Theorem ordtcld1 21001

Description: A downward ray ( -oo , P ] is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordttopon.3	|- X = dom R

Assertion

Ref	Expression
ordtcld1	|- ( ( R e. V /\ P e. X ) -> { x e. X | x R P } e. ( Clsd ` (ordTop ` R ) ) )

Distinct variable groups:   x, P   x, R   x, V   x, X

Proof of Theorem ordtcld1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3687	. . 3 |- { x e. X | x R P } C_ X
2		ordttopon.3	. . . . . 6 |- X = dom R
3	2	ordttopon 20997	. . . . 5 |- ( R e. V -> (ordTop ` R ) e. (TopOn ` X ) )
4	3	adantr 481	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ P e. X ) -> (ordTop ` R ) e. (TopOn ` X ) )
5		toponuni 20719	. . . 4 |- ( (ordTop ` R ) e. (TopOn ` X ) -> X = U. (ordTop ` R ) )
6	4, 5	syl 17	. . 3 |- ( ( R e. V /\ P e. X ) -> X = U. (ordTop ` R ) )
7	1, 6	syl5sseq 3653	. 2 |- ( ( R e. V /\ P e. X ) -> { x e. X | x R P } C_ U. (ordTop ` R ) )
8		notrab 3904	. . . 4 |- ( X \ { x e. X | x R P } ) = { x e. X | -. x R P }
9	6	difeq1d 3727	. . . 4 |- ( ( R e. V /\ P e. X ) -> ( X \ { x e. X | x R P } ) = ( U. (ordTop ` R ) \ { x e. X | x R P } ) )
10	8, 9	syl5eqr 2670	. . 3 |- ( ( R e. V /\ P e. X ) -> { x e. X | -. x R P } = ( U. (ordTop ` R ) \ { x e. X | x R P } ) )
11	2	ordtopn1 20998	. . 3 |- ( ( R e. V /\ P e. X ) -> { x e. X | -. x R P } e. (ordTop ` R ) )
12	10, 11	eqeltrrd 2702	. 2 |- ( ( R e. V /\ P e. X ) -> ( U. (ordTop ` R ) \ { x e. X | x R P } ) e. (ordTop ` R ) )
13		topontop 20718	. . 3 |- ( (ordTop ` R ) e. (TopOn ` X ) -> (ordTop ` R ) e. Top )
14		eqid 2622	. . . 4 |- U. (ordTop ` R ) = U. (ordTop ` R )
15	14	iscld 20831	. . 3 |- ( (ordTop ` R ) e. Top -> ( { x e. X | x R P } e. ( Clsd ` (ordTop ` R ) ) <-> ( { x e. X | x R P } C_ U. (ordTop ` R ) /\ ( U. (ordTop ` R ) \ { x e. X | x R P } ) e. (ordTop ` R ) ) ) )
16	4, 13, 15	3syl 18	. 2 |- ( ( R e. V /\ P e. X ) -> ( { x e. X | x R P } e. ( Clsd ` (ordTop ` R ) ) <-> ( { x e. X | x R P } C_ U. (ordTop ` R ) /\ ( U. (ordTop ` R ) \ { x e. X | x R P } ) e. (ordTop ` R ) ) ) )
17	7, 12, 16	mpbir2and 957	1 |- ( ( R e. V /\ P e. X ) -> { x e. X | x R P } e. ( Clsd ` (ordTop ` R ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ` cfv 5888  ordTopcordt 16159   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Clsdccld 20820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-topgen 16104  df-ordt 16161  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823

This theorem is referenced by:  ordtcld3  21003