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Theorem ontgval 32430
Description: The topology generated from an ordinal number B is suc U. B. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
ontgval |- ( B e. On -> ( topGen ` B ) = suc U. B )
Proof of Theorem ontgval
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eltg4i 20764 . . . . . 6 |- ( x e. ( topGen ` B ) -> x = U. ( B i^i ~P x ) )
2 inex1g 4801 . . . . . . 7 |- ( B e. On -> ( B i^i ~P x ) e. _V )
3 onss 6990 . . . . . . . 8 |- ( B e. On -> B C_ On )
4 ssinss1 3841 . . . . . . . 8 |- ( B C_ On -> ( B i^i ~P x ) C_ On )
53, 4syl 17 . . . . . . 7 |- ( B e. On -> ( B i^i ~P x ) C_ On )
6 ssonuni 6986 . . . . . . 7 |- ( ( B i^i ~P x ) e. _V -> ( ( B i^i ~P x ) C_ On -> U. ( B i^i ~P x ) e. On ) )
72, 5, 6sylc 65 . . . . . 6 |- ( B e. On -> U. ( B i^i ~P x ) e. On )
8 eleq1 2689 . . . . . . 7 |- ( x = U. ( B i^i ~P x ) -> ( x e. On <-> U. ( B i^i ~P x ) e. On ) )
98biimprd 238 . . . . . 6 |- ( x = U. ( B i^i ~P x ) -> ( U. ( B i^i ~P x ) e. On -> x e. On ) )
101, 7, 9syl2imc 41 . . . . 5 |- ( B e. On -> ( x e. ( topGen ` B ) -> x e. On ) )
11 onuni 6993 . . . . . 6 |- ( B e. On -> U. B e. On )
12 suceloni 7013 . . . . . 6 |- ( U. B e. On -> suc U. B e. On )
1311, 12syl 17 . . . . 5 |- ( B e. On -> suc U. B e. On )
1410, 13jctird 567 . . . 4 |- ( B e. On -> ( x e. ( topGen ` B ) -> ( x e. On /\ suc U. B e. On ) ) )
15 tg1 20768 . . . . . 6 |- ( x e. ( topGen ` B ) -> x C_ U. B )
1615a1i 11 . . . . 5 |- ( B e. On -> ( x e. ( topGen ` B ) -> x C_ U. B ) )
17 sucidg 5803 . . . . . 6 |- ( U. B e. On -> U. B e. suc U. B )
1811, 17syl 17 . . . . 5 |- ( B e. On -> U. B e. suc U. B )
1916, 18jctird 567 . . . 4 |- ( B e. On -> ( x e. ( topGen ` B ) -> ( x C_ U. B /\ U. B e. suc U. B ) ) )
20 ontr2 5772 . . . 4 |- ( ( x e. On /\ suc U. B e. On ) -> ( ( x C_ U. B /\ U. B e. suc U. B ) -> x e. suc U. B ) )
2114, 19, 20syl6c 70 . . 3 |- ( B e. On -> ( x e. ( topGen ` B ) -> x e. suc U. B ) )
22 elsuci 5791 . . . 4 |- ( x e. suc U. B -> ( x e. U. B \/ x = U. B ) )
23 eloni 5733 . . . . . . . 8 |- ( B e. On -> Ord B )
24 orduniss 5821 . . . . . . . 8 |- ( Ord B -> U. B C_ B )
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 |- ( B e. On -> U. B C_ B )
26 bastg 20770 . . . . . . 7 |- ( B e. On -> B C_ ( topGen ` B ) )
2725, 26sstrd 3613 . . . . . 6 |- ( B e. On -> U. B C_ ( topGen ` B ) )
2827sseld 3602 . . . . 5 |- ( B e. On -> ( x e. U. B -> x e. ( topGen ` B ) ) )
29 ssid 3624 . . . . . . 7 |- B C_ B
30 eltg3i 20765 . . . . . . 7 |- ( ( B e. On /\ B C_ B ) -> U. B e. ( topGen ` B ) )
3129, 30mpan2 707 . . . . . 6 |- ( B e. On -> U. B e. ( topGen ` B ) )
32 eleq1a 2696 . . . . . 6 |- ( U. B e. ( topGen ` B ) -> ( x = U. B -> x e. ( topGen ` B ) ) )
3331, 32syl 17 . . . . 5 |- ( B e. On -> ( x = U. B -> x e. ( topGen ` B ) ) )
3428, 33jaod 395 . . . 4 |- ( B e. On -> ( ( x e. U. B \/ x = U. B ) -> x e. ( topGen ` B ) ) )
3522, 34syl5 34 . . 3 |- ( B e. On -> ( x e. suc U. B -> x e. ( topGen ` B ) ) )
3621, 35impbid 202 . 2 |- ( B e. On -> ( x e. ( topGen ` B ) <-> x e. suc U. B ) )
3736eqrdv 2620 1 |- ( B e. On -> ( topGen ` B ) = suc U. B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   Ord word 5722   Oncon0 5723   suc csuc 5725   ` cfv 5888   topGenctg 16098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-topgen 16104
This theorem is referenced by:  ontgsucval  32431
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