Theorem nnaord 7699

Description: Ordering property of addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58, limited to natural numbers, and its converse. (Contributed by NM, 7-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnaord	|- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B <-> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )

Proof of Theorem nnaord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnaordi 7698	. . 3 |- ( ( B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
2	1	3adant1 1079	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
3		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( A = B -> ( C +o A ) = ( C +o B ) )
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A = B -> ( C +o A ) = ( C +o B ) ) )
5		nnaordi 7698	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ C e. om ) -> ( B e. A -> ( C +o B ) e. ( C +o A ) ) )
6	5	3adant2 1080	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( B e. A -> ( C +o B ) e. ( C +o A ) ) )
7	4, 6	orim12d 883	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( A = B \/ B e. A ) -> ( ( C +o A ) = ( C +o B ) \/ ( C +o B ) e. ( C +o A ) ) ) )
8	7	con3d 148	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( -. ( ( C +o A ) = ( C +o B ) \/ ( C +o B ) e. ( C +o A ) ) -> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
9		df-3an 1039	. . . . . 6 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) <-> ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ C e. om ) )
10		ancom 466	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. om /\ B e. om ) /\ C e. om ) <-> ( C e. om /\ ( A e. om /\ B e. om ) ) )
11		anandi 871	. . . . . 6 |- ( ( C e. om /\ ( A e. om /\ B e. om ) ) <-> ( ( C e. om /\ A e. om ) /\ ( C e. om /\ B e. om ) ) )
12	9, 10, 11	3bitri 286	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) <-> ( ( C e. om /\ A e. om ) /\ ( C e. om /\ B e. om ) ) )
13		nnacl 7691	. . . . . . 7 |- ( ( C e. om /\ A e. om ) -> ( C +o A ) e. om )
14		nnord 7073	. . . . . . 7 |- ( ( C +o A ) e. om -> Ord ( C +o A ) )
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( C e. om /\ A e. om ) -> Ord ( C +o A ) )
16		nnacl 7691	. . . . . . 7 |- ( ( C e. om /\ B e. om ) -> ( C +o B ) e. om )
17		nnord 7073	. . . . . . 7 |- ( ( C +o B ) e. om -> Ord ( C +o B ) )
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( C e. om /\ B e. om ) -> Ord ( C +o B ) )
19	15, 18	anim12i 590	. . . . 5 |- ( ( ( C e. om /\ A e. om ) /\ ( C e. om /\ B e. om ) ) -> ( Ord ( C +o A ) /\ Ord ( C +o B ) ) )
20	12, 19	sylbi 207	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( Ord ( C +o A ) /\ Ord ( C +o B ) ) )
21		ordtri2 5758	. . . 4 |- ( ( Ord ( C +o A ) /\ Ord ( C +o B ) ) -> ( ( C +o A ) e. ( C +o B ) <-> -. ( ( C +o A ) = ( C +o B ) \/ ( C +o B ) e. ( C +o A ) ) ) )
22	20, 21	syl 17	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C +o A ) e. ( C +o B ) <-> -. ( ( C +o A ) = ( C +o B ) \/ ( C +o B ) e. ( C +o A ) ) ) )
23		nnord 7073	. . . . . 6 |- ( A e. om -> Ord A )
24		nnord 7073	. . . . . 6 |- ( B e. om -> Ord B )
25	23, 24	anim12i 590	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( Ord A /\ Ord B ) )
26	25	3adant3 1081	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( Ord A /\ Ord B ) )
27		ordtri2 5758	. . . 4 |- ( ( Ord A /\ Ord B ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
28	26, 27	syl 17	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B <-> -. ( A = B \/ B e. A ) ) )
29	8, 22, 28	3imtr4d 283	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( ( C +o A ) e. ( C +o B ) -> A e. B ) )
30	2, 29	impbid 202	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om /\ C e. om ) -> ( A e. B <-> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   Ord word 5722  (class class class)co 6650   omcom 7065   +o coa 7557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564

This theorem is referenced by:  nnaordr  7700  nnaword  7707  nnaordex  7718  nnneo  7731  unfilem1  8224  ltapi  9725  1lt2pi  9727