Theorem nosupfv 31852

Description: The value of surreal supremum when there is no maximum. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nosupfv.1	|- S = if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nosupfv	|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> ( S ` G ) = ( U ` G ) )

Distinct variable groups:   A, g, u, v, x   y, A   g, G, u, v, x   y, g, G   u, U, v, x   y, u   x, v   y, v

Allowed substitution hints:   S( x, y, v, u, g)   U( y, g)

Proof of Theorem nosupfv

Dummy variable p is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nosupfv.1	. . . . 5 |- S = if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
2		iffalse 4095	. . . . 5 |- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) = ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
3	1, 2	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> S = ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
4	3	fveq1d 6193	. . 3 |- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> ( S ` G ) = ( ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ` G ) )
5	4	3ad2ant1 1082	. 2 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> ( S ` G ) = ( ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ` G ) )
6		dmeq 5324	. . . . . . . . . 10 |- ( p = U -> dom p = dom U )
7	6	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( p = U -> ( G e. dom p <-> G e. dom U ) )
8		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p = U -> ( v <s p <-> v <s U ) )
9	8	notbid 308	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = U -> ( -. v <s p <-> -. v <s U ) )
10		reseq1 5390	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p = U -> ( p |` suc G ) = ( U |` suc G ) )
11	10	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( p = U -> ( ( p |` suc G ) = ( v |` suc G ) <-> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) )
12	9, 11	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( p = U -> ( ( -. v <s p -> ( p |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) <-> ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) )
13	12	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( p = U -> ( A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) <-> A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) )
14	7, 13	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( p = U -> ( ( G e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) <-> ( G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) )
15	14	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( U e. A /\ ( G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> E. p e. A ( G e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) )
16	15	3impb 1260	. . . . . 6 |- ( ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> E. p e. A ( G e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) )
17		dmeq 5324	. . . . . . . . 9 |- ( u = p -> dom u = dom p )
18	17	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( u = p -> ( G e. dom u <-> G e. dom p ) )
19		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = p -> ( v <s u <-> v <s p ) )
20	19	notbid 308	. . . . . . . . . 10 |- ( u = p -> ( -. v <s u <-> -. v <s p ) )
21		reseq1 5390	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = p -> ( u |` suc G ) = ( p |` suc G ) )
22	21	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( u = p -> ( ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) <-> ( p |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) )
23	20, 22	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( u = p -> ( ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) <-> ( -. v <s p -> ( p |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) )
24	23	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( u = p -> ( A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) <-> A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) )
25	18, 24	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( u = p -> ( ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) <-> ( G e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) )
26	25	cbvrexv 3172	. . . . . 6 |- ( E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) <-> E. p e. A ( G e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) )
27	16, 26	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) )
28	27	3ad2ant3 1084	. . . 4 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) )
29		simp32 1098	. . . . 5 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> G e. dom U )
30		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( y = G -> ( y e. dom u <-> G e. dom u ) )
31		suceq 5790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = G -> suc y = suc G )
32	31	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = G -> ( u |` suc y ) = ( u |` suc G ) )
33	31	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = G -> ( v |` suc y ) = ( v |` suc G ) )
34	32, 33	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( y = G -> ( ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) <-> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) )
35	34	imbi2d 330	. . . . . . . . 9 |- ( y = G -> ( ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) <-> ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) )
36	35	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( y = G -> ( A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) <-> A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) )
37	30, 36	anbi12d 747	. . . . . . 7 |- ( y = G -> ( ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) <-> ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) )
38	37	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( y = G -> ( E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) <-> E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) )
39	38	elabg 3351	. . . . 5 |- ( G e. dom U -> ( G e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } <-> E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) )
40	29, 39	syl 17	. . . 4 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> ( G e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } <-> E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) )
41	28, 40	mpbird 247	. . 3 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> G e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } )
42		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( g e. dom u <-> G e. dom u ) )
43		suceq 5790	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = G -> suc g = suc G )
44	43	reseq2d 5396	. . . . . . . . . 10 |- ( g = G -> ( u |` suc g ) = ( u |` suc G ) )
45	43	reseq2d 5396	. . . . . . . . . 10 |- ( g = G -> ( v |` suc g ) = ( v |` suc G ) )
46	44, 45	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( g = G -> ( ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) <-> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) )
47	46	imbi2d 330	. . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) <-> ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) )
48	47	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) <-> A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) )
49		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( u ` g ) = ( u ` G ) )
50	49	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( ( u ` g ) = x <-> ( u ` G ) = x ) )
