Theorem o1cxp 24701

Description: An eventually bounded function taken to a nonnegative power is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
o1cxp.1	|- ( ph -> C e. CC )
o1cxp.2	|- ( ph -> 0 <_ ( Re ` C ) )
o1cxp.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
o1cxp.4	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. O(1) )

Assertion

Ref	Expression
o1cxp	|- ( ph -> ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, A   x, C   ph, x

Allowed substitution hints:   B( x)   V( x)

Proof of Theorem o1cxp

Dummy variables m y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		o1cxp.4	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. O(1) )
2		o1f 14260	. . . . 5 |- ( ( x e. A |-> B ) e. O(1) -> ( x e. A |-> B ) : dom ( x e. A |-> B ) --> CC )
3	1, 2	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : dom ( x e. A |-> B ) --> CC )
4		o1cxp.3	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
5	4	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. A B e. V )
6		dmmptg 5632	. . . . . 6 |- ( A. x e. A B e. V -> dom ( x e. A |-> B ) = A )
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> B ) = A )
8	7	feq2d 6031	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) : dom ( x e. A |-> B ) --> CC <-> ( x e. A |-> B ) : A --> CC ) )
9	3, 8	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> CC )
10		o1bdd 14262	. . 3 |- ( ( ( x e. A |-> B ) e. O(1) /\ ( x e. A |-> B ) : A --> CC ) -> E. y e. RR E. m e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) <_ m ) )
11	1, 9, 10	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> E. y e. RR E. m e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) <_ m ) )
12		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
13		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
14	13	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. A /\ B e. V ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
15	12, 4, 14	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
16	15	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ^c C ) = ( B ^c C ) )
17		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B ^c C ) e. _V
18		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) = ( x e. A |-> ( B ^c C ) )
19	18	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. A /\ ( B ^c C ) e. _V ) -> ( ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) ` x ) = ( B ^c C ) )
20	12, 17, 19	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) ` x ) = ( B ^c C ) )
21	16, 20	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ^c C ) = ( ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) ` x ) )
22	21	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. A ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ^c C ) = ( ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) ` x ) )
23		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ z ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ^c C ) = ( ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) ` x )
24		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x ( ( x e. A |-> B ) ` z )
25		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x ^c
26		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x C
27	24, 25, 26	nfov 6676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ^c C )
28		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) ` z )
29	27, 28	nfeq 2776	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ^c C ) = ( ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) ` z )
30		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = z -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = ( ( x e. A |-> B ) ` z ) )
31	30	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ^c C ) = ( ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ^c C ) )
32		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) ` x ) = ( ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) ` z ) )
33	31, 32	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ^c C ) = ( ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) ` x ) <-> ( ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ^c C ) = ( ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) ` z ) ) )
34	23, 29, 33	cbvral 3167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. A ( ( ( x e. A |-> B ) ` x ) ^c C ) = ( ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) ` x ) <-> A. z e. A ( ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ^c C ) = ( ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) ` z ) )
35	22, 34	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. z e. A ( ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ^c C ) = ( ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) ` z ) )
36	35	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ^c C ) = ( ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) ` z ) )
37	36	ad2ant2r 783	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( z e. A /\ ( abs ` ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) <_ m ) ) -> ( ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ^c C ) = ( ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) ` z ) )
38	37	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( z e. A /\ ( abs ` ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) <_ m ) ) -> ( abs ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ^c C ) ) = ( abs ` ( ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) ` z ) ) )
39	9	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` z ) e. CC )
40	39	ad2ant2r 783	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( z e. A /\ ( abs ` ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) <_ m ) ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` z ) e. CC )
41		o1cxp.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. CC )
42	41	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( z e. A /\ ( abs ` ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) <_ m ) ) -> C e. CC )
43		o1cxp.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ ( Re ` C ) )
44	43	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( z e. A /\ ( abs ` ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) <_ m ) ) -> 0 <_ ( Re ` C ) )
45		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ m e. RR ) ) -> m e. RR )
46		0re 10040	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
47		ifcl 4130	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ m , m , 0 ) e. RR )
48	45, 46, 47	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ m e. RR ) ) -> if ( 0 <_ m , m , 0 ) e. RR )
49	48	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( z e. A /\ ( abs ` ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) <_ m ) ) -> if ( 0 <_ m , m , 0 ) e. RR )
50	40	abscld 14175	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( z e. A /\ ( abs ` ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) <_ m ) ) -> ( abs ` ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) e. RR )
51	45	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( z e. A /\ ( abs ` ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) <_ m ) ) -> m e. RR )
