Theorem nosupres 31853

Description: A restriction law for surreal supremum when there is no maximum. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nosupres.1	|- S = if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nosupres	|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> ( S |` suc G ) = ( U |` suc G ) )

Distinct variable groups:   A, g, u, v, x, y   u, G   v, g   v, G   x, g, y   y, G   u, U, v, x   y, u   x, v, y

Allowed substitution hints:   S( x, y, v, u, g)   U( y, g)   G( x, g)

Proof of Theorem nosupres

Dummy variables a p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 5419	. . . 4 |- dom ( S |` suc G ) = ( suc G i^i dom S )
2		nosupres.1	. . . . . . . . 9 |- S = if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
3	2	nosupno 31849	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> S e. No )
4	3	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> S e. No )
5		nodmord 31806	. . . . . . 7 |- ( S e. No -> Ord dom S )
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> Ord dom S )
7		dmeq 5324	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p = U -> dom p = dom U )
8	7	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p = U -> ( G e. dom p <-> G e. dom U ) )
9		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p = U -> ( v <s p <-> v <s U ) )
10	9	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( p = U -> ( -. v <s p <-> -. v <s U ) )
11		reseq1 5390	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p = U -> ( p |` suc G ) = ( U |` suc G ) )
12	11	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( p = U -> ( ( p |` suc G ) = ( v |` suc G ) <-> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) )
13	10, 12	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p = U -> ( ( -. v <s p -> ( p |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) <-> ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) )
14	13	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p = U -> ( A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) <-> A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) )
15	8, 14	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p = U -> ( ( G e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) <-> ( G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) )
16	15	rspcev 3309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. A /\ ( G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> E. p e. A ( G e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) )
17	16	3impb 1260	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> E. p e. A ( G e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) )
18		dmeq 5324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = p -> dom u = dom p )
19	18	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = p -> ( G e. dom u <-> G e. dom p ) )
20		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = p -> ( v <s u <-> v <s p ) )
21	20	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = p -> ( -. v <s u <-> -. v <s p ) )
22		reseq1 5390	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = p -> ( u |` suc G ) = ( p |` suc G ) )
23	22	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = p -> ( ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) <-> ( p |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) )
24	21, 23	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = p -> ( ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) <-> ( -. v <s p -> ( p |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) )
25	24	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = p -> ( A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) <-> A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) )
26	19, 25	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = p -> ( ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) <-> ( G e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) )
27	26	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . 10 |- ( E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) <-> E. p e. A ( G e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) )
28	17, 27	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) )
29		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = G -> ( y e. dom u <-> G e. dom u ) )
30		suceq 5790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = G -> suc y = suc G )
31	30	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = G -> ( u |` suc y ) = ( u |` suc G ) )
32	30	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = G -> ( v |` suc y ) = ( v |` suc G ) )
33	31, 32	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = G -> ( ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) <-> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) )
34	33	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = G -> ( ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) <-> ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) )
35	34	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = G -> ( A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) <-> A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) )
36	29, 35	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = G -> ( ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) <-> ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) )
37	36	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = G -> ( E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) <-> E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) )
38	37	elabg 3351	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. dom U -> ( G e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } <-> E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) )
39	38	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> ( G e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } <-> E. u e. A ( G e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) )
40	28, 39	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) -> G e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } )
41	40	3ad2ant3 1084	. . . . . . 7 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> G e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } )
42		iffalse 4095	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) = ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
43	2, 42	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> S = ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
44	43	dmeqd 5326	. . . . . . . . 9 |- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> dom S = dom ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
45		iotaex 5868	. . . . . . . . . 10 |- ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) e. _V
46		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) = ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) )
47	45, 46	dmmpti 6023	. . . . . . . . 9 |- dom ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) = { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) }
48	44, 47	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> dom S = { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } )
49	48	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> dom S = { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } )
50	41, 49	eleqtrrd 2704	. . . . . 6 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> G e. dom S )
51		ordsucss 7018	. . . . . 6 |- ( Ord dom S -> ( G e. dom S -> suc G C_ dom S ) )
