Theorem imsdval 27541

Description: Value of the induced metric (distance function) of a normed complex vector space. Equation 1 of [Kreyszig] p. 59. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
imsdval.1	|- X = ( BaseSet ` U )
imsdval.3	|- M = ( -v ` U )
imsdval.6	|- N = ( normCV ` U )
imsdval.8	|- D = ( IndMet ` U )

Assertion

Ref	Expression
imsdval	|- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) = ( N ` ( A M B ) ) )

Proof of Theorem imsdval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imsdval.3	. . . . . 6 |- M = ( -v ` U )
2		imsdval.6	. . . . . 6 |- N = ( normCV ` U )
3		imsdval.8	. . . . . 6 |- D = ( IndMet ` U )
4	1, 2, 3	imsval 27540	. . . . 5 |- ( U e. NrmCVec -> D = ( N o. M ) )
5	4	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> D = ( N o. M ) )
6	5	fveq1d 6193	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( D ` <. A , B >. ) = ( ( N o. M ) ` <. A , B >. ) )
7		imsdval.1	. . . . . 6 |- X = ( BaseSet ` U )
8	7, 1	nvmf 27500	. . . . 5 |- ( U e. NrmCVec -> M : ( X X. X ) --> X )
9		opelxpi 5148	. . . . 5 |- ( ( A e. X /\ B e. X ) -> <. A , B >. e. ( X X. X ) )
10		fvco3 6275	. . . . 5 |- ( ( M : ( X X. X ) --> X /\ <. A , B >. e. ( X X. X ) ) -> ( ( N o. M ) ` <. A , B >. ) = ( N ` ( M ` <. A , B >. ) ) )
11	8, 9, 10	syl2an 494	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( N o. M ) ` <. A , B >. ) = ( N ` ( M ` <. A , B >. ) ) )
12	11	3impb 1260	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( N o. M ) ` <. A , B >. ) = ( N ` ( M ` <. A , B >. ) ) )
13	6, 12	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( D ` <. A , B >. ) = ( N ` ( M ` <. A , B >. ) ) )
14		df-ov 6653	. 2 |- ( A D B ) = ( D ` <. A , B >. )
15		df-ov 6653	. . 3 |- ( A M B ) = ( M ` <. A , B >. )
16	15	fveq2i 6194	. 2 |- ( N ` ( A M B ) ) = ( N ` ( M ` <. A , B >. ) )
17	13, 14, 16	3eqtr4g 2681	1 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) = ( N ` ( A M B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   <.cop 4183   X. cxp 5112   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   NrmCVeccnv 27439   BaseSetcba 27441   -vcnsb 27444   norm_CVcnmcv 27445   IndMetcims 27446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456

This theorem is referenced by:  imsdval2  27542  nvnd  27543  vacn  27549  smcnlem  27552  sspimsval  27593  blometi  27658  blocnilem  27659  ubthlem2  27727  minvecolem2  27731  minvecolem4  27736  minvecolem5  27737  minvecolem6  27738  h2hmetdval  27835  hhssmetdval  28135