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Theorem lsmcv 19141
Description: Subspace sum has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Similar to Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (spansncvi 28511 analog.) TODO: ugly proof; can it be shortened? (Contributed by NM, 2-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcv.v |- V = ( Base ` W )
lsmcv.s |- S = ( LSubSp ` W )
lsmcv.n |- N = ( LSpan ` W )
lsmcv.p |- .(+) = ( LSSum ` W )
lsmcv.w |- ( ph -> W e. LVec )
lsmcv.t |- ( ph -> T e. S )
lsmcv.u |- ( ph -> U e. S )
lsmcv.x |- ( ph -> X e. V )
Assertion
Ref Expression
lsmcv |- ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) -> U = ( T .(+) ( N ` { X } ) ) )
Proof of Theorem lsmcv
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1063 . 2 |- ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) -> U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) )
2 simp2 1062 . . . 4 |- ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) -> T C. U )
3 pssss 3702 . . . 4 |- ( T C. U -> T C_ U )
42, 3syl 17 . . 3 |- ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) -> T C_ U )
5 pssnel 4039 . . . . 5 |- ( T C. U -> E. x ( x e. U /\ -. x e. T ) )
62, 5syl 17 . . . 4 |- ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) -> E. x ( x e. U /\ -. x e. T ) )
7 simpl3 1066 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) -> U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) )
8 simprl 794 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) -> x e. U )
97, 8sseldd 3604 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) -> x e. ( T .(+) ( N ` { X } ) ) )
10 lsmcv.w . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> W e. LVec )
11 lveclmod 19106 . . . . . . . . . . . 12 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> W e. LMod )
13 lsmcv.s . . . . . . . . . . . 12 |- S = ( LSubSp ` W )
1413lsssssubg 18958 . . . . . . . . . . 11 |- ( W e. LMod -> S C_ (SubGrp ` W ) )
1512, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S C_ (SubGrp ` W ) )
16 lsmcv.t . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> T e. S )
1715, 16sseldd 3604 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> T e. (SubGrp ` W ) )
18 lsmcv.x . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. V )
19 lsmcv.v . . . . . . . . . . . 12 |- V = ( Base ` W )
20 lsmcv.n . . . . . . . . . . . 12 |- N = ( LSpan ` W )
2119, 13, 20lspsncl 18977 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) e. S )
2212, 18, 21syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N ` { X } ) e. S )
2315, 22sseldd 3604 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N ` { X } ) e. (SubGrp ` W ) )
24 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
25 lsmcv.p . . . . . . . . . 10 |- .(+) = ( LSSum ` W )
2624, 25lsmelval 18064 . . . . . . . . 9 |- ( ( T e. (SubGrp ` W ) /\ ( N ` { X } ) e. (SubGrp ` W ) ) -> ( x e. ( T .(+) ( N ` { X } ) ) <-> E. y e. T E. z e. ( N ` { X } ) x = ( y ( +g ` W ) z ) ) )
2717, 23, 26syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. ( T .(+) ( N ` { X } ) ) <-> E. y e. T E. z e. ( N ` { X } ) x = ( y ( +g ` W ) z ) ) )
28273ad2ant1 1082 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) -> ( x e. ( T .(+) ( N ` { X } ) ) <-> E. y e. T E. z e. ( N ` { X } ) x = ( y ( +g ` W ) z ) ) )
2928adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) -> ( x e. ( T .(+) ( N ` { X } ) ) <-> E. y e. T E. z e. ( N ` { X } ) x = ( y ( +g ` W ) z ) ) )
309, 29mpbid 222 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) -> E. y e. T E. z e. ( N ` { X } ) x = ( y ( +g ` W ) z ) )
31 simp1rr 1127 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) -> -. x e. T )
32 simp2l 1087 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) -> y e. T )
33 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = ( 0g ` W ) -> ( y ( +g ` W ) z ) = ( y ( +g ` W ) ( 0g ` W ) ) )
3433eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( 0g ` W ) -> ( x = ( y ( +g ` W ) z ) <-> x = ( y ( +g ` W ) ( 0g ` W ) ) ) )
3534biimpac 503 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = ( y ( +g ` W ) z ) /\ z = ( 0g ` W ) ) -> x = ( y ( +g ` W ) ( 0g ` W ) ) )
