Theorem unfilem1 8224

Description: Lemma for proving that the union of two finite sets is finite. (Contributed by NM, 10-Nov-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
unfilem1.1	|- A e. om
unfilem1.2	|- B e. om
unfilem1.3	|- F = ( x e. B |-> ( A +o x ) )

Assertion

Ref	Expression
unfilem1	|- ran F = ( ( A +o B ) \ A )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem unfilem1

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unfilem1.2	. . . . . . . . . 10 |- B e. om
2		elnn 7075	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. B /\ B e. om ) -> x e. om )
3	1, 2	mpan2 707	. . . . . . . . 9 |- ( x e. B -> x e. om )
4		unfilem1.1	. . . . . . . . . 10 |- A e. om
5		nnaord 7699	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. om /\ B e. om /\ A e. om ) -> ( x e. B <-> ( A +o x ) e. ( A +o B ) ) )
6	1, 4, 5	mp3an23 1416	. . . . . . . . 9 |- ( x e. om -> ( x e. B <-> ( A +o x ) e. ( A +o B ) ) )
7	3, 6	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( x e. B -> ( x e. B <-> ( A +o x ) e. ( A +o B ) ) )
8	7	ibi 256	. . . . . . 7 |- ( x e. B -> ( A +o x ) e. ( A +o B ) )
9		nnaword1 7709	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> A C_ ( A +o x ) )
10		nnord 7073	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. om -> Ord A )
11	4, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- Ord A
12		nnacl 7691	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> ( A +o x ) e. om )
13		nnord 7073	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A +o x ) e. om -> Ord ( A +o x ) )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> Ord ( A +o x ) )
15		ordtri1 5756	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Ord A /\ Ord ( A +o x ) ) -> ( A C_ ( A +o x ) <-> -. ( A +o x ) e. A ) )
16	11, 14, 15	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> ( A C_ ( A +o x ) <-> -. ( A +o x ) e. A ) )
17	9, 16	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ x e. om ) -> -. ( A +o x ) e. A )
18	4, 3, 17	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( x e. B -> -. ( A +o x ) e. A )
19	8, 18	jca 554	. . . . . 6 |- ( x e. B -> ( ( A +o x ) e. ( A +o B ) /\ -. ( A +o x ) e. A ) )
20		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( y = ( A +o x ) -> ( y e. ( A +o B ) <-> ( A +o x ) e. ( A +o B ) ) )
21		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( A +o x ) -> ( y e. A <-> ( A +o x ) e. A ) )
22	21	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( y = ( A +o x ) -> ( -. y e. A <-> -. ( A +o x ) e. A ) )
23	20, 22	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( y = ( A +o x ) -> ( ( y e. ( A +o B ) /\ -. y e. A ) <-> ( ( A +o x ) e. ( A +o B ) /\ -. ( A +o x ) e. A ) ) )
24	23	biimparc 504	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A +o x ) e. ( A +o B ) /\ -. ( A +o x ) e. A ) /\ y = ( A +o x ) ) -> ( y e. ( A +o B ) /\ -. y e. A ) )
25	19, 24	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( x e. B /\ y = ( A +o x ) ) -> ( y e. ( A +o B ) /\ -. y e. A ) )
26	25	rexlimiva 3028	. . . 4 |- ( E. x e. B y = ( A +o x ) -> ( y e. ( A +o B ) /\ -. y e. A ) )
27	4, 1	nnacli 7694	. . . . . . . 8 |- ( A +o B ) e. om
28		elnn 7075	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ( A +o B ) /\ ( A +o B ) e. om ) -> y e. om )
29	27, 28	mpan2 707	. . . . . . 7 |- ( y e. ( A +o B ) -> y e. om )
30		nnord 7073	. . . . . . . . 9 |- ( y e. om -> Ord y )
31		ordtri1 5756	. . . . . . . . 9 |- ( ( Ord A /\ Ord y ) -> ( A C_ y <-> -. y e. A ) )
32	10, 30, 31	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A C_ y <-> -. y e. A ) )
33		nnawordex 7717	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( A C_ y <-> E. x e. om ( A +o x ) = y ) )
34	32, 33	bitr3d 270	. . . . . . 7 |- ( ( A e. om /\ y e. om ) -> ( -. y e. A <-> E. x e. om ( A +o x ) = y ) )
35	4, 29, 34	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( y e. ( A +o B ) -> ( -. y e. A <-> E. x e. om ( A +o x ) = y ) )
36		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A +o x ) = y -> ( ( A +o x ) e. ( A +o B ) <-> y e. ( A +o B ) ) )
37	6, 36	sylan9bb 736	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. om /\ ( A +o x ) = y ) -> ( x e. B <-> y e. ( A +o B ) ) )
38	37	biimprcd 240	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( A +o B ) -> ( ( x e. om /\ ( A +o x ) = y ) -> x e. B ) )
39		eqcom 2629	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A +o x ) = y <-> y = ( A +o x ) )
40	39	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A +o x ) = y -> y = ( A +o x ) )
41	40	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. om /\ ( A +o x ) = y ) -> y = ( A +o x ) )
42	41	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( A +o B ) -> ( ( x e. om /\ ( A +o x ) = y ) -> y = ( A +o x ) ) )
43	38, 42	jcad 555	. . . . . . 7 |- ( y e. ( A +o B ) -> ( ( x e. om /\ ( A +o x ) = y ) -> ( x e. B /\ y = ( A +o x ) ) ) )
44	43	reximdv2 3014	. . . . . 6 |- ( y e. ( A +o B ) -> ( E. x e. om ( A +o x ) = y -> E. x e. B y = ( A +o x ) ) )
45	35, 44	sylbid 230	. . . . 5 |- ( y e. ( A +o B ) -> ( -. y e. A -> E. x e. B y = ( A +o x ) ) )
46	45	imp 445	. . . 4 |- ( ( y e. ( A +o B ) /\ -. y e. A ) -> E. x e. B y = ( A +o x ) )
47	26, 46	impbii 199	. . 3 |- ( E. x e. B y = ( A +o x ) <-> ( y e. ( A +o B ) /\ -. y e. A ) )
48		unfilem1.3	. . . 4 |- F = ( x e. B |-> ( A +o x ) )
49		ovex 6678	. . . 4 |- ( A +o x ) e. _V
50	48, 49	elrnmpti 5376	. . 3 |- ( y e. ran F <-> E. x e. B y = ( A +o x ) )
51		eldif 3584	. . 3 |- ( y e. ( ( A +o B ) \ A ) <-> ( y e. ( A +o B ) /\ -. y e. A ) )
52	47, 50, 51	3bitr4i 292	. 2 |- ( y e. ran F <-> y e. ( ( A +o B ) \ A ) )
53	52	eqriv 2619	1 |- ran F = ( ( A +o B ) \ A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   \ cdif 3571   C_ wss 3574   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   Ord word 5722  (class class class)co 6650   omcom 7065   +o coa 7557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564

This theorem is referenced by:  unfilem2  8225