Theorem rge0ssre 12280

Description: Nonnegative real numbers are real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 8-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rge0ssre	|- ( 0 [,) +oo ) C_ RR

Proof of Theorem rge0ssre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 12278	. . 3 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
2	1	simplbi 476	. 2 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) -> x e. RR )
3	2	ssriv 3607	1 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR

Syntax hints:   e. wcel 1990   C_ wss 3574   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   <_ cle 10075   [,)cico 12177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ico 12181

This theorem is referenced by:  fsumge0  14527  abvf  18823  rege0subm  19802  rge0srg  19817  icopnfhmeo  22742  iccpnfcnv  22743  cphsqrtcl  22984  ovollb2lem  23256  ovollb2  23257  ovolunlem1a  23264  ovolunlem1  23265  ovoliunlem1  23270  ovolicc1  23284  ovolicc2lem4  23288  ovolre  23293  ioombl1lem2  23327  ioombl1lem4  23329  uniioombllem1  23349  uniioombllem2  23351  uniioombllem3  23353  uniioombllem6  23356  0plef  23439  mbfi1fseqlem3  23484  mbfi1fseqlem4  23485  mbfi1fseqlem5  23486  itg2mulclem  23513  itg2mulc  23514  itg2monolem1  23517  itg2mono  23520  itg2i1fseq  23522  itg2gt0  23527  itg2cnlem1  23528  itg2cnlem2  23529  cxpcn3  24489  rlimcnp  24692  efrlim  24696  jensenlem1  24713  jensenlem2  24714  jensen  24715  amgm  24717  axcontlem10  25853  xrge0adddir  29692  fsumrp0cl  29695  xrge0slmod  29844  xrge0iifcnv  29979  lmlimxrge0  29994  rge0scvg  29995  lmdvg  29999  esumfsupre  30133  esumpfinvallem  30136  esumpfinval  30137  esumpfinvalf  30138  esumpcvgval  30140  esumcvg  30148  sibfof  30402  sitgclg  30404  sitgaddlemb  30410  hgt750lemf  30731  hgt750leme  30736  tgoldbachgtde  30738  itg2addnclem2  33462  itg2addnclem3  33463  itg2gt0cn  33465  ftc1anclem3  33487  areacirclem2  33501  xralrple2  39570  ge0xrre  39758  fsumge0cl  39805  liminfresre  40011  fouriersw  40448  sge0rnre  40581  fge0iccre  40591  sge0sn  40596  sge0tsms  40597  sge0f1o  40599  sge0repnf  40603  sge0fsum  40604  sge0pr  40611  sge0ltfirp  40617  sge0resplit  40623  sge0le  40624  sge0split  40626  sge0iunmptlemre  40632  sge0isum  40644  sge0ad2en  40648  sge0isummpt2  40649  sge0xaddlem1  40650  sge0xaddlem2  40651  sge0gtfsumgt  40660  sge0uzfsumgt  40661  sge0seq  40663  sge0reuz  40664  sge0reuzb  40665  meassre  40694  meaiuninclem  40697  omessre  40724  omeiunltfirp  40733  carageniuncl  40737  hoidmvlelem1  40809  hoidmvlelem2  40810  hoidmvlelem3  40811  hoidmvlelem4  40812  hoidmvlelem5  40813  hspmbllem1  40840