52		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( z e. A /\ ( abs ` ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) <_ m ) ) -> ( abs ` ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) <_ m )
53		max2 12018	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ m e. RR ) -> m <_ if ( 0 <_ m , m , 0 ) )
54	46, 45, 53	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ m e. RR ) ) -> m <_ if ( 0 <_ m , m , 0 ) )
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( z e. A /\ ( abs ` ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) <_ m ) ) -> m <_ if ( 0 <_ m , m , 0 ) )
56	50, 51, 49, 52, 55	letrd 10194	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( z e. A /\ ( abs ` ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) <_ m ) ) -> ( abs ` ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) <_ if ( 0 <_ m , m , 0 ) )
57	40, 42, 44, 49, 56	abscxpbnd 24494	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( z e. A /\ ( abs ` ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) <_ m ) ) -> ( abs ` ( ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ^c C ) ) <_ ( ( if ( 0 <_ m , m , 0 ) ^c ( Re ` C ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` C ) x. pi ) ) ) )
58	38, 57	eqbrtrrd 4677	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ m e. RR ) ) /\ ( z e. A /\ ( abs ` ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) <_ m ) ) -> ( abs ` ( ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) ` z ) ) <_ ( ( if ( 0 <_ m , m , 0 ) ^c ( Re ` C ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` C ) x. pi ) ) ) )
59	58	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ m e. RR ) ) /\ z e. A ) -> ( ( abs ` ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) <_ m -> ( abs ` ( ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) ` z ) ) <_ ( ( if ( 0 <_ m , m , 0 ) ^c ( Re ` C ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` C ) x. pi ) ) ) ) )
60	59	imim2d 57	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ m e. RR ) ) /\ z e. A ) -> ( ( y <_ z -> ( abs ` ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) <_ m ) -> ( y <_ z -> ( abs ` ( ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) ` z ) ) <_ ( ( if ( 0 <_ m , m , 0 ) ^c ( Re ` C ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` C ) x. pi ) ) ) ) ) )
61	60	ralimdva 2962	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ m e. RR ) ) -> ( A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) <_ m ) -> A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) ` z ) ) <_ ( ( if ( 0 <_ m , m , 0 ) ^c ( Re ` C ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` C ) x. pi ) ) ) ) ) )
62	4, 1	o1mptrcl 14353	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
63	41	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
64	62, 63	cxpcld 24454	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( B ^c C ) e. CC )
65	64, 18	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) : A --> CC )
66	65	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ m e. RR ) ) -> ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) : A --> CC )
67		o1dm 14261	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A |-> B ) e. O(1) -> dom ( x e. A |-> B ) C_ RR )
68	1, 67	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom ( x e. A |-> B ) C_ RR )
69	7, 68	eqsstr3d 3640	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ RR )
70	69	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ m e. RR ) ) -> A C_ RR )
71		simprl 794	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ m e. RR ) ) -> y e. RR )
72		max1 12016	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ m e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ m , m , 0 ) )
73	46, 45, 72	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ m e. RR ) ) -> 0 <_ if ( 0 <_ m , m , 0 ) )
74	41	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ m e. RR ) ) -> C e. CC )
75	74	recld 13934	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ m e. RR ) ) -> ( Re ` C ) e. RR )
76	48, 73, 75	recxpcld 24469	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ m e. RR ) ) -> ( if ( 0 <_ m , m , 0 ) ^c ( Re ` C ) ) e. RR )
77	74	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ m e. RR ) ) -> ( abs ` C ) e. RR )
78		pire 24210	. . . . . . . 8 |- pi e. RR
79		remulcl 10021	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` C ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( abs ` C ) x. pi ) e. RR )
80	77, 78, 79	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ m e. RR ) ) -> ( ( abs ` C ) x. pi ) e. RR )
81	80	reefcld 14818	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ m e. RR ) ) -> ( exp ` ( ( abs ` C ) x. pi ) ) e. RR )
82	76, 81	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ m e. RR ) ) -> ( ( if ( 0 <_ m , m , 0 ) ^c ( Re ` C ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` C ) x. pi ) ) ) e. RR )
83		elo12r 14259	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) : A --> CC /\ A C_ RR ) /\ ( y e. RR /\ ( ( if ( 0 <_ m , m , 0 ) ^c ( Re ` C ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` C ) x. pi ) ) ) e. RR ) /\ A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) ` z ) ) <_ ( ( if ( 0 <_ m , m , 0 ) ^c ( Re ` C ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` C ) x. pi ) ) ) ) ) -> ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) e. O(1) )
84	83	3expia 1267	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) : A --> CC /\ A C_ RR ) /\ ( y e. RR /\ ( ( if ( 0 <_ m , m , 0 ) ^c ( Re ` C ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` C ) x. pi ) ) ) e. RR ) ) -> ( A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) ` z ) ) <_ ( ( if ( 0 <_ m , m , 0 ) ^c ( Re ` C ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` C ) x. pi ) ) ) ) -> ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) e. O(1) ) )
85	66, 70, 71, 82, 84	syl22anc 1327	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ m e. RR ) ) -> ( A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) ` z ) ) <_ ( ( if ( 0 <_ m , m , 0 ) ^c ( Re ` C ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` C ) x. pi ) ) ) ) -> ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) e. O(1) ) )
86	61, 85	syld 47	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ m e. RR ) ) -> ( A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) <_ m ) -> ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) e. O(1) ) )
87	86	rexlimdvva 3038	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. RR E. m e. RR A. z e. A ( y <_ z -> ( abs ` ( ( x e. A |-> B ) ` z ) ) <_ m ) -> ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) e. O(1) ) )
88	11, 87	mpd 15	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( B ^c C ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   <_ cle 10075   Recre 13837   abscabs 13974   O(1)co1 14217   expce 14792   picpi 14797   ^c ccxp 24302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-o1 14221  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304

This theorem is referenced by: (None)