956

Description: Given a function on the extended reals, its supremum limit is real if and only if two condition holds: 1. there is a real number that is smaller than the function, at some point, in any upper part of the reals; 2. there is a real number that is eventually larger than the function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupre2lem.1	|- F/_ j F
limsupre2lem.2	|- ( ph -> A C_ RR )
limsupre2lem.3	|- ( ph -> F : A --> RR* )

Assertion

Ref	Expression
limsupre2lem	|- ( ph -> ( ( limsup ` F ) e. RR <-> ( E. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) /\ E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) < x ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, j, k, x   k, F, x   ph, j, k, x

Allowed substitution hint:   F( j)

Proof of Theorem limsupre2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupre2lem.3	. . . . 5 |- ( ph -> F : A --> RR* )
2		reex 10027	. . . . . . 7 |- RR e. _V
3	2	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> RR e. _V )
4		limsupre2lem.2	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ RR )
5	3, 4	ssexd 4805	. . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
6	1, 5	fexd 39296	. . . 4 |- ( ph -> F e. _V )
7	6	limsupcld 39922	. . 3 |- ( ph -> ( limsup ` F ) e. RR* )
8		xrre4 39638	. . 3 |- ( ( limsup ` F ) e. RR* -> ( ( limsup ` F ) e. RR <-> ( ( limsup ` F ) =/= -oo /\ ( limsup ` F ) =/= +oo ) ) )
9	7, 8	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( ( limsup ` F ) e. RR <-> ( ( limsup ` F ) =/= -oo /\ ( limsup ` F ) =/= +oo ) ) )
10		df-ne 2795	. . . . 5 |- ( ( limsup ` F ) =/= -oo <-> -. ( limsup ` F ) = -oo )
11	10	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( ( limsup ` F ) =/= -oo <-> -. ( limsup ` F ) = -oo ) )
12		limsupre2lem.1	. . . . . 6 |- F/_ j F
13	12, 4, 1	limsupmnf 39953	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( limsup ` F ) = -oo <-> A. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) )
14	13	notbid 308	. . . 4 |- ( ph -> ( -. ( limsup ` F ) = -oo <-> -. A. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) ) )
15		annim 441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k <_ j /\ -. ( F ` j ) <_ x ) <-> -. ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
16	15	rexbii 3041	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. j e. A ( k <_ j /\ -. ( F ` j ) <_ x ) <-> E. j e. A -. ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
17		rexnal 2995	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. j e. A -. ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) <-> -. A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
18	16, 17	bitri 264	. . . . . . . . . 10 |- ( E. j e. A ( k <_ j /\ -. ( F ` j ) <_ x ) <-> -. A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
19	18	ralbii 2980	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ -. ( F ` j ) <_ x ) <-> A. k e. RR -. A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
20		ralnex 2992	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. RR -. A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) <-> -. E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
21	19, 20	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ -. ( F ` j ) <_ x ) <-> -. E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
22	21	rexbii 3041	. . . . . . 7 |- ( E. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ -. ( F ` j ) <_ x ) <-> E. x e. RR -. E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
23		rexnal 2995	. . . . . . 7 |- ( E. x e. RR -. E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) <-> -. A. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) )
24	22, 23	bitr2i 265	. . . . . 6 |- ( -. A. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) <-> E. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ -. ( F ` j ) <_ x ) )
25	24	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( -. A. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) <-> E. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ -. ( F ` j ) <_ x ) ) )
26		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A ) -> x e. RR )
27	26	rexrd 10089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A ) -> x e. RR* )
28	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> F : A --> RR* )
29	28	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A ) -> ( F ` j ) e. RR* )
30	27, 29	xrltnled 39579	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A ) -> ( x < ( F ` j ) <-> -. ( F ` j ) <_ x ) )
31	30	bicomd 213	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A ) -> ( -. ( F ` j ) <_ x <-> x < ( F ` j ) ) )
32	31	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A ) -> ( ( k <_ j /\ -. ( F ` j ) <_ x ) <-> ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) ) )