52	6, 50, 51	sylc 65	. . . . 5 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> suc G C_ dom S )
53		df-ss 3588	. . . . 5 |- ( suc G C_ dom S <-> ( suc G i^i dom S ) = suc G )
54	52, 53	sylib 208	. . . 4 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> ( suc G i^i dom S ) = suc G )
55	1, 54	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> dom ( S |` suc G ) = suc G )
56		dmres 5419	. . . 4 |- dom ( U |` suc G ) = ( suc G i^i dom U )
57		simp2l 1087	. . . . . . . 8 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> A C_ No )
58		simp31 1097	. . . . . . . 8 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> U e. A )
59	57, 58	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> U e. No )
60		nodmord 31806	. . . . . . 7 |- ( U e. No -> Ord dom U )
61	59, 60	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> Ord dom U )
62		simp32 1098	. . . . . 6 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> G e. dom U )
63		ordsucss 7018	. . . . . 6 |- ( Ord dom U -> ( G e. dom U -> suc G C_ dom U ) )
64	61, 62, 63	sylc 65	. . . . 5 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> suc G C_ dom U )
65		df-ss 3588	. . . . 5 |- ( suc G C_ dom U <-> ( suc G i^i dom U ) = suc G )
66	64, 65	sylib 208	. . . 4 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> ( suc G i^i dom U ) = suc G )
67	56, 66	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> dom ( U |` suc G ) = suc G )
68	55, 67	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> dom ( S |` suc G ) = dom ( U |` suc G ) )
69	55	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> ( a e. dom ( S |` suc G ) <-> a e. suc G ) )
70		simpl1 1064	. . . . . . 7 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) /\ a e. suc G ) -> -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y )
71		simpl2 1065	. . . . . . 7 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) /\ a e. suc G ) -> ( A C_ No /\ A e. _V ) )
72		simpl31 1142	. . . . . . 7 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) /\ a e. suc G ) -> U e. A )
73	64	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) /\ a e. suc G ) -> a e. dom U )
74		nodmon 31803	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U e. No -> dom U e. On )
75	59, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> dom U e. On )
76		onelon 5748	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( dom U e. On /\ G e. dom U ) -> G e. On )
77	75, 62, 76	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> G e. On )
78		eloni 5733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. On -> Ord G )
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> Ord G )
80		ordsuc 7014	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord G <-> Ord suc G )
81	79, 80	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> Ord suc G )
82		ordsucss 7018	. . . . . . . . . 10 |- ( Ord suc G -> ( a e. suc G -> suc a C_ suc G ) )
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> ( a e. suc G -> suc a C_ suc G ) )
84	83	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) /\ a e. suc G ) -> suc a C_ suc G )
85		simpl33 1144	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) /\ a e. suc G ) -> A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) )
86		reseq1 5390	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) -> ( ( U |` suc G ) |` suc a ) = ( ( v |` suc G ) |` suc a ) )
87		resabs1 5427	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc a C_ suc G -> ( ( U |` suc G ) |` suc a ) = ( U |` suc a ) )
88		resabs1 5427	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc a C_ suc G -> ( ( v |` suc G ) |` suc a ) = ( v |` suc a ) )
89	87, 88	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( suc a C_ suc G -> ( ( ( U |` suc G ) |` suc a ) = ( ( v |` suc G ) |` suc a ) <-> ( U |` suc a ) = ( v |` suc a ) ) )
90	86, 89	syl5ib 234	. . . . . . . . . 10 |- ( suc a C_ suc G -> ( ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) -> ( U |` suc a ) = ( v |` suc a ) ) )
91	90	imim2d 57	. . . . . . . . 9 |- ( suc a C_ suc G -> ( ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) -> ( -. v <s U -> ( U |` suc a ) = ( v |` suc a ) ) ) )
92	91	ralimdv 2963	. . . . . . . 8 |- ( suc a C_ suc G -> ( A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) -> A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc a ) = ( v |` suc a ) ) ) )
93	84, 85, 92	sylc 65	. . . . . . 7 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) /\ a e. suc G ) -> A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc a ) = ( v |` suc a ) ) )
94	2	nosupfv 31852	. . . . . . 7 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ a e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc a ) = ( v |` suc a ) ) ) ) -> ( S ` a ) = ( U ` a ) )
95	70, 71, 72, 73, 93, 94	syl113anc 1338	. . . . . 6 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) /\ a e. suc G ) -> ( S ` a ) = ( U ` a ) )
96		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) /\ a e. suc G ) -> a e. suc G )
97	96	fvresd 6208	. . . . . 6 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) /\ a e. suc G ) -> ( ( S |` suc G ) ` a ) = ( S ` a ) )
98	96	fvresd 6208	. . . . . 6 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) /\ a e. suc G ) -> ( ( U |` suc G ) ` a ) = ( U ` a ) )
99	95, 97, 98	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) /\ a e. suc G ) -> ( ( S |` suc G ) ` a ) = ( ( U |` suc G ) ` a ) )
100	99	ex 450	. . . 4 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> ( a e. suc G -> ( ( S |` suc G ) ` a ) = ( ( U |` suc G ) ` a ) ) )
101	69, 100	sylbid 230	. . 3 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> ( a e. dom ( S |` suc G ) -> ( ( S |` suc G ) ` a ) = ( ( U |` suc G ) ` a ) ) )
102	101	ralrimiv 2965	. 2 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> A. a e. dom ( S |` suc G ) ( ( S |` suc G ) ` a ) = ( ( U |` suc G ) ` a ) )
103		nofun 31802	. . . 4 |- ( S e. No -> Fun S )
104		funres 5929	. . . 4 |- ( Fun S -> Fun ( S |` suc G ) )
105	4, 103, 104	3syl 18	. . 3 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> Fun ( S |` suc G ) )
106		nofun 31802	. . . 4 |- ( U e. No -> Fun U )
107		funres 5929	. . . 4 |- ( Fun U -> Fun ( U |` suc G ) )
108	59, 106, 107	3syl 18	. . 3 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> Fun ( U |` suc G ) )
109		eqfunfv 6316	. . 3 |- ( ( Fun ( S |` suc G ) /\ Fun ( U |` suc G ) ) -> ( ( S |` suc G ) = ( U |` suc G ) <-> ( dom ( S |` suc G ) = dom ( U |` suc G ) /\ A. a e. dom ( S |` suc G ) ( ( S |` suc G ) ` a ) = ( ( U |` suc G ) ` a ) ) ) )
110	105, 108, 109	syl2anc 693	. 2 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> ( ( S |` suc G ) = ( U |` suc G ) <-> ( dom ( S |` suc G ) = dom ( U |` suc G ) /\ A. a e. dom ( S |` suc G ) ( ( S |` suc G ) ` a ) = ( ( U |` suc G ) ` a ) ) ) )
111	68, 102, 110	mpbir2and 957	1 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( U e. A /\ G e. dom U /\ A. v e. A ( -. v <s U -> ( U |` suc G ) = ( v |` suc G ) ) ) ) -> ( S |` suc G ) = ( U |` suc G ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   |` cres 5116   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725   iotacio 5849   Fun wfun 5882   ` cfv 5888   iota_crio 6610   2oc2o 7554   Nocsur 31793   <scslt 31794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-1o 7560  df-2o 7561  df-no 31796  df-slt 31797  df-bday 31798

This theorem is referenced by:  nosupbnd1lem1  31854  nosupbnd2  31862