51	42, 48, 50	3anbi123d 1399	. . . . . 6 |- ( g = G -> ( ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) <-> ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) )
52	51	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( g = G -> ( E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) <-> E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) )
53	52	iotabidv 5872	. . . 4 |- ( g = G -> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) = ( iota x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) )
54		eqid 2622	. . . 4 |- ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) = ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) )
55		iotaex 5868	. . . 4 |- ( iota x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) e. _V
56	53, 54, 55	fvmpt 6282	. . 3 |- ( G e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } -> ( ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ` G ) = ( iota x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) )
57	41, 56	syl 17	. 2 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> ( ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ` G ) = ( iota x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) )
58		simp1 1061	. . . . 5 |- ( ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> U e. A )
59		simp2 1062	. . . . 5 |- ( ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> G e. dom U )
60		simp3 1063	. . . . 5 |- ( ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) )
61		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> ( U ` G ) = ( U ` G ) )
62		dmeq 5324	. . . . . . . 8 |- ( u = U -> dom u = dom U )
63	62	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( u = U -> ( G e. dom u <-> G e. dom U ) )
64		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( u = U -> ( v <s u <-> v <s U ) )
65	64	notbid 308	. . . . . . . . 9 |- ( u = U -> ( -. v <s u <-> -. v <s U ) )
66		reseq1 5390	. . . . . . . . . 10 |- ( u = U -> ( u |` suc G ) = ( U |` suc G ) )
67	66	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( u = U -> ( ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) <-> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) )
68	65, 67	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( u = U -> ( ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) <-> ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) )
69	68	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( u = U -> ( A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) <-> A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) )
70		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( u = U -> ( u ` G ) = ( U ` G ) )
71	70	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( u = U -> ( ( u ` G ) = ( U ` G ) <-> ( U ` G ) = ( U ` G ) ) )
72	63, 69, 71	3anbi123d 1399	. . . . . 6 |- ( u = U -> ( ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = ( U ` G ) ) <-> ( G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( U ` G ) = ( U ` G ) ) ) )
73	72	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( U e. A /\ ( G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( U ` G ) = ( U ` G ) ) ) -> E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = ( U ` G ) ) )
74	58, 59, 60, 61, 73	syl13anc 1328	. . . 4 |- ( ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = ( U ` G ) ) )
75	74	3ad2ant3 1084	. . 3 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = ( U ` G ) ) )
76		fvex 6201	. . . 4 |- ( U ` G ) e. _V
77		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( u ` G ) = ( u ` G )
78		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( u ` G ) e. _V
79		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( u ` G ) -> ( ( u ` G ) = x <-> ( u ` G ) = ( u ` G ) ) )
80	79	3anbi3d 1405	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( u ` G ) -> ( ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) <-> ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = ( u ` G ) ) ) )
81	78, 80	spcev 3300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = ( u ` G ) ) -> E. x ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) )
82	77, 81	mp3an3 1413	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> E. x ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) )
83	82	reximi 3011	. . . . . . . 8 |- ( E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> E. u e. A E. x ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) )
84		rexcom4 3225	. . . . . . . 8 |- ( E. u e. A E. x ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) <-> E. x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) )
85	83, 84	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> E. x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) )
86	27, 85	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> E. x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) )
87	86	3ad2ant3 1084	. . . . 5 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> E. x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) )
88		noprefixmo 31848	. . . . . . 7 |- ( A C_ No -> E* x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) )
89	88	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> E* x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) )
90	89	3ad2ant2 1083	. . . . 5 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> E* x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) )
91		eu5 2496	. . . . 5 |- ( E! x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) <-> ( E. x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) /\ E* x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) )
92	87, 90, 91	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> E! x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) )
93		eqeq2 2633	. . . . . . 7 |- ( x = ( U ` G ) -> ( ( u ` G ) = x <-> ( u ` G ) = ( U ` G ) ) )
94	93	3anbi3d 1405	. . . . . 6 |- ( x = ( U ` G ) -> ( ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) <-> ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = ( U ` G ) ) ) )
95	94	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( x = ( U ` G ) -> ( E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) <-> E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = ( U ` G ) ) ) )
96	95	iota2 5877	. . . 4 |- ( ( ( U ` G ) e. _V /\ E! x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) -> ( E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = ( U ` G ) ) <-> ( iota x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) = ( U ` G ) ) )
97	76, 92, 96	sylancr 695	. . 3 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> ( E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = ( U ` G ) ) <-> ( iota x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) = ( U ` G ) ) )
98	75, 97	mpbid 222	. 2 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> ( iota x E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) /\ ( u ` G ) = x ) ) = ( U ` G ) )
99	5, 57, 98	3eqtrd 2660	1 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> ( S ` G ) = ( U ` G ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E!weu 2470   E*wmo 2471   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   |` cres 5116   suc csuc 5725   iotacio 5849   ` cfv 5888   iota_crio 6610   2oc2o 7554   Nocsur 31793   <scslt 31794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-1o 7560  df-2o 7561  df-no 31796  df-slt 31797

This theorem is referenced by:  nosupres  31853