carageniuncllem1 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem carageniuncllem1 40735

Description: The outer measure of

is the sum of the outer measures of

. These are lines 7 to 10 of Step (d) in the proof of Theorem 113C of [Fremlin1] p. 20. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
carageniuncllem1.o	OutMeas
carageniuncllem1.s	CaraGen
carageniuncllem1.x
carageniuncllem1.a
carageniuncllem1.re
carageniuncllem1.z
carageniuncllem1.e
carageniuncllem1.g
carageniuncllem1.f	$\$ ..^
carageniuncllem1.k

**Assertion**
Ref	Expression
carageniuncllem1

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem carageniuncllem1 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carageniuncllem1.k	. . . 4
2		carageniuncllem1.z	. . . 4
3	1, 2	syl6eleq 2711	. . 3
4		eluzfz2 12349	. . 3
5	3, 4	syl 17	. 2
6		id 22	. 2
7		oveq2 6658	. . . . . 6
8	7	sumeq1d 14431	. . . . 5
9		fveq2 6191	. . . . . . 7
10	9	ineq2d 3814	. . . . . 6
11	10	fveq2d 6195	. . . . 5
12	8, 11	eqeq12d 2637	. . . 4
13	12	imbi2d 330	. . 3
14		oveq2 6658	. . . . . 6
15	14	sumeq1d 14431	. . . . 5
16		fveq2 6191	. . . . . . 7
17	16	ineq2d 3814	. . . . . 6
18	17	fveq2d 6195	. . . . 5
19	15, 18	eqeq12d 2637	. . . 4
20	19	imbi2d 330	. . 3
21		oveq2 6658	. . . . . 6
22	21	sumeq1d 14431	. . . . 5
23		fveq2 6191	. . . . . . 7
24	23	ineq2d 3814	. . . . . 6
25	24	fveq2d 6195	. . . . 5
26	22, 25	eqeq12d 2637	. . . 4
27	26	imbi2d 330	. . 3
28		oveq2 6658	. . . . . 6
29	28	sumeq1d 14431	. . . . 5
30		fveq2 6191	. . . . . . 7
31	30	ineq2d 3814	. . . . . 6
32	31	fveq2d 6195	. . . . 5
33	29, 32	eqeq12d 2637	. . . 4
34	33	imbi2d 330	. . 3
35		eluzel2 11692	. . . . . . . 8
36	3, 35	syl 17	. . . . . . 7
37		fzsn 12383	. . . . . . 7
38	36, 37	syl 17	. . . . . 6
39	38	sumeq1d 14431	. . . . 5
40		carageniuncllem1.o	. . . . . . . 8 OutMeas
41		carageniuncllem1.x	. . . . . . . 8
42		carageniuncllem1.a	. . . . . . . 8
43		carageniuncllem1.re	. . . . . . . 8
44		inss1 3833	. . . . . . . . 9
45	44	a1i 11	. . . . . . . 8
46	40, 41, 42, 43, 45	omessre 40724	. . . . . . 7
47	46	recnd 10068	. . . . . 6
48		fveq2 6191	. . . . . . . . 9
49	48	ineq2d 3814	. . . . . . . 8
50	49	fveq2d 6195	. . . . . . 7
51	50	sumsn 14475	. . . . . 6 $/\$
52	36, 47, 51	syl2anc 693	. . . . 5
53		eqidd 2623	. . . . . 6
54		carageniuncllem1.f	. . . . . . . . . . 11 $\$ ..^
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . 10 $\$ ..^
56		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12
57		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
58	57	iuneq1d 4545	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
59	56, 58	difeq12d 3729	. . . . . . . . . . 11 $\$ ..^ $\$ ..^
60	59	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ ..^ $\$ ..^
61		uzid 11702	. . . . . . . . . . . 12
62	36, 61	syl 17	. . . . . . . . . . 11
63	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
64	63	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11
65	62, 64	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10
66		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12
67		difexg 4808	. . . . . . . . . . . 12 $\$ ..^
68	66, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 $\$ ..^
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . 10 $\$ ..^
70	55, 60, 65, 69	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9 $\$ ..^
71		fzo0 12492	. . . . . . . . . . . . 13 ..^
72		iuneq1 4534	. . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
73	71, 72	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ..^
74		0iun 4577	. . . . . . . . . . . 12
75	73, 74	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 ..^
76	75	difeq2i 3725	. . . . . . . . . 10 $\$ ..^ $\$
77	76	a1i 11	. . . . . . . . 9 $\$ ..^ $\$
78		dif0 3950	. . . . . . . . . 10 $\$
79	78	a1i 11	. . . . . . . . 9 $\$
80	70, 77, 79	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8
81	80	ineq2d 3814	. . . . . . 7
82	81	fveq2d 6195	. . . . . 6
83		carageniuncllem1.g	. . . . . . . . . . 11
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . 10
85		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12
86	85	iuneq1d 4545	. . . . . . . . . . 11
87	86	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$
88		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12
89		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12
90	88, 89	iunex 7147	. . . . . . . . . . 11
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . 10
92	84, 87, 65, 91	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9
93	38	iuneq1d 4545	. . . . . . . . 9
94		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11
95	94	iunxsng 4602	. . . . . . . . . 10
96	36, 95	syl 17	. . . . . . . . 9
97	92, 93, 96	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8
98	97	ineq2d 3814	. . . . . . 7
99	98	fveq2d 6195	. . . . . 6
100	53, 82, 99	3eqtr4d 2666	. . . . 5
101	39, 52, 100	3eqtrd 2660	. . . 4
102	101	a1i 11	. . 3
103		simp3 1063	. . . . 5 ..^ $/\$ $/\$
104		simp1 1061	. . . . 5 ..^ $/\$ $/\$ ..^
105		id 22	. . . . . . 7
106	105	imp 445	. . . . . 6 $/\$
107	106	3adant1 1079	. . . . 5 ..^ $/\$ $/\$
108		elfzouz 12474	. . . . . . . . 9 ..^
109	108	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$ ..^
110	40	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ OutMeas
111	42	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
112	43	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
113		inss1 3833	. . . . . . . . . . . 12
114	113	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 $/\$
115	110, 41, 111, 112, 114	omessre 40724	. . . . . . . . . 10 $/\$
116	115	recnd 10068	. . . . . . . . 9 $/\$
117	116	adantlr 751	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $/\$
118		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10
119	118	ineq2d 3814	. . . . . . . . 9
120	119	fveq2d 6195	. . . . . . . 8
121	109, 117, 120	fsump1 14487	. . . . . . 7 $/\$ ..^
122	121	3adant3 1081	. . . . . 6 $/\$ ..^ $/\$
123		oveq1 6657	. . . . . . 7
124	123	3ad2ant3 1084	. . . . . 6 $/\$ ..^ $/\$
125		fzssp1 12384	. . . . . . . . . . . . . . . 16
126		iunss1 4532	. . . . . . . . . . . . . . . 16
127	125, 126	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15
128	127	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^
129	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
130		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
131	130	iuneq1d 4545	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
132	131	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ $/\$
133	108, 2	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
134		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
135	134, 89	iunex 7147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
136	135	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
137	129, 132, 133, 136	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
138		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
139	138	iuneq1d 4545	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
140	139	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ $/\$
