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Theorem lshpkrlem5 34401
Description: Lemma for lshpkrex 34405. Part of showing linearity of G. (Contributed by NM, 16-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpkrlem.v |- V = ( Base ` W )
lshpkrlem.a |- .+ = ( +g ` W )
lshpkrlem.n |- N = ( LSpan ` W )
lshpkrlem.p |- .(+) = ( LSSum ` W )
lshpkrlem.h |- H = (LSHyp ` W )
lshpkrlem.w |- ( ph -> W e. LVec )
lshpkrlem.u |- ( ph -> U e. H )
lshpkrlem.z |- ( ph -> Z e. V )
lshpkrlem.x |- ( ph -> X e. V )
lshpkrlem.e |- ( ph -> ( U .(+) ( N ` { Z } ) ) = V )
lshpkrlem.d |- D = (Scalar ` W )
lshpkrlem.k |- K = ( Base ` D )
lshpkrlem.t |- .x. = ( .s ` W )
lshpkrlem.o |- .0. = ( 0g ` D )
lshpkrlem.g |- G = ( x e. V |-> ( iota_ k e. K E. y e. U x = ( y .+ ( k .x. Z ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
lshpkrlem5 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) = ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) ( +g ` D ) ( G ` v ) ) )
Distinct variable groups:   x, k, y, .+   k, K, x   .0. , k   .x. , k, x, y   U, k, x, y   x, V   k, X, x, y   k, Z, x, y   z, l, .+   G, l, z   K, l   U, l, z   X, l, z   Z, l, z, k, x, y   .x. , l, z   u, k, v, x, y
Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, v, u, k, s, r, l)   D( x, y, z, v, u, k, s, r, l)   .+ ( v, u, s, r)   .(+) ( x, y, z, v, u, k, s, r, l)   .x. ( v, u, s, r)   U( v, u, s, r)   G( x, y, v, u, k, s, r)   H( x, y, z, v, u, k, s, r, l)   K( y, z, v, u, s, r)   N( x, y, z, v, u, k, s, r, l)   V( y, z, v, u, k, s, r, l)   W( x, y, z, v, u, k, s, r, l)   X( v, u, s, r)   .0. ( x, y, z, v, u, s, r, l)   Z( v, u, s, r)
Proof of Theorem lshpkrlem5
StepHypRef Expression
1 lshpkrlem.a . . 3 |- .+ = ( +g ` W )
2 eqid 2622 . . 3 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
3 eqid 2622 . . 3 |- (Cntz ` W ) = (Cntz ` W )
4 simp11 1091 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> ph )
5 lshpkrlem.w . . . . . . 7 |- ( ph -> W e. LVec )
64, 5syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> W e. LVec )
7 lveclmod 19106 . . . . . 6 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
86, 7syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> W e. LMod )
9 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
109lsssssubg 18958 . . . . 5 |- ( W e. LMod -> ( LSubSp ` W ) C_ (SubGrp ` W ) )
118, 10syl 17 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> ( LSubSp ` W ) C_ (SubGrp ` W ) )
12 lshpkrlem.h . . . . . 6 |- H = (LSHyp ` W )
135, 7syl 17 . . . . . 6 |- ( ph -> W e. LMod )
14 lshpkrlem.u . . . . . 6 |- ( ph -> U e. H )
159, 12, 13, 14lshplss 34268 . . . . 5 |- ( ph -> U e. ( LSubSp ` W ) )
164, 15syl 17 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> U e. ( LSubSp ` W ) )
1711, 16sseldd 3604 . . 3 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> U e. (SubGrp ` W ) )
18 lshpkrlem.z . . . . . 6 |- ( ph -> Z e. V )
194, 18syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> Z e. V )
20 lshpkrlem.v . . . . . 6 |- V = ( Base ` W )
21 lshpkrlem.n . . . . . 6 |- N = ( LSpan ` W )
2220, 9, 21lspsncl 18977 . . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ Z e. V ) -> ( N ` { Z } ) e. ( LSubSp ` W ) )
238, 19, 22syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> ( N ` { Z } ) e. ( LSubSp ` W ) )
2411, 23sseldd 3604 . . 3 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> ( N ` { Z } ) e. (SubGrp ` W ) )
25 lshpkrlem.p . . . . 5 |- .(+) = ( LSSum ` W )
26 lshpkrlem.e . . . . 5 |- ( ph -> ( U .(+) ( N ` { Z } ) ) = V )
2720, 2, 21, 25, 12, 5, 14, 18, 26lshpdisj 34274 . . . 4 |- ( ph -> ( U i^i ( N ` { Z } ) ) = { ( 0g ` W ) } )
284, 27syl 17 . . 3 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> ( U i^i ( N ` { Z } ) ) = { ( 0g ` W ) } )
29 lmodabl 18910 . . . . 5 |- ( W e. LMod -> W e. Abel )
308, 29syl 17 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> W e. Abel )
313, 30, 17, 24ablcntzd 18260 . . 3 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> U C_ ( (Cntz ` W ) ` ( N ` { Z } ) ) )
