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Theorem noetalem3 31865
Description: Lemma for noeta 31868. When A and B are separated, then Z is a lower bound for B. Part of Theorem 5.1 of [Lipparini] p. 7-8. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
noetalem.1 |- S = if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
noetalem.2 |- Z = ( S u. ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) )
Assertion
Ref Expression
noetalem3 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) /\ A. a e. A A. b e. B a <s b ) -> A. b e. B Z <s b )
Distinct variable groups:   A, a, b, g   u, a, A, v, x, y   B, a, b   g, b, x   u, g, v, x, y   S, a, g   v, u, x, y
Allowed substitution hints:   B( x, y, v, u, g)   S( x, y, v, u, b)   Z( x, y, v, u, g, a, b)
Proof of Theorem noetalem3
Dummy variables p q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ralcom 3098 . . 3 |- ( A. a e. A A. b e. B a <s b <-> A. b e. B A. a e. A a <s b )
2 simplll 798 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ b e. B ) -> A C_ No )
3 simpllr 799 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ b e. B ) -> A e. _V )
4 simprl 794 . . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) -> B C_ No )
54sselda 3603 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ b e. B ) -> b e. No )
6 noetalem.1 . . . . . . 7 |- S = if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
76nosupbnd2 31862 . . . . . 6 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ b e. No ) -> ( A. a e. A a <s b <-> -. ( b |` dom S ) <s S ) )
82, 3, 5, 7syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ b e. B ) -> ( A. a e. A a <s b <-> -. ( b |` dom S ) <s S ) )
9 simpl 473 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) -> b e. B )
10 ssel2 3598 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( B C_ No /\ b e. B ) -> b e. No )
114, 9, 10syl2an 494 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) -> b e. No )
12 nodmord 31806 . . . . . . . . . 10 |- ( b e. No -> Ord dom b )
13 ordirr 5741 . . . . . . . . . 10 |- ( Ord dom b -> -. dom b e. dom b )
1411, 12, 133syl 18 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) -> -. dom b e. dom b )
15 ssun2 3777 . . . . . . . . . . 11 |- suc U. ( bday " B ) C_ ( dom S u. suc U. ( bday " B ) )
16 bdayval 31801 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. No -> ( bday ` b ) = dom b )
1711, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) -> ( bday ` b ) = dom b )
18 bdayfo 31828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- bday : No -onto-> On
19 fofn 6117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( bday : No -onto-> On -> bday Fn No )
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- bday Fn No
21 fnfvima 6496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( bday Fn No /\ B C_ No /\ b e. B ) -> ( bday ` b ) e. ( bday " B ) )
2220, 21mp3an1 1411 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B C_ No /\ b e. B ) -> ( bday ` b ) e. ( bday " B ) )
234, 9, 22syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) -> ( bday ` b ) e. ( bday " B ) )
2417, 23eqeltrrd 2702 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) -> dom b e. ( bday " B ) )
25 elssuni 4467 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( dom b e. ( bday " B ) -> dom b C_ U. ( bday " B ) )
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) -> dom b C_ U. ( bday " B ) )
27 nodmon 31803 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. No -> dom b e. On )
28 imassrn 5477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( bday " B ) C_ ran bday
29 forn 6118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( bday : No -onto-> On -> ran bday = On )
3018, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ran bday = On
3128, 30sseqtri 3637 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( bday " B ) C_ On
32 ssorduni 6985 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( bday " B ) C_ On -> Ord U. ( bday " B ) )
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 |- Ord U. ( bday " B )
34 ordsssuc 5812 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( dom b e. On /\ Ord U. ( bday " B ) ) -> ( dom b C_ U. ( bday " B ) <-> dom b e. suc U. ( bday " B ) ) )
3533, 34mpan2 707 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( dom b e. On -> ( dom b C_ U. ( bday " B ) <-> dom b e. suc U. ( bday " B ) ) )
3611, 27, 353syl 18 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) -> ( dom b C_ U. ( bday " B ) <-> dom b e. suc U. ( bday " B ) ) )
3726, 36mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) -> dom b e. suc U. ( bday " B ) )
3815, 37sseldi 3601 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) -> dom b e. ( dom S u. suc U. ( bday " B ) ) )
39 eleq2 2690 . . . . . . . . . 10 |- ( ( dom S u. suc U. ( bday " B ) ) = dom b -> ( dom b e. ( dom S u. suc U. ( bday " B ) ) <-> dom b e. dom b ) )
4038, 39syl5ibcom 235 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) -> ( ( dom S u. suc U. ( bday " B ) ) = dom b -> dom b e. dom b ) )
4114, 40mtod 189 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) -> -. ( dom S u. suc U. ( bday " B ) ) = dom b )
42 noetalem.2 . . . . . . . . . . . 12 |- Z = ( S u. ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) )
4342dmeqi 5325 . . . . . . . . . . 11 |- dom Z = dom ( S u. ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) )
44 dmun 5331 . . . . . . . . . . 11 |- dom ( S u. ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) ) = ( dom S u. dom ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) )
4543, 44eqtri 2644 . . . . . . . . . 10 |- dom Z = ( dom S u. dom ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) )
46 1on 7567 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. On
4746elexi 3213 . . . . . . . . . . . . 13 |- 1o e. _V
4847snnz 4309 . . . . . . . . . . . 12 |- { 1o } =/= (/)
49 dmxp 5344 . . . . . . . . . . . 12 |- ( { 1o } =/= (/) -> dom ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) = ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) )