141		peano2uz 11741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
142	108, 141	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
143	2	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
144	142, 143	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
145		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
146	145, 89	iunex 7147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
147	146	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
148	129, 140, 144, 147	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
149	137, 148	sseq12d 3634	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^
150	128, 149	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 ..^
151		inabs3 39224	. . . . . . . . . . . . 13
152	150, 151	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ..^
153	152	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 ..^
154	153	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 ..^
155	154	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
156		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
157		fzval3 12536	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
158	156, 157	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ ..^
159	158	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^
160	159	iuneq1d 4545	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
161	160	difeq2d 3728	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^ $\$ ..^ $\$
162	161	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $\$ ..^ $\$
163	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ $\$ ..^
164		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
165		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^
166	165	iuneq1d 4545	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ ..^
167	164, 166	difeq12d 3729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ ..^ $\$ ..^
168	167	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ $/\$ $\$ ..^ $\$ ..^
169		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
170		difexg 4808	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ ..^
171	169, 170	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ ..^
172	171	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ $\$ ..^
173	163, 168, 144, 172	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^ $\$ ..^
174	173	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $\$ ..^
175		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
176		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
177	175, 108, 176	iunp1 39235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
178	148, 177	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
179	178, 137	difeq12d 3729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ $\$ $\$
180		difundir 3880	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $\$ $\$
181		difid 3948	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\$
182	181	uneq1i 3763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $\$ $\$
183		0un 39215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$ $\$
184	180, 182, 183	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $\$
185	184	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ $\$ $\$
186	179, 185	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 ..^ $\$ $\$
187	186	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ ..^ $\$ $\$
188	162, 174, 187	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ ..^ $\$
189	188	ineq2d 3814	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $\$
190		indif2 3870	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$
191	190	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$
192	191	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $\$ $\$
193	189, 192	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^ $\$
194	193	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $\$
195	155, 194	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $\$
196		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . 14
197		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . 14
198	196, 197	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . 13
199	198	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
200	40, 41, 42, 43, 199	omessre 40724	. . . . . . . . . . 11
201	200	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
202	40	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ OutMeas
203	42	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
204	43	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^
205		difss 3737	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
206	205, 197	sstri 3612	. . . . . . . . . . . 12 $\$
207	206	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 $/\$ ..^ $\$
208	202, 41, 203, 204, 207	omessre 40724	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^ $\$
209		rexadd 12063	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$ $\$ $\$
210	201, 208, 209	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^ $\$ $\$
211	210	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $\$ $\$
212		carageniuncllem1.s	. . . . . . . . 9 CaraGen
213	137	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
214		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12
215		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . 12
216		carageniuncllem1.e	. . . . . . . . . . . . . 14
217	216	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
218		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . . . 15
219	143	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15
220	218, 219	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . 14
221	220	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
222	217, 221	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
223	214, 40, 212, 215, 222	caragenfiiuncl 40729	. . . . . . . . . . 11
224	223	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ ..^
225	213, 224	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
226	42	ssinss1d 39214	. . . . . . . . . 10
227	226	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ ..^
228	202, 212, 41, 225, 227	caragensplit 40714	. . . . . . . 8 $/\$ ..^ $\$
229	195, 211, 228	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 $/\$ ..^
230	229	3adant3 1081	. . . . . 6 $/\$ ..^ $/\$
231	122, 124, 230	3eqtrd 2660	. . . . 5 $/\$ ..^ $/\$
232	103, 104, 107, 231	syl3anc 1326	. . . 4 ..^ $/\$ $/\$
233	232	3exp 1264	. . 3 ..^
234	13, 20, 27, 34, 102, 233	fzind2 12586	. 2
235	5, 6, 234	sylc 65	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

cvv 3200 $\$ cdif 3571

cun 3572

cin 3573

wss 3574

c0 3915

csn 4177

cuni 4436

ciun 4520

cmpt 4729

cdm 5114

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

c1 9937

caddc 9939

cz 11377

cuz 11687

cxad 11944

cfz 12326 ..^cfzo 12465

csu 14416 OutMeascome 40703 CaraGenccaragen 40705

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-xadd 11947 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-ome 40704 df-caragen 40706

This theorem is referenced by: carageniuncllem2 40736

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