36123ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) -> W e. LMod )
3736ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) ) -> W e. LMod )
38163ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) -> T e. S )
3938ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) ) -> T e. S )
40 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) ) -> y e. T )
4119, 13lssel 18938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( T e. S /\ y e. T ) -> y e. V )
4239, 40, 41syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) ) -> y e. V )
43 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
4419, 24, 43lmod0vrid 18894 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( W e. LMod /\ y e. V ) -> ( y ( +g ` W ) ( 0g ` W ) ) = y )
4537, 42, 44syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) ) -> ( y ( +g ` W ) ( 0g ` W ) ) = y )
4645eqeq2d 2632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) ) -> ( x = ( y ( +g ` W ) ( 0g ` W ) ) <-> x = y ) )
4746biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) ) -> ( x = ( y ( +g ` W ) ( 0g ` W ) ) -> x = y ) )
4847ex 450 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) -> ( ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) -> ( x = ( y ( +g ` W ) ( 0g ` W ) ) -> x = y ) ) )
4935, 48syl7 74 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) -> ( ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) -> ( ( x = ( y ( +g ` W ) z ) /\ z = ( 0g ` W ) ) -> x = y ) ) )
5049exp4a 633 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) -> ( ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) -> ( x = ( y ( +g ` W ) z ) -> ( z = ( 0g ` W ) -> x = y ) ) ) )
51503imp 1256 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) -> ( z = ( 0g ` W ) -> x = y ) )
52 eleq1 2689 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( x e. T <-> y e. T ) )
5352biimparc 504 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. T /\ x = y ) -> x e. T )
5432, 51, 53syl6an 568 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) -> ( z = ( 0g ` W ) -> x e. T ) )
5554necon3bd 2808 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) -> ( -. x e. T -> z =/= ( 0g ` W ) ) )
5631, 55mpd 15 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) -> z =/= ( 0g ` W ) )
57103ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) -> W e. LVec )
5857adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) -> W e. LVec )
59583ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) -> W e. LVec )
60 lmodabl 18910 . . . . . . . . . . . 12 |- ( W e. LMod -> W e. Abel )
6111, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( W e. LVec -> W e. Abel )
6259, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) -> W e. Abel )
63 simp1l1 1154 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) -> ph )
6463, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) -> T e. S )
6564, 32, 41syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) -> y e. V )
6659, 11syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) -> W e. LMod )
6763, 18syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) -> X e. V )
6866, 67, 21syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) -> ( N ` { X } ) e. S )
69 simp2r 1088 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) -> z e. ( N ` { X } ) )
7019, 13lssel 18938 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N ` { X } ) e. S /\ z e. ( N ` { X } ) ) -> z e. V )
7168, 69, 70syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) -> z e. V )
72 eqid 2622 . . . . . . . . . . 11 |- ( -g ` W ) = ( -g ` W )
7319, 24, 72ablpncan2 18221 . . . . . . . . . 10 |- ( ( W e. Abel /\ y e. V /\ z e. V ) -> ( ( y ( +g ` W ) z ) ( -g ` W ) y ) = z )
7462, 65, 71, 73syl3anc 1326 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) -> ( ( y ( +g ` W ) z ) ( -g ` W ) y ) = z )
75 lsmcv.u . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U e. S )
7663, 75syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) -> U e. S )
77 simp3 1063 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) -> x = ( y ( +g ` W ) z ) )
78 simp1rl 1126 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) -> x e. U )
