Theorem nosupbnd1lem1 31854

Description: Lemma for nosupbnd1 31860. Establish a soft upper bound. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
nosupbnd1.1	|- S = if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
nosupbnd1lem1	|- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) -> -. S <s ( U |` dom S ) )

Distinct variable groups:   A, g, u, v, x, y   v, U   x, u, y, v

Allowed substitution hints:   S( x, y, v, u, g)   U( x, y, u, g)

Proof of Theorem nosupbnd1lem1

Dummy variables h p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2l 1087	. . . 4 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) -> A C_ No )
2		simp3 1063	. . . 4 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) -> U e. A )
3	1, 2	sseldd 3604	. . 3 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) -> U e. No )
4		nosupbnd1.1	. . . . . 6 |- S = if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
5	4	nosupno 31849	. . . . 5 |- ( ( A C_ No /\ A e. _V ) -> S e. No )
6	5	3ad2ant2 1083	. . . 4 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) -> S e. No )
7		nodmon 31803	. . . 4 |- ( S e. No -> dom S e. On )
8	6, 7	syl 17	. . 3 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) -> dom S e. On )
9		noreson 31813	. . 3 |- ( ( U e. No /\ dom S e. On ) -> ( U |` dom S ) e. No )
10	3, 8, 9	syl2anc 693	. 2 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) -> ( U |` dom S ) e. No )
11		dmres 5419	. . . 4 |- dom ( U |` dom S ) = ( dom S i^i dom U )
12		inss1 3833	. . . 4 |- ( dom S i^i dom U ) C_ dom S
13	11, 12	eqsstri 3635	. . 3 |- dom ( U |` dom S ) C_ dom S
14	13	a1i 11	. 2 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) -> dom ( U |` dom S ) C_ dom S )
15		ssid 3624	. . 3 |- dom S C_ dom S
16	15	a1i 11	. 2 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) -> dom S C_ dom S )
17		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> if ( E. x e. A A. y e. A -. x <s y , ( ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) u. { <. dom ( iota_ x e. A A. y e. A -. x <s y ) , 2o >. } ) , ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) ) = ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
18	4, 17	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> S = ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
19	18	dmeqd 5326	. . . . . . . . . 10 |- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> dom S = dom ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) )
20		iotaex 5868	. . . . . . . . . . 11 |- ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) e. _V
21		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) = ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) )
22	20, 21	dmmpti 6023	. . . . . . . . . 10 |- dom ( g e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } |-> ( iota x E. u e. A ( g e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc g ) = ( v |` suc g ) ) /\ ( u ` g ) = x ) ) ) = { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) }
23	19, 22	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> dom S = { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } )
24	23	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> ( h e. dom S <-> h e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } ) )
25		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- h e. _V
26		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = h -> ( y e. dom u <-> h e. dom u ) )
27		suceq 5790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = h -> suc y = suc h )
28	27	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = h -> ( u |` suc y ) = ( u |` suc h ) )
29	27	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = h -> ( v |` suc y ) = ( v |` suc h ) )
30	28, 29	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = h -> ( ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) <-> ( u |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) )
31	30	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = h -> ( ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) <-> ( -. v <s u -> ( u |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) )
32	31	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = h -> ( A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) <-> A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) )
33	26, 32	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = h -> ( ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) <-> ( h e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) )
34	33	rexbidv 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( y = h -> ( E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) <-> E. u e. A ( h e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) )
35		dmeq 5324	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = p -> dom u = dom p )
36	35	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = p -> ( h e. dom u <-> h e. dom p ) )
37		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = p -> ( v <s u <-> v <s p ) )
38	37	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = p -> ( -. v <s u <-> -. v <s p ) )
39		reseq1 5390	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = p -> ( u |` suc h ) = ( p |` suc h ) )