32 simp23r 1183 . . 3 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> z e. U )
33 simp12 1092 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> l e. K )
34 simp22 1095 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> r e. U )
35 lshpkrlem.d . . . . . 6 |- D = (Scalar ` W )
36 lshpkrlem.t . . . . . 6 |- .x. = ( .s ` W )
37 lshpkrlem.k . . . . . 6 |- K = ( Base ` D )
3835, 36, 37, 9lssvscl 18955 . . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. ( LSubSp ` W ) ) /\ ( l e. K /\ r e. U ) ) -> ( l .x. r ) e. U )
398, 16, 33, 34, 38syl22anc 1327 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> ( l .x. r ) e. U )
40 simp23l 1182 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> s e. U )
411, 9lssvacl 18954 . . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. ( LSubSp ` W ) ) /\ ( ( l .x. r ) e. U /\ s e. U ) ) -> ( ( l .x. r ) .+ s ) e. U )
428, 16, 39, 40, 41syl22anc 1327 . . 3 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> ( ( l .x. r ) .+ s ) e. U )
43 simp13 1093 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> u e. V )
4420, 35, 36, 37lmodvscl 18880 . . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ l e. K /\ u e. V ) -> ( l .x. u ) e. V )
458, 33, 43, 44syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> ( l .x. u ) e. V )
46 simp21 1094 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> v e. V )
4720, 1lmodvacl 18877 . . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( l .x. u ) e. V /\ v e. V ) -> ( ( l .x. u ) .+ v ) e. V )
488, 45, 46, 47syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> ( ( l .x. u ) .+ v ) e. V )
495adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) e. V ) -> W e. LVec )
5014adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) e. V ) -> U e. H )
5118adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) e. V ) -> Z e. V )
52 simpr 477 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) e. V ) -> ( ( l .x. u ) .+ v ) e. V )
5326adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) e. V ) -> ( U .(+) ( N ` { Z } ) ) = V )
54 lshpkrlem.o . . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` D )
55 lshpkrlem.g . . . . . 6 |- G = ( x e. V |-> ( iota_ k e. K E. y e. U x = ( y .+ ( k .x. Z ) ) ) )
5620, 1, 21, 25, 12, 49, 50, 51, 52, 53, 35, 37, 36, 54, 55lshpkrlem2 34398 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) e. V ) -> ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) e. K )
574, 48, 56syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) e. K )
5820, 36, 35, 37, 21, 8, 57, 19lspsneli 19001 . . 3 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) e. ( N ` { Z } ) )
595adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. V ) -> W e. LVec )
6014adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. V ) -> U e. H )
6118adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. V ) -> Z e. V )
62 simpr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. V ) -> u e. V )
6326adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. V ) -> ( U .(+) ( N ` { Z } ) ) = V )
6420, 1, 21, 25, 12, 59, 60, 61, 62, 63, 35, 37, 36, 54, 55lshpkrlem2 34398 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. V ) -> ( G ` u ) e. K )
654, 43, 64syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> ( G ` u ) e. K )
66 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( .r ` D ) = ( .r ` D )
6735, 37, 66lmodmcl 18875 . . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ l e. K /\ ( G ` u ) e. K ) -> ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) e. K )
688, 33, 65, 67syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) e. K )
695adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. V ) -> W e. LVec )
7014adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. V ) -> U e. H )
7118adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. V ) -> Z e. V )
72 simpr 477 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. V ) -> v e. V )