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 |- dom ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) = ( suc U. ( bday " B ) \ dom S )
5150uneq2i 3764 . . . . . . . . . 10 |- ( dom S u. dom ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) ) = ( dom S u. ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) )
52 undif2 4044 . . . . . . . . . 10 |- ( dom S u. ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) ) = ( dom S u. suc U. ( bday " B ) )
5345, 51, 523eqtri 2648 . . . . . . . . 9 |- dom Z = ( dom S u. suc U. ( bday " B ) )
54 dmeq 5324 . . . . . . . . 9 |- ( Z = b -> dom Z = dom b )
5553, 54syl5eqr 2670 . . . . . . . 8 |- ( Z = b -> ( dom S u. suc U. ( bday " B ) ) = dom b )
5641, 55nsyl 135 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) -> -. Z = b )
57 df-ne 2795 . . . . . . . 8 |- ( Z =/= b <-> -. Z = b )
58 notnotr 125 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. -. dom ( b |` dom S ) = dom S -> dom ( b |` dom S ) = dom S )
59 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S )
6059fvresd 6208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> ( ( Z |` dom S ) ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) = ( Z ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) )
6142reseq1i 5392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( Z |` dom S ) = ( ( S u. ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) ) |` dom S )
62 resundir 5411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( S u. ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) ) |` dom S ) = ( ( S |` dom S ) u. ( ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) |` dom S ) )
63 df-res 5126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) |` dom S ) = ( ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) i^i ( dom S X. _V ) )
64 incom 3805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) i^i dom S ) = ( dom S i^i ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) )
65 disjdif 4040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( dom S i^i ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) ) = (/)
6664, 65eqtri 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) i^i dom S ) = (/)
67 xpdisj1 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) i^i dom S ) = (/) -> ( ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) i^i ( dom S X. _V ) ) = (/) )
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) i^i ( dom S X. _V ) ) = (/)
6963, 68eqtri 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) |` dom S ) = (/)
7069uneq2i 3764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( S |` dom S ) u. ( ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) |` dom S ) ) = ( ( S |` dom S ) u. (/) )
71 un0 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( S |` dom S ) u. (/) ) = ( S |` dom S )
7270, 71eqtri 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( S |` dom S ) u. ( ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) |` dom S ) ) = ( S |` dom S )
7361, 62, 723eqtri 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( Z |` dom S ) = ( S |` dom S )
74 simplll 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) -> ( A C_ No /\ A e. _V ) )
756nosupno 31849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> S e. No )
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) -> S e. No )
7776adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> S e. No )
78 nofun 31802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( S e. No -> Fun S )
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> Fun S )
80 funrel 5905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( Fun S -> Rel S )
81 resdm 5441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( Rel S -> ( S |` dom S ) = S )
8279, 80, 813syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> ( S |` dom S ) = S )
8373, 82syl5eq 2668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> ( Z |` dom S ) = S )
8483fveq1d 6193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> ( ( Z |` dom S ) ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) = ( S ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) )
8560, 84eqtr3d 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> ( Z ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) = ( S ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) )
86 simp-4l 806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) -> A C_ No )
87 simp-4r 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) -> A e. _V )
88 simplrr 801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) -> B e. _V )
8988adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) -> B e. _V )
906, 42noetalem1 31863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V /\ B e. _V ) -> Z e. No )
9186, 87, 89, 90syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) -> Z e. No )
9291adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> Z e. No )
9311adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) -> b e. No )
9493adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> b e. No )
95 simplr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> Z =/= b )
96 nosepne 31831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( Z e. No /\ b e. No /\ Z =/= b ) -> ( Z ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) =/= ( b ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) )
9792, 94, 95, 96syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> ( Z ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) =/= ( b ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) )
9885, 97eqnetrrd 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> ( S ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) =/= ( b ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) )
9959fvresd 6208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> ( ( b |` dom S ) ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) = ( b ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) )
