Theorem lssvnegcl 18956

Description: Closure of negative vectors in a subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssvnegcl.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lssvnegcl.n	|- N = ( invg ` W )

Assertion

Ref	Expression
lssvnegcl	|- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> ( N ` X ) e. U )

Proof of Theorem lssvnegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2		lssvnegcl.s	. . . . 5 |- S = ( LSubSp ` W )
3	1, 2	lssel 18938	. . . 4 |- ( ( U e. S /\ X e. U ) -> X e. ( Base ` W ) )
4		lssvnegcl.n	. . . . 5 |- N = ( invg ` W )
5		eqid 2622	. . . . 5 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
6		eqid 2622	. . . . 5 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
7		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 1r ` (Scalar ` W ) ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) )
8		eqid 2622	. . . . 5 |- ( invg ` (Scalar ` W ) ) = ( invg ` (Scalar ` W ) )
9	1, 4, 5, 6, 7, 8	lmodvneg1 18906	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. ( Base ` W ) ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) = ( N ` X ) )
10	3, 9	sylan2 491	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( U e. S /\ X e. U ) ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) = ( N ` X ) )
11	10	3impb 1260	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) = ( N ` X ) )
12		simp1 1061	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> W e. LMod )
13		simp2 1062	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> U e. S )
14	5	lmodring 18871	. . . . . 6 |- ( W e. LMod -> (Scalar ` W ) e. Ring )
15	14	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> (Scalar ` W ) e. Ring )
16		ringgrp 18552	. . . . 5 |- ( (Scalar ` W ) e. Ring -> (Scalar ` W ) e. Grp )
17	15, 16	syl 17	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> (Scalar ` W ) e. Grp )
18		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
19	18, 7	ringidcl 18568	. . . . 5 |- ( (Scalar ` W ) e. Ring -> ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
20	15, 19	syl 17	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
21	18, 8	grpinvcl 17467	. . . 4 |- ( ( (Scalar ` W ) e. Grp /\ ( 1r ` (Scalar ` W ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ) -> ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
22	17, 20, 21	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
23		simp3 1063	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> X e. U )
24	5, 6, 18, 2	lssvscl 18955	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ X e. U ) ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) e. U )
25	12, 13, 22, 23, 24	syl22anc 1327	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> ( ( ( invg ` (Scalar ` W ) ) ` ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ) ( .s ` W ) X ) e. U )
26	11, 25	eqeltrrd 2702	1 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ X e. U ) -> ( N ` X ) e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   1rcur 18501   Ringcrg 18547   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933

This theorem is referenced by:  lsssubg  18957  lidlnegcl  19214  mapdpglem14  36974  baerlem3lem1  36996  baerlem5amN  37005  baerlem5bmN  37006  baerlem5abmN  37007