Theorem mddmd2 29168

Description: Relationship between modular pairs and dual-modular pairs. Lemma 1.2 of [MaedaMaeda] p. 1. (Contributed by NM, 21-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mddmd2	|- ( A e. CH -> ( A. x e. CH A MH x <-> A. x e. CH A MH* x ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem mddmd2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4657	. . . . 5 |- ( x = y -> ( A MH x <-> A MH y ) )
2	1	cbvralv 3171	. . . 4 |- ( A. x e. CH A MH x <-> A. y e. CH A MH y )
3		mdbr 29153	. . . . . 6 |- ( ( A e. CH /\ y e. CH ) -> ( A MH y <-> A. x e. CH ( x C_ y -> ( ( x vH A ) i^i y ) = ( x vH ( A i^i y ) ) ) ) )
4		incom 3805	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A vH x ) i^i y ) = ( y i^i ( A vH x ) )
5		chjcom 28365	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CH /\ x e. CH ) -> ( A vH x ) = ( x vH A ) )
6	5	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CH /\ x e. CH ) -> ( ( A vH x ) i^i y ) = ( ( x vH A ) i^i y ) )
7	4, 6	syl5reqr 2671	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CH /\ x e. CH ) -> ( ( x vH A ) i^i y ) = ( y i^i ( A vH x ) ) )
8	7	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CH /\ y e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( x vH A ) i^i y ) = ( y i^i ( A vH x ) ) )
9		incom 3805	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A i^i y ) = ( y i^i A )
10	9	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A i^i y ) vH x ) = ( ( y i^i A ) vH x )
11		chincl 28358	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CH /\ y e. CH ) -> ( A i^i y ) e. CH )
12		chjcom 28365	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A i^i y ) e. CH /\ x e. CH ) -> ( ( A i^i y ) vH x ) = ( x vH ( A i^i y ) ) )
13	11, 12	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. CH /\ y e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( A i^i y ) vH x ) = ( x vH ( A i^i y ) ) )
14	10, 13	syl5reqr 2671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. CH /\ y e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( x vH ( A i^i y ) ) = ( ( y i^i A ) vH x ) )
15	8, 14	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. CH /\ y e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( ( x vH A ) i^i y ) = ( x vH ( A i^i y ) ) <-> ( y i^i ( A vH x ) ) = ( ( y i^i A ) vH x ) ) )
16		eqcom 2629	. . . . . . . . 9 |- ( ( y i^i ( A vH x ) ) = ( ( y i^i A ) vH x ) <-> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) )
17	15, 16	syl6bb 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CH /\ y e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( ( x vH A ) i^i y ) = ( x vH ( A i^i y ) ) <-> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) ) )
18	17	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CH /\ y e. CH ) /\ x e. CH ) -> ( ( x C_ y -> ( ( x vH A ) i^i y ) = ( x vH ( A i^i y ) ) ) <-> ( x C_ y -> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) ) ) )
19	18	ralbidva 2985	. . . . . 6 |- ( ( A e. CH /\ y e. CH ) -> ( A. x e. CH ( x C_ y -> ( ( x vH A ) i^i y ) = ( x vH ( A i^i y ) ) ) <-> A. x e. CH ( x C_ y -> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) ) ) )
20	3, 19	bitrd 268	. . . . 5 |- ( ( A e. CH /\ y e. CH ) -> ( A MH y <-> A. x e. CH ( x C_ y -> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) ) ) )
21	20	ralbidva 2985	. . . 4 |- ( A e. CH -> ( A. y e. CH A MH y <-> A. y e. CH A. x e. CH ( x C_ y -> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) ) ) )
22	2, 21	syl5bb 272	. . 3 |- ( A e. CH -> ( A. x e. CH A MH x <-> A. y e. CH A. x e. CH ( x C_ y -> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) ) ) )
23		ralcom 3098	. . 3 |- ( A. y e. CH A. x e. CH ( x C_ y -> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) ) <-> A. x e. CH A. y e. CH ( x C_ y -> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) ) )
24	22, 23	syl6bb 276	. 2 |- ( A e. CH -> ( A. x e. CH A MH x <-> A. x e. CH A. y e. CH ( x C_ y -> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) ) ) )
25		dmdbr 29158	. . 3 |- ( ( A e. CH /\ x e. CH ) -> ( A MH* x <-> A. y e. CH ( x C_ y -> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) ) ) )
26	25	ralbidva 2985	. 2 |- ( A e. CH -> ( A. x e. CH A MH* x <-> A. x e. CH A. y e. CH ( x C_ y -> ( ( y i^i A ) vH x ) = ( y i^i ( A vH x ) ) ) ) )
27	24, 26	bitr4d 271	1 |- ( A e. CH -> ( A. x e. CH A MH x <-> A. x e. CH A MH* x ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   i^i cin 3573   C_ wss 3574   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   CHcch 27786   vH chj 27790   MH cmd 27823   MH* cdmd 27824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hv0cl 27860  ax-hfvmul 27862

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-map 7859  df-nn 11021  df-hlim 27829  df-sh 28064  df-ch 28078  df-chj 28169  df-md 29139  df-dmd 29140

This theorem is referenced by:  atmd  29258