Theorem onpsstopbas 32429

Description: The class of ordinal numbers is a proper subclass of the class of topological bases. (Contributed by Chen-Pang He, 9-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onpsstopbas	|- On C. TopBases

Proof of Theorem onpsstopbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onsstopbas 32428	. 2 |- On C_ TopBases
2		indistop 20806	. . . 4 |- { (/) , { { (/) } } } e. Top
3		topbas 20776	. . . 4 |- ( { (/) , { { (/) } } } e. Top -> { (/) , { { (/) } } } e. TopBases )
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 |- { (/) , { { (/) } } } e. TopBases
5		snex 4908	. . . . . 6 |- { { (/) } } e. _V
6	5	prid2 4298	. . . . 5 |- { { (/) } } e. { (/) , { { (/) } } }
7		snsn0non 5846	. . . . 5 |- -. { { (/) } } e. On
8		mth8 158	. . . . 5 |- ( { { (/) } } e. { (/) , { { (/) } } } -> ( -. { { (/) } } e. On -> -. ( { { (/) } } e. { (/) , { { (/) } } } -> { { (/) } } e. On ) ) )
9	6, 7, 8	mp2 9	. . . 4 |- -. ( { { (/) } } e. { (/) , { { (/) } } } -> { { (/) } } e. On )
10		onelon 5748	. . . . 5 |- ( ( { (/) , { { (/) } } } e. On /\ { { (/) } } e. { (/) , { { (/) } } } ) -> { { (/) } } e. On )
11	10	ex 450	. . . 4 |- ( { (/) , { { (/) } } } e. On -> ( { { (/) } } e. { (/) , { { (/) } } } -> { { (/) } } e. On ) )
12	9, 11	mto 188	. . 3 |- -. { (/) , { { (/) } } } e. On
13	4, 12	pm3.2i 471	. 2 |- ( { (/) , { { (/) } } } e. TopBases /\ -. { (/) , { { (/) } } } e. On )
14		ssnelpss 3718	. 2 |- ( On C_ TopBases -> ( ( { (/) , { { (/) } } } e. TopBases /\ -. { (/) , { { (/) } } } e. On ) -> On C. TopBases ) )
15	1, 13, 14	mp2 9	1 |- On C. TopBases

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   C_ wss 3574   C. wpss 3575   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   Oncon0 5723   Topctop 20698   TopBasesctb 20749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-ord 5726  df-on 5727  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750

This theorem is referenced by: (None)