Theorem ordsucss 7018

Description: The successor of an element of an ordinal class is a subset of it. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ordsucss	|- ( Ord B -> ( A e. B -> suc A C_ B ) )

Proof of Theorem ordsucss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelord 5745	. . . . 5 |- ( ( Ord B /\ A e. B ) -> Ord A )
2		ordnbtwn 5816	. . . . . . . 8 |- ( Ord A -> -. ( A e. B /\ B e. suc A ) )
3		imnan 438	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. B -> -. B e. suc A ) <-> -. ( A e. B /\ B e. suc A ) )
4	2, 3	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( Ord A -> ( A e. B -> -. B e. suc A ) )
5	4	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( Ord A /\ Ord B ) -> ( A e. B -> -. B e. suc A ) )
6		ordsuc 7014	. . . . . . 7 |- ( Ord A <-> Ord suc A )
7		ordtri1 5756	. . . . . . 7 |- ( ( Ord suc A /\ Ord B ) -> ( suc A C_ B <-> -. B e. suc A ) )
8	6, 7	sylanb 489	. . . . . 6 |- ( ( Ord A /\ Ord B ) -> ( suc A C_ B <-> -. B e. suc A ) )
9	5, 8	sylibrd 249	. . . . 5 |- ( ( Ord A /\ Ord B ) -> ( A e. B -> suc A C_ B ) )
10	1, 9	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ( Ord B /\ A e. B ) /\ Ord B ) -> ( A e. B -> suc A C_ B ) )
11	10	exp31 630	. . 3 |- ( Ord B -> ( A e. B -> ( Ord B -> ( A e. B -> suc A C_ B ) ) ) )
12	11	pm2.43b 55	. 2 |- ( A e. B -> ( Ord B -> ( A e. B -> suc A C_ B ) ) )
13	12	pm2.43b 55	1 |- ( Ord B -> ( A e. B -> suc A C_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   C_ wss 3574   Ord word 5722   suc csuc 5725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729

This theorem is referenced by:  ordelsuc  7020  ordsucelsuc  7022  orduniorsuc  7030  tfindsg2  7061  oaordi  7626  oawordeulem  7634  omeulem2  7663  oeworde  7673  oelimcl  7680  oeeui  7682  nnaordi  7698  nnawordex  7717  oaabs2  7725  omxpenlem  8061  inf3lem5  8529  cantnflt  8569  cantnflem1d  8585  cnfcom  8597  r1ordg  8641  rankr1ag  8665  cfslb2n  9090  cfsmolem  9092  fin23lem26  9147  isf32lem3  9177  ttukeylem7  9337  indpi  9729  nolesgn2ores  31825  nosupres  31853  nosupbnd1lem1  31854  nosupbnd2  31862