40	39	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = p -> ( ( u |` suc h ) = ( v |` suc h ) <-> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) )
41	38, 40	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = p -> ( ( -. v <s u -> ( u |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) <-> ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) )
42	41	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = p -> ( A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) <-> A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) )
43	36, 42	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = p -> ( ( h e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) <-> ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) )
44	43	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . 10 |- ( E. u e. A ( h e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) <-> E. p e. A ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) )
45	34, 44	syl6bb 276	. . . . . . . . 9 |- ( y = h -> ( E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) <-> E. p e. A ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) )
46	25, 45	elab 3350	. . . . . . . 8 |- ( h e. { y | E. u e. A ( y e. dom u /\ A. v e. A ( -. v <s u -> ( u |` suc y ) = ( v |` suc y ) ) ) } <-> E. p e. A ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) )
47	24, 46	syl6bb 276	. . . . . . 7 |- ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y -> ( h e. dom S <-> E. p e. A ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) )
48	47	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) -> ( h e. dom S <-> E. p e. A ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) )
49		simpl1 1064	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( p e. A /\ ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y )
50		simpl2 1065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( p e. A /\ ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> ( A C_ No /\ A e. _V ) )
51		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( p e. A /\ ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> p e. A )
52		simprrl 804	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( p e. A /\ ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> h e. dom p )
53		simprrr 805	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( p e. A /\ ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) )
54	4	nosupres 31853	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ ( p e. A /\ h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) -> ( S |` suc h ) = ( p |` suc h ) )
55	49, 50, 51, 52, 53, 54	syl113anc 1338	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( p e. A /\ ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> ( S |` suc h ) = ( p |` suc h ) )
56		simpl2l 1114	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( p e. A /\ ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> A C_ No )
57	56, 51	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( p e. A /\ ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> p e. No )
58	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( p e. A /\ ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> U e. No )
59		sltso 31827	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- <s Or No
60		soasym 31657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( <s Or No /\ ( p e. No /\ U e. No ) ) -> ( p <s U -> -. U <s p ) )
61	59, 60	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p e. No /\ U e. No ) -> ( p <s U -> -. U <s p ) )
62	57, 58, 61	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( p e. A /\ ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> ( p <s U -> -. U <s p ) )
63		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( p e. A /\ ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> U e. A )
64		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v = U -> ( v <s p <-> U <s p ) )
65	64	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = U -> ( -. v <s p <-> -. U <s p ) )
66		reseq1 5390	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v = U -> ( v |` suc h ) = ( U |` suc h ) )
67	66	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = U -> ( ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) <-> ( p |` suc h ) = ( U |` suc h ) ) )
68	65, 67	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = U -> ( ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) <-> ( -. U <s p -> ( p |` suc h ) = ( U |` suc h ) ) ) )
69	68	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U e. A -> ( A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) -> ( -. U <s p -> ( p |` suc h ) = ( U |` suc h ) ) ) )
70	63, 53, 69	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( p e. A /\ ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> ( -. U <s p -> ( p |` suc h ) = ( U |` suc h ) ) )
71	62, 70	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( p e. A /\ ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> ( p <s U -> ( p |` suc h ) = ( U |` suc h ) ) )
72	71	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( p e. A /\ ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) /\ p <s U ) -> ( p |` suc h ) = ( U |` suc h ) )