33	32	rexbidva 3049	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E. j e. A ( k <_ j /\ -. ( F ` j ) <_ x ) <-> E. j e. A ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) ) )
34	33	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ -. ( F ` j ) <_ x ) <-> A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) ) )
35	34	rexbidva 3049	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ -. ( F ` j ) <_ x ) <-> E. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) ) )
36	25, 35	bitrd 268	. . . 4 |- ( ph -> ( -. A. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) <_ x ) <-> E. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) ) )
37	11, 14, 36	3bitrd 294	. . 3 |- ( ph -> ( ( limsup ` F ) =/= -oo <-> E. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) ) )
38		df-ne 2795	. . . . 5 |- ( ( limsup ` F ) =/= +oo <-> -. ( limsup ` F ) = +oo )
39	38	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( ( limsup ` F ) =/= +oo <-> -. ( limsup ` F ) = +oo ) )
40	12, 4, 1	limsuppnf 39943	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( limsup ` F ) = +oo <-> A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) )
41	40	notbid 308	. . . 4 |- ( ph -> ( -. ( limsup ` F ) = +oo <-> -. A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) )
42	29, 27	xrltnled 39579	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A ) -> ( ( F ` j ) < x <-> -. x <_ ( F ` j ) ) )
43	42	imbi2d 330	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ j e. A ) -> ( ( k <_ j -> ( F ` j ) < x ) <-> ( k <_ j -> -. x <_ ( F ` j ) ) ) )
44	43	ralbidva 2985	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) < x ) <-> A. j e. A ( k <_ j -> -. x <_ ( F ` j ) ) ) )
45	44	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) < x ) <-> E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> -. x <_ ( F ` j ) ) ) )
46	45	rexbidva 3049	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) < x ) <-> E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> -. x <_ ( F ` j ) ) ) )
47		imnan 438	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k <_ j -> -. x <_ ( F ` j ) ) <-> -. ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
48	47	ralbii 2980	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. j e. A ( k <_ j -> -. x <_ ( F ` j ) ) <-> A. j e. A -. ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
49		ralnex 2992	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. j e. A -. ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) <-> -. E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
50	48, 49	bitri 264	. . . . . . . . . 10 |- ( A. j e. A ( k <_ j -> -. x <_ ( F ` j ) ) <-> -. E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
51	50	rexbii 3041	. . . . . . . . 9 |- ( E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> -. x <_ ( F ` j ) ) <-> E. k e. RR -. E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
52		rexnal 2995	. . . . . . . . 9 |- ( E. k e. RR -. E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) <-> -. A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
53	51, 52	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> -. x <_ ( F ` j ) ) <-> -. A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
54	53	rexbii 3041	. . . . . . 7 |- ( E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> -. x <_ ( F ` j ) ) <-> E. x e. RR -. A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
55		rexnal 2995	. . . . . . 7 |- ( E. x e. RR -. A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) <-> -. A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
56	54, 55	bitri 264	. . . . . 6 |- ( E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> -. x <_ ( F ` j ) ) <-> -. A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) )
57	56	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> -. x <_ ( F ` j ) ) <-> -. A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) ) )
58	46, 57	bitr2d 269	. . . 4 |- ( ph -> ( -. A. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x <_ ( F ` j ) ) <-> E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) < x ) ) )
59	39, 41, 58	3bitrd 294	. . 3 |- ( ph -> ( ( limsup ` F ) =/= +oo <-> E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) < x ) ) )
60	37, 59	anbi12d 747	. 2 |- ( ph -> ( ( ( limsup ` F ) =/= -oo /\ ( limsup ` F ) =/= +oo ) <-> ( E. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) /\ E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) < x ) ) ) )
61	9, 60	bitrd 268	1 |- ( ph -> ( ( limsup ` F ) e. RR <-> ( E. x e. RR A. k e. RR E. j e. A ( k <_ j /\ x < ( F ` j ) ) /\ E. x e. RR E. k e. RR A. j e. A ( k <_ j -> ( F ` j ) < x ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888   RRcr 9935   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   limsupclsp 14201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-ico 12181  df-limsup 14202

This theorem is referenced by:  limsupre2  39957