10098, 99neeqtrrd 2868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> ( S ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) =/= ( ( b |` dom S ) ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) )
101 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( q = |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } -> ( ( b |` dom S ) ` q ) = ( ( b |` dom S ) ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) )
102 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( q = |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } -> ( S ` q ) = ( S ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) )
103101, 102neeq12d 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( q = |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } -> ( ( ( b |` dom S ) ` q ) =/= ( S ` q ) <-> ( ( b |` dom S ) ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) =/= ( S ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) ) )
104 df-ne 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( b |` dom S ) ` q ) =/= ( S ` q ) <-> -. ( ( b |` dom S ) ` q ) = ( S ` q ) )
105 necom 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( b |` dom S ) ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) =/= ( S ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) <-> ( S ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) =/= ( ( b |` dom S ) ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) )
106103, 104, 1053bitr3g 302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( q = |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } -> ( -. ( ( b |` dom S ) ` q ) = ( S ` q ) <-> ( S ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) =/= ( ( b |` dom S ) ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) ) )
107106rspcev 3309 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S /\ ( S ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) =/= ( ( b |` dom S ) ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) ) -> E. q e. dom S -. ( ( b |` dom S ) ` q ) = ( S ` q ) )
10859, 100, 107syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> E. q e. dom S -. ( ( b |` dom S ) ` q ) = ( S ` q ) )
109 rexeq 3139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( dom ( b |` dom S ) = dom S -> ( E. q e. dom ( b |` dom S ) -. ( ( b |` dom S ) ` q ) = ( S ` q ) <-> E. q e. dom S -. ( ( b |` dom S ) ` q ) = ( S ` q ) ) )
110108, 109syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> ( dom ( b |` dom S ) = dom S -> E. q e. dom ( b |` dom S ) -. ( ( b |` dom S ) ` q ) = ( S ` q ) ) )
111 rexnal 2995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. q e. dom ( b |` dom S ) -. ( ( b |` dom S ) ` q ) = ( S ` q ) <-> -. A. q e. dom ( b |` dom S ) ( ( b |` dom S ) ` q ) = ( S ` q ) )
112110, 111syl6ib 241 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> ( dom ( b |` dom S ) = dom S -> -. A. q e. dom ( b |` dom S ) ( ( b |` dom S ) ` q ) = ( S ` q ) ) )
11358, 112syl5 34 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> ( -. -. dom ( b |` dom S ) = dom S -> -. A. q e. dom ( b |` dom S ) ( ( b |` dom S ) ` q ) = ( S ` q ) ) )
114113orrd 393 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> ( -. dom ( b |` dom S ) = dom S \/ -. A. q e. dom ( b |` dom S ) ( ( b |` dom S ) ` q ) = ( S ` q ) ) )
115 nofun 31802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b e. No -> Fun b )
116 funres 5929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Fun b -> Fun ( b |` dom S ) )
11794, 115, 1163syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> Fun ( b |` dom S ) )
118 eqfunfv 6316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Fun ( b |` dom S ) /\ Fun S ) -> ( ( b |` dom S ) = S <-> ( dom ( b |` dom S ) = dom S /\ A. q e. dom ( b |` dom S ) ( ( b |` dom S ) ` q ) = ( S ` q ) ) ) )
119117, 79, 118syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> ( ( b |` dom S ) = S <-> ( dom ( b |` dom S ) = dom S /\ A. q e. dom ( b |` dom S ) ( ( b |` dom S ) ` q ) = ( S ` q ) ) ) )
120 ianor 509 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( dom ( b |` dom S ) = dom S /\ A. q e. dom ( b |` dom S ) ( ( b |` dom S ) ` q ) = ( S ` q ) ) <-> ( -. dom ( b |` dom S ) = dom S \/ -. A. q e. dom ( b |` dom S ) ( ( b |` dom S ) ` q ) = ( S ` q ) ) )
121120con1bii 346 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( -. dom ( b |` dom S ) = dom S \/ -. A. q e. dom ( b |` dom S ) ( ( b |` dom S ) ` q ) = ( S ` q ) ) <-> ( dom ( b |` dom S ) = dom S /\ A. q e. dom ( b |` dom S ) ( ( b |` dom S ) ` q ) = ( S ` q ) ) )
122119, 121syl6bbr 278 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> ( ( b |` dom S ) = S <-> -. ( -. dom ( b |` dom S ) = dom S \/ -. A. q e. dom ( b |` dom S ) ( ( b |` dom S ) ` q ) = ( S ` q ) ) ) )
123122con2bid 344 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> ( ( -. dom ( b |` dom S ) = dom S \/ -. A. q e. dom ( b |` dom S ) ( ( b |` dom S ) ` q ) = ( S ` q ) ) <-> -. ( b |` dom S ) = S ) )
124114, 123mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> -. ( b |` dom S ) = S )
125124pm2.21d 118 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> ( ( b |` dom S ) = S -> Z <s b ) )
12683breq1d 4663 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> ( ( Z |` dom S ) <s ( b |` dom S ) <-> S <s ( b |` dom S ) ) )
127 nodmon 31803 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S e. No -> dom S e. On )
12877, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> dom S e. On )
129 sltres 31815 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Z e. No /\ b e. No /\ dom S e. On ) -> ( ( Z |` dom S ) <s ( b |` dom S ) -> Z <s b ) )
13092, 94, 128, 129syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> ( ( Z |` dom S ) <s ( b |` dom S ) -> Z <s b ) )
131126, 130sylbird 250 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> ( S <s ( b |` dom S ) -> Z <s b ) )
132 simplrr 801 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) -> -. ( b |` dom S ) <s S )
133132adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> -. ( b |` dom S ) <s S )