73		nodmon 31803	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( p e. No -> dom p e. On )
74	57, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( p e. A /\ ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> dom p e. On )
75		onelon 5748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( dom p e. On /\ h e. dom p ) -> h e. On )
76	74, 52, 75	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( p e. A /\ ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> h e. On )
77		sucelon 7017	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( h e. On <-> suc h e. On )
78	76, 77	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( p e. A /\ ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> suc h e. On )
79		noreson 31813	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. No /\ suc h e. On ) -> ( U |` suc h ) e. No )
80	58, 78, 79	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( p e. A /\ ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> ( U |` suc h ) e. No )
81		sonr 5056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <s Or No /\ ( U |` suc h ) e. No ) -> -. ( U |` suc h ) <s ( U |` suc h ) )
82	59, 81	mpan 706	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U |` suc h ) e. No -> -. ( U |` suc h ) <s ( U |` suc h ) )
83	80, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( p e. A /\ ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> -. ( U |` suc h ) <s ( U |` suc h ) )
84	83	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( p e. A /\ ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) /\ p <s U ) -> -. ( U |` suc h ) <s ( U |` suc h ) )
85	72, 84	eqnbrtrd 4671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( p e. A /\ ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) /\ p <s U ) -> -. ( p |` suc h ) <s ( U |` suc h ) )
86	85	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( p e. A /\ ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> ( p <s U -> -. ( p |` suc h ) <s ( U |` suc h ) ) )
87		sltres 31815	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p e. No /\ U e. No /\ suc h e. On ) -> ( ( p |` suc h ) <s ( U |` suc h ) -> p <s U ) )
88	57, 58, 78, 87	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( p e. A /\ ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> ( ( p |` suc h ) <s ( U |` suc h ) -> p <s U ) )
89	88	con3d 148	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( p e. A /\ ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> ( -. p <s U -> -. ( p |` suc h ) <s ( U |` suc h ) ) )
90	86, 89	pm2.61d 170	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( p e. A /\ ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> -. ( p |` suc h ) <s ( U |` suc h ) )
91	55, 90	eqnbrtrd 4671	. . . . . . 7 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ ( p e. A /\ ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) ) ) -> -. ( S |` suc h ) <s ( U |` suc h ) )
92	91	rexlimdvaa 3032	. . . . . 6 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) -> ( E. p e. A ( h e. dom p /\ A. v e. A ( -. v <s p -> ( p |` suc h ) = ( v |` suc h ) ) ) -> -. ( S |` suc h ) <s ( U |` suc h ) ) )
93	48, 92	sylbid 230	. . . . 5 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) -> ( h e. dom S -> -. ( S |` suc h ) <s ( U |` suc h ) ) )
94	93	imp 445	. . . 4 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ h e. dom S ) -> -. ( S |` suc h ) <s ( U |` suc h ) )
95		nodmord 31806	. . . . . . . 8 |- ( S e. No -> Ord dom S )
96		ordsucss 7018	. . . . . . . 8 |- ( Ord dom S -> ( h e. dom S -> suc h C_ dom S ) )
97	6, 95, 96	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) -> ( h e. dom S -> suc h C_ dom S ) )
98	97	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ h e. dom S ) -> suc h C_ dom S )
99	98	resabs1d 5428	. . . . 5 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ h e. dom S ) -> ( ( U |` dom S ) |` suc h ) = ( U |` suc h ) )
100	99	breq2d 4665	. . . 4 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ h e. dom S ) -> ( ( S |` suc h ) <s ( ( U |` dom S ) |` suc h ) <-> ( S |` suc h ) <s ( U |` suc h ) ) )
101	94, 100	mtbird 315	. . 3 |- ( ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) /\ h e. dom S ) -> -. ( S |` suc h ) <s ( ( U |` dom S ) |` suc h ) )
102	101	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) -> A. h e. dom S -. ( S |` suc h ) <s ( ( U |` dom S ) |` suc h ) )
103		noresle 31846	. 2 |- ( ( ( ( U |` dom S ) e. No /\ S e. No ) /\ ( dom ( U |` dom S ) C_ dom S /\ dom S C_ dom S /\ A. h e. dom S -. ( S |` suc h ) <s ( ( U |` dom S ) |` suc h ) ) ) -> -. S <s ( U |` dom S ) )
104	10, 6, 14, 16, 102, 103	syl23anc 1333	1 |- ( ( -. E. x e. A A. y e. A -. x <s y /\ ( A C_ No /\ A e. _V ) /\ U e. A ) -> -. S <s ( U |` dom S ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   dom cdm 5114   |` cres 5116   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725   iotacio 5849   ` cfv 5888   iota_crio 6610   2oc2o 7554   Nocsur 31793   <scslt 31794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-1o 7560  df-2o 7561  df-no 31796  df-slt 31797  df-bday 31798

This theorem is referenced by:  nosupbnd1lem2  31855  nosupbnd1lem6  31859