7326adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. V ) -> ( U .(+) ( N ` { Z } ) ) = V )
7420, 1, 21, 25, 12, 69, 70, 71, 72, 73, 35, 37, 36, 54, 55lshpkrlem2 34398 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ v e. V ) -> ( G ` v ) e. K )
754, 46, 74syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> ( G ` v ) e. K )
76 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( +g ` D ) = ( +g ` D )
7735, 37, 76lmodacl 18874 . . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) e. K /\ ( G ` v ) e. K ) -> ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) ( +g ` D ) ( G ` v ) ) e. K )
788, 68, 75, 77syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) ( +g ` D ) ( G ` v ) ) e. K )
7920, 36, 35, 37, 21, 8, 78, 19lspsneli 19001 . . 3 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> ( ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) ( +g ` D ) ( G ` v ) ) .x. Z ) e. ( N ` { Z } ) )
80 simp33 1099 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) )
81 simp1 1061 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) )
8220, 9lssel 18938 . . . . . 6 |- ( ( U e. ( LSubSp ` W ) /\ r e. U ) -> r e. V )
8316, 34, 82syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> r e. V )
8420, 9lssel 18938 . . . . . 6 |- ( ( U e. ( LSubSp ` W ) /\ s e. U ) -> s e. V )
8516, 40, 84syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> s e. V )
86 simp31 1097 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) )
87 simp32 1098 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) )
88 lshpkrlem.x . . . . . 6 |- ( ph -> X e. V )
8920, 1, 21, 25, 12, 5, 14, 18, 88, 26, 35, 37, 36, 54, 55lshpkrlem4 34400 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. V /\ s e. V ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) ) ) -> ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( ( ( l .x. r ) .+ s ) .+ ( ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) ( +g ` D ) ( G ` v ) ) .x. Z ) ) )
9081, 46, 83, 85, 86, 87, 89syl132anc 1344 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( ( ( l .x. r ) .+ s ) .+ ( ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) ( +g ` D ) ( G ` v ) ) .x. Z ) ) )
9180, 90eqtr3d 2658 . . 3 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) = ( ( ( l .x. r ) .+ s ) .+ ( ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) ( +g ` D ) ( G ` v ) ) .x. Z ) ) )
921, 2, 3, 17, 24, 28, 31, 32, 42, 58, 79, 91subgdisj2 18105 . 2 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) = ( ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) ( +g ` D ) ( G ` v ) ) .x. Z ) )
9320, 21, 25, 12, 2, 13, 14, 18, 26lshpne0 34273 . . . 4 |- ( ph -> Z =/= ( 0g ` W ) )
944, 93syl 17 . . 3 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> Z =/= ( 0g ` W ) )
9520, 36, 35, 37, 2, 6, 57, 78, 19, 94lvecvscan2 19112 . 2 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> ( ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) = ( ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) ( +g ` D ) ( G ` v ) ) .x. Z ) <-> ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) = ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) ( +g ` D ) ( G ` v ) ) ) )
9692, 95mpbid 222 1 |- ( ( ( ph /\ l e. K /\ u e. V ) /\ ( v e. V /\ r e. U /\ ( s e. U /\ z e. U ) ) /\ ( u = ( r .+ ( ( G ` u ) .x. Z ) ) /\ v = ( s .+ ( ( G ` v ) .x. Z ) ) /\ ( ( l .x. u ) .+ v ) = ( z .+ ( ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) .x. Z ) ) ) ) -> ( G ` ( ( l .x. u ) .+ v ) ) = ( ( l ( .r ` D ) ( G ` u ) ) ( +g ` D ) ( G ` v ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100  SubGrpcsubg 17588  Cntzccntz 17748   LSSumclsm 18049   Abelcabl 18194   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   LSpanclspn 18971   LVecclvec 19102  LSHypclsh 34262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103  df-lshyp 34264
This theorem is referenced by:  lshpkrlem6  34402
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