7977, 78eqeltrrd 2702 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) -> ( y ( +g ` W ) z ) e. U )
80 simp1l2 1155 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) -> T C. U )
813sselda 3603 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( T C. U /\ y e. T ) -> y e. U )
8280, 32, 81syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) -> y e. U )
8372, 13lssvsubcl 18944 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S ) /\ ( ( y ( +g ` W ) z ) e. U /\ y e. U ) ) -> ( ( y ( +g ` W ) z ) ( -g ` W ) y ) e. U )
8466, 76, 79, 82, 83syl22anc 1327 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) -> ( ( y ( +g ` W ) z ) ( -g ` W ) y ) e. U )
8574, 84eqeltrrd 2702 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) -> z e. U )
86593ad2ant1 1082 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) /\ z =/= ( 0g ` W ) /\ z e. U ) -> W e. LVec )
87633ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) /\ z =/= ( 0g ` W ) /\ z e. U ) -> ph )
8887, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) /\ z =/= ( 0g ` W ) /\ z e. U ) -> X e. V )
89 simp12r 1175 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) /\ z =/= ( 0g ` W ) /\ z e. U ) -> z e. ( N ` { X } ) )
90 simp2 1062 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) /\ z =/= ( 0g ` W ) /\ z e. U ) -> z =/= ( 0g ` W ) )
9119, 43, 20, 86, 88, 89, 90lspsneleq 19115 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) /\ z =/= ( 0g ` W ) /\ z e. U ) -> ( N ` { z } ) = ( N ` { X } ) )
9286, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) /\ z =/= ( 0g ` W ) /\ z e. U ) -> W e. LMod )
9387, 75syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) /\ z =/= ( 0g ` W ) /\ z e. U ) -> U e. S )
94 simp3 1063 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) /\ z =/= ( 0g ` W ) /\ z e. U ) -> z e. U )
9513, 20, 92, 93, 94lspsnel5a 18996 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) /\ z =/= ( 0g ` W ) /\ z e. U ) -> ( N ` { z } ) C_ U )
9691, 95eqsstr3d 3640 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) /\ z =/= ( 0g ` W ) /\ z e. U ) -> ( N ` { X } ) C_ U )
9756, 85, 96mpd3an23 1426 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) /\ ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) /\ x = ( y ( +g ` W ) z ) ) -> ( N ` { X } ) C_ U )
98973exp 1264 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) -> ( ( y e. T /\ z e. ( N ` { X } ) ) -> ( x = ( y ( +g ` W ) z ) -> ( N ` { X } ) C_ U ) ) )
9998rexlimdvv 3037 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) -> ( E. y e. T E. z e. ( N ` { X } ) x = ( y ( +g ` W ) z ) -> ( N ` { X } ) C_ U ) )
10030, 99mpd 15 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) /\ ( x e. U /\ -. x e. T ) ) -> ( N ` { X } ) C_ U )
1016, 100exlimddv 1863 . . 3 |- ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) -> ( N ` { X } ) C_ U )
10215, 75sseldd 3604 . . . . 5 |- ( ph -> U e. (SubGrp ` W ) )
10325lsmlub 18078 . . . . 5 |- ( ( T e. (SubGrp ` W ) /\ ( N ` { X } ) e. (SubGrp ` W ) /\ U e. (SubGrp ` W ) ) -> ( ( T C_ U /\ ( N ` { X } ) C_ U ) <-> ( T .(+) ( N ` { X } ) ) C_ U ) )
10417, 23, 102, 103syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ph -> ( ( T C_ U /\ ( N ` { X } ) C_ U ) <-> ( T .(+) ( N ` { X } ) ) C_ U ) )
1051043ad2ant1 1082 . . 3 |- ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) -> ( ( T C_ U /\ ( N ` { X } ) C_ U ) <-> ( T .(+) ( N ` { X } ) ) C_ U ) )
1064, 101, 105mpbi2and 956 . 2 |- ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) -> ( T .(+) ( N ` { X } ) ) C_ U )
1071, 106eqssd 3620 1 |- ( ( ph /\ T C. U /\ U C_ ( T .(+) ( N ` { X } ) ) ) -> U = ( T .(+) ( N ` { X } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   C_ wss 3574   C. wpss 3575   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   -gcsg 17424  SubGrpcsubg 17588   LSSumclsm 18049   Abelcabl 18194   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   LSpanclspn 18971   LVecclvec 19102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103
This theorem is referenced by:  lshpnelb  34271  lshpcmp  34275  lsmsatcv  34297  lsmcv2  34316  dochshpncl  36673
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