Theorem 1lt2pi 9727

Description: One is less than two (one plus one). (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
1lt2pi	|- 1o <N ( 1o +N 1o )

Proof of Theorem 1lt2pi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 7719	. . . . 5 |- 1o e. om
2		nna0 7684	. . . . 5 |- ( 1o e. om -> ( 1o +o (/) ) = 1o )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- ( 1o +o (/) ) = 1o
4		0lt1o 7584	. . . . 5 |- (/) e. 1o
5		peano1 7085	. . . . . 6 |- (/) e. om
6		nnaord 7699	. . . . . 6 |- ( ( (/) e. om /\ 1o e. om /\ 1o e. om ) -> ( (/) e. 1o <-> ( 1o +o (/) ) e. ( 1o +o 1o ) ) )
7	5, 1, 1, 6	mp3an 1424	. . . . 5 |- ( (/) e. 1o <-> ( 1o +o (/) ) e. ( 1o +o 1o ) )
8	4, 7	mpbi 220	. . . 4 |- ( 1o +o (/) ) e. ( 1o +o 1o )
9	3, 8	eqeltrri 2698	. . 3 |- 1o e. ( 1o +o 1o )
10		1pi 9705	. . . 4 |- 1o e. N.
11		addpiord 9706	. . . 4 |- ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( 1o +N 1o ) = ( 1o +o 1o ) )
12	10, 10, 11	mp2an 708	. . 3 |- ( 1o +N 1o ) = ( 1o +o 1o )
13	9, 12	eleqtrri 2700	. 2 |- 1o e. ( 1o +N 1o )
14		addclpi 9714	. . . 4 |- ( ( 1o e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( 1o +N 1o ) e. N. )
15	10, 10, 14	mp2an 708	. . 3 |- ( 1o +N 1o ) e. N.
16		ltpiord 9709	. . 3 |- ( ( 1o e. N. /\ ( 1o +N 1o ) e. N. ) -> ( 1o <N ( 1o +N 1o ) <-> 1o e. ( 1o +N 1o ) ) )
17	10, 15, 16	mp2an 708	. 2 |- ( 1o <N ( 1o +N 1o ) <-> 1o e. ( 1o +N 1o ) )
18	13, 17	mpbir 221	1 |- 1o <N ( 1o +N 1o )

Syntax hints:   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   (/)c0 3915   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   omcom 7065   1oc1o 7553   +o coa 7557   N.cnpi 9666   +N cpli 9667   <N clti 9669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-ni 9694  df-pli 9695  df-lti 9697

This theorem is referenced by:  1lt2nq  9795