Theorem lnophmi 28877

Description: A linear operator is Hermitian if x .ih ( T ` x ) takes only real values. Remark in [ReedSimon] p. 195. (Contributed by NM, 24-Jan-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnophm.1	|- T e. LinOp
lnophm.2	|- A. x e. ~H ( x .ih ( T ` x ) ) e. RR

Assertion

Ref	Expression
lnophmi	|- T e. HrmOp

Distinct variable group:   x, T

Proof of Theorem lnophmi

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lnophm.1	. . 3 |- T e. LinOp
2	1	lnopfi 28828	. 2 |- T : ~H --> ~H
3		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( y = if ( y e. ~H , y , 0h ) -> ( y .ih ( T ` z ) ) = ( if ( y e. ~H , y , 0h ) .ih ( T ` z ) ) )
4		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( y = if ( y e. ~H , y , 0h ) -> ( T ` y ) = ( T ` if ( y e. ~H , y , 0h ) ) )
5	4	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( y = if ( y e. ~H , y , 0h ) -> ( ( T ` y ) .ih z ) = ( ( T ` if ( y e. ~H , y , 0h ) ) .ih z ) )
6	3, 5	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( y = if ( y e. ~H , y , 0h ) -> ( ( y .ih ( T ` z ) ) = ( ( T ` y ) .ih z ) <-> ( if ( y e. ~H , y , 0h ) .ih ( T ` z ) ) = ( ( T ` if ( y e. ~H , y , 0h ) ) .ih z ) ) )
7		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( z = if ( z e. ~H , z , 0h ) -> ( T ` z ) = ( T ` if ( z e. ~H , z , 0h ) ) )
8	7	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( z = if ( z e. ~H , z , 0h ) -> ( if ( y e. ~H , y , 0h ) .ih ( T ` z ) ) = ( if ( y e. ~H , y , 0h ) .ih ( T ` if ( z e. ~H , z , 0h ) ) ) )
9		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( z = if ( z e. ~H , z , 0h ) -> ( ( T ` if ( y e. ~H , y , 0h ) ) .ih z ) = ( ( T ` if ( y e. ~H , y , 0h ) ) .ih if ( z e. ~H , z , 0h ) ) )
10	8, 9	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( z = if ( z e. ~H , z , 0h ) -> ( ( if ( y e. ~H , y , 0h ) .ih ( T ` z ) ) = ( ( T ` if ( y e. ~H , y , 0h ) ) .ih z ) <-> ( if ( y e. ~H , y , 0h ) .ih ( T ` if ( z e. ~H , z , 0h ) ) ) = ( ( T ` if ( y e. ~H , y , 0h ) ) .ih if ( z e. ~H , z , 0h ) ) ) )
11		ifhvhv0 27879	. . . . 5 |- if ( y e. ~H , y , 0h ) e. ~H
12		ifhvhv0 27879	. . . . 5 |- if ( z e. ~H , z , 0h ) e. ~H
13		lnophm.2	. . . . 5 |- A. x e. ~H ( x .ih ( T ` x ) ) e. RR
14	11, 12, 1, 13	lnophmlem2 28876	. . . 4 |- ( if ( y e. ~H , y , 0h ) .ih ( T ` if ( z e. ~H , z , 0h ) ) ) = ( ( T ` if ( y e. ~H , y , 0h ) ) .ih if ( z e. ~H , z , 0h ) )
15	6, 10, 14	dedth2h 4140	. . 3 |- ( ( y e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( y .ih ( T ` z ) ) = ( ( T ` y ) .ih z ) )
16	15	rgen2a 2977	. 2 |- A. y e. ~H A. z e. ~H ( y .ih ( T ` z ) ) = ( ( T ` y ) .ih z )
17		elhmop 28732	. 2 |- ( T e. HrmOp <-> ( T : ~H --> ~H /\ A. y e. ~H A. z e. ~H ( y .ih ( T ` z ) ) = ( ( T ` y ) .ih z ) ) )
18	2, 16, 17	mpbir2an 955	1 |- T e. HrmOp

Syntax hints:   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   ifcif 4086   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   ~Hchil 27776   .ih csp 27779   0hc0v 27781   LinOpclo 27804   HrmOpcho 27807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-hvsub 27828  df-lnop 28700  df-hmop 28703

This theorem is referenced by:  lnophm  28878