134 noreson 31813 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b e. No /\ dom S e. On ) -> ( b |` dom S ) e. No )
13594, 128, 134syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> ( b |` dom S ) e. No )
136 sltso 31827 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- <s Or No
137 sotric 5061 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <s Or No /\ ( ( b |` dom S ) e. No /\ S e. No ) ) -> ( ( b |` dom S ) <s S <-> -. ( ( b |` dom S ) = S \/ S <s ( b |` dom S ) ) ) )
138136, 137mpan 706 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( b |` dom S ) e. No /\ S e. No ) -> ( ( b |` dom S ) <s S <-> -. ( ( b |` dom S ) = S \/ S <s ( b |` dom S ) ) ) )
139135, 77, 138syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> ( ( b |` dom S ) <s S <-> -. ( ( b |` dom S ) = S \/ S <s ( b |` dom S ) ) ) )
140139con2bid 344 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> ( ( ( b |` dom S ) = S \/ S <s ( b |` dom S ) ) <-> -. ( b |` dom S ) <s S ) )
141133, 140mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> ( ( b |` dom S ) = S \/ S <s ( b |` dom S ) ) )
142125, 131, 141mpjaod 396 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) -> Z <s b )
14391adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) -> Z e. No )
14493adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) -> b e. No )
145 simplr 792 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) -> Z =/= b )
14642fveq1i 6192 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( Z ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) = ( ( S u. ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) ) ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } )
147 simp-4l 806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) -> ( A C_ No /\ A e. _V ) )
148147, 75, 783syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) -> Fun S )
149 funfn 5918 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Fun S <-> S Fn dom S )
150148, 149sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) -> S Fn dom S )
15147fconst 6091 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) : ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) --> { 1o }
152 ffn 6045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) : ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) --> { 1o } -> ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) Fn ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) )
153151, 152ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) Fn ( suc U. ( bday " B ) \ dom S )
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) -> ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) Fn ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) )
15565a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) -> ( dom S i^i ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) ) = (/) )
156 necom 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) <-> ( b ` p ) =/= ( Z ` p ) )
157156a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( p e. On -> ( ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) <-> ( b ` p ) =/= ( Z ` p ) ) )
158157rabbiia 3185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } = { p e. On | ( b ` p ) =/= ( Z ` p ) }
159158inteqi 4479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } = |^| { p e. On | ( b ` p ) =/= ( Z ` p ) }
160145necomd 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) -> b =/= Z )
161 nosepssdm 31836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( b e. No /\ Z e. No /\ b =/= Z ) -> |^| { p e. On | ( b ` p ) =/= ( Z ` p ) } C_ dom b )
162144, 143, 160, 161syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) -> |^| { p e. On | ( b ` p ) =/= ( Z ` p ) } C_ dom b )
163159, 162syl5eqss 3649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) -> |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } C_ dom b )
164144, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) -> ( bday ` b ) = dom b )
165 simplrl 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) -> B C_ No )
166165adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) -> B C_ No )
167166adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) -> B C_ No )
168 simplrl 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) -> b e. B )
169168adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) -> b e. B )
170167, 169, 22syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) -> ( bday ` b ) e. ( bday " B ) )
171164, 170eqeltrrd 2702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) -> dom b e. ( bday " B ) )
172171, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) -> dom b C_ U. ( bday " B ) )
173144, 27, 353syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) -> ( dom b C_ U. ( bday " B ) <-> dom b e. suc U. ( bday " B ) ) )
174172, 173mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) -> dom b e. suc U. ( bday " B ) )
175 nosepon 31818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Z e. No /\ b e. No /\ Z =/= b ) -> |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. On )
176143, 144, 145, 175syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) -> |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. On )
177 eloni 5733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. On -> Ord |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } )
178 ordsuc 7014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Ord U. ( bday " B ) <-> Ord suc U. ( bday " B ) )
17933, 178mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Ord suc U. ( bday " B )
180 ordtr2 5768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Ord |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } /\ Ord suc U. ( bday " B ) ) -> ( ( |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } C_ dom b /\ dom b e. suc U. ( bday " B ) ) -> |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. suc U. ( bday " B ) ) )
181179, 180mpan2 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Ord |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } -> ( ( |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } C_ dom b /\ dom b e. suc U. ( bday " B ) ) -> |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. suc U. ( bday " B ) ) )
182176, 177, 1813syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) -> ( ( |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } C_ dom b /\ dom b e. suc U. ( bday " B ) ) -> |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. suc U. ( bday " B ) ) )
183163, 174, 182mp2and 715 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) -> |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. suc U. ( bday " B ) )
184 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) -> dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } )
185147, 75, 1273syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) -> dom S e. On )
186 ontri1 5757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( dom S e. On /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. On ) -> ( dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } <-> -. |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) )
187185, 176, 186syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) -> ( dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } <-> -. |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S ) )
188184, 187mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) -> -. |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S )
189183, 188eldifd 3585 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) -> |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) )
190 fvun2 6270 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S Fn dom S /\ ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) Fn ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) /\ ( ( dom S i^i ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) ) = (/) /\ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) ) ) -> ( ( S u. ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) ) ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) = ( ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) )
191150, 154, 155, 189, 190syl112anc 1330 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) -> ( ( S u. ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) ) ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) = ( ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) )
192146, 191syl5eq 2668 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) -> ( Z ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) = ( ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) )
19347fvconst2 6469 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) -> ( ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) = 1o )
194189, 193syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) -> ( ( ( suc U. ( bday " B ) \ dom S ) X. { 1o } ) ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) = 1o )
195192, 194eqtrd 2656 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) -> ( Z ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) = 1o )
196 nosep1o 31832 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Z e. No /\ b e. No /\ Z =/= b ) /\ ( Z ` |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) = 1o ) -> Z <s b )
197143, 144, 145, 195, 196syl31anc 1329 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) /\ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) -> Z <s b )
198 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) -> Z =/= b )
19991, 93, 198, 175syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) -> |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. On )
200199, 177syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) -> Ord |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } )
201 nodmord 31806 . . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. No -> Ord dom S )
20274, 75, 2013syl 18 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) -> Ord dom S )
203 ordtri2or 5822 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Ord |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } /\ Ord dom S ) -> ( |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S \/ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) )
204200, 202, 203syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) -> ( |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } e. dom S \/ dom S C_ |^| { p e. On | ( Z ` p ) =/= ( b ` p ) } ) )
205142, 197, 204mpjaodan 827 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) /\ Z =/= b ) -> Z <s b )
206205ex 450 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) -> ( Z =/= b -> Z <s b ) )
20757, 206syl5bir 233 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) -> ( -. Z = b -> Z <s b ) )
20856, 207mpd 15 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ ( b e. B /\ -. ( b |` dom S ) <s S ) ) -> Z <s b )
209208expr 643 . . . . 5 |- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ b e. B ) -> ( -. ( b |` dom S ) <s S -> Z <s b ) )
2108, 209sylbid 230 . . . 4 |- ( ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) /\ b e. B ) -> ( A. a e. A a <s b -> Z <s b ) )
211210ralimdva 2962 . . 3 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) -> ( A. b e. B A. a e. A a <s b -> A. b e. B Z <s b ) )
2121, 211syl5bi 232 . 2 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) ) -> ( A. a e. A A. b e. B a <s b -> A. b e. B Z <s b ) )
2132123impia 1261 1 |- ( ( ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( B C_ No /\ B e. _V ) /\ A. a e. A A. b e. B a <s b ) -> A. b e. B Z <s b )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   <.cop 4183   U.cuni 4436   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Rel wrel 5119   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725   iotacio 5849   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888   iota_crio 6610   1oc1o 7553   2oc2o 7554   Nocsur 31793   <scslt 31794   bdaycbday 31795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-1o 7560  df-2o 7561  df-no 31796  df-slt 31797  df-bday 31798
This theorem is referenced by:  noetalem5  31867
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