Theorem symgsssg 17887

Description: The symmetric group has subgroups restricting the set of non-fixed points. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgsssg.g	|- G = ( SymGrp ` D )
symgsssg.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
symgsssg	|- ( D e. V -> { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } e. (SubGrp ` G ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, G   x, X

Allowed substitution hints:   D( x)   V( x)

Proof of Theorem symgsssg

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2623	. 2 |- ( D e. V -> ( G ↾s { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } ) = ( G ↾s { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } ) )
2		eqidd 2623	. 2 |- ( D e. V -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` G ) )
3		eqidd 2623	. 2 |- ( D e. V -> ( +g ` G ) = ( +g ` G ) )
4		ssrab2 3687	. . . 4 |- { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } C_ B
5		symgsssg.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
6	4, 5	sseqtri 3637	. . 3 |- { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } C_ ( Base ` G )
7	6	a1i 11	. 2 |- ( D e. V -> { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } C_ ( Base ` G ) )
8		symgsssg.g	. . . . 5 |- G = ( SymGrp ` D )
9	8	symggrp 17820	. . . 4 |- ( D e. V -> G e. Grp )
10		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
11	5, 10	grpidcl 17450	. . . 4 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. B )
12	9, 11	syl 17	. . 3 |- ( D e. V -> ( 0g ` G ) e. B )
13	8	symgid 17821	. . . . . 6 |- ( D e. V -> ( _I |` D ) = ( 0g ` G ) )
14	13	difeq1d 3727	. . . . 5 |- ( D e. V -> ( ( _I |` D ) \ _I ) = ( ( 0g ` G ) \ _I ) )
15	14	dmeqd 5326	. . . 4 |- ( D e. V -> dom ( ( _I |` D ) \ _I ) = dom ( ( 0g ` G ) \ _I ) )
16		resss 5422	. . . . . . . 8 |- ( _I |` D ) C_ _I
17		ssdif0 3942	. . . . . . . 8 |- ( ( _I |` D ) C_ _I <-> ( ( _I |` D ) \ _I ) = (/) )
18	16, 17	mpbi 220	. . . . . . 7 |- ( ( _I |` D ) \ _I ) = (/)
19	18	dmeqi 5325	. . . . . 6 |- dom ( ( _I |` D ) \ _I ) = dom (/)
20		dm0 5339	. . . . . 6 |- dom (/) = (/)
21	19, 20	eqtri 2644	. . . . 5 |- dom ( ( _I |` D ) \ _I ) = (/)
22		0ss 3972	. . . . 5 |- (/) C_ X
23	21, 22	eqsstri 3635	. . . 4 |- dom ( ( _I |` D ) \ _I ) C_ X
24	15, 23	syl6eqssr 3656	. . 3 |- ( D e. V -> dom ( ( 0g ` G ) \ _I ) C_ X )
25		difeq1 3721	. . . . . 6 |- ( x = ( 0g ` G ) -> ( x \ _I ) = ( ( 0g ` G ) \ _I ) )
26	25	dmeqd 5326	. . . . 5 |- ( x = ( 0g ` G ) -> dom ( x \ _I ) = dom ( ( 0g ` G ) \ _I ) )
27	26	sseq1d 3632	. . . 4 |- ( x = ( 0g ` G ) -> ( dom ( x \ _I ) C_ X <-> dom ( ( 0g ` G ) \ _I ) C_ X ) )
28	27	elrab 3363	. . 3 |- ( ( 0g ` G ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } <-> ( ( 0g ` G ) e. B /\ dom ( ( 0g ` G ) \ _I ) C_ X ) )
29	12, 24, 28	sylanbrc 698	. 2 |- ( D e. V -> ( 0g ` G ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } )
30		biid 251	. . 3 |- ( D e. V <-> D e. V )
31		difeq1 3721	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x \ _I ) = ( y \ _I ) )
32	31	dmeqd 5326	. . . . 5 |- ( x = y -> dom ( x \ _I ) = dom ( y \ _I ) )
33	32	sseq1d 3632	. . . 4 |- ( x = y -> ( dom ( x \ _I ) C_ X <-> dom ( y \ _I ) C_ X ) )
34	33	elrab 3363	. . 3 |- ( y e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } <-> ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) )
35		difeq1 3721	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( x \ _I ) = ( z \ _I ) )
36	35	dmeqd 5326	. . . . 5 |- ( x = z -> dom ( x \ _I ) = dom ( z \ _I ) )
37	36	sseq1d 3632	. . . 4 |- ( x = z -> ( dom ( x \ _I ) C_ X <-> dom ( z \ _I ) C_ X ) )
38	37	elrab 3363	. . 3 |- ( z e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } <-> ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) )
39	9	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> G e. Grp )
40		simp2l 1087	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> y e. B )
41		simp3l 1089	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> z e. B )
42		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
43	5, 42	grpcl 17430	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. B )
44	39, 40, 41, 43	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. B )
45	8, 5, 42	symgov 17810	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( y ( +g ` G ) z ) = ( y o. z ) )
46	40, 41, 45	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) = ( y o. z ) )
47	46	difeq1d 3727	. . . . . 6 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) = ( ( y o. z ) \ _I ) )
48	47	dmeqd 5326	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) = dom ( ( y o. z ) \ _I ) )
49		mvdco 17865	. . . . . 6 |- dom ( ( y o. z ) \ _I ) C_ ( dom ( y \ _I ) u. dom ( z \ _I ) )
50		simp2r 1088	. . . . . . 7 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( y \ _I ) C_ X )
51		simp3r 1090	. . . . . . 7 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( z \ _I ) C_ X )
52	50, 51	unssd 3789	. . . . . 6 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> ( dom ( y \ _I ) u. dom ( z \ _I ) ) C_ X )
53	49, 52	syl5ss 3614	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( ( y o. z ) \ _I ) C_ X )
54	48, 53	eqsstrd 3639	. . . 4 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) C_ X )
55		difeq1 3721	. . . . . . 7 |- ( x = ( y ( +g ` G ) z ) -> ( x \ _I ) = ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) )
56	55	dmeqd 5326	. . . . . 6 |- ( x = ( y ( +g ` G ) z ) -> dom ( x \ _I ) = dom ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) )
57	56	sseq1d 3632	. . . . 5 |- ( x = ( y ( +g ` G ) z ) -> ( dom ( x \ _I ) C_ X <-> dom ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) C_ X ) )
58	57	elrab 3363	. . . 4 |- ( ( y ( +g ` G ) z ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } <-> ( ( y ( +g ` G ) z ) e. B /\ dom ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) C_ X ) )
59	44, 54, 58	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } )
60	30, 34, 38, 59	syl3anb 1369	. 2 |- ( ( D e. V /\ y e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } /\ z e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } )
61	9	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> G e. Grp )
62		simprl 794	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> y e. B )
63		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
64	5, 63	grpinvcl 17467	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. B )
65	61, 62, 64	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. B )
66	8, 5, 63	symginv 17822	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> ( ( invg ` G ) ` y ) = `' y )
67	66	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) = `' y )
68	67	difeq1d 3727	. . . . . . 7 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) = ( `' y \ _I ) )
69	68	dmeqd 5326	. . . . . 6 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) = dom ( `' y \ _I ) )
70	8, 5	symgbasf1o 17803	. . . . . . . 8 |- ( y e. B -> y : D -1-1-onto-> D )
71	70	ad2antrl 764	. . . . . . 7 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> y : D -1-1-onto-> D )
72		f1omvdcnv 17864	. . . . . . 7 |- ( y : D -1-1-onto-> D -> dom ( `' y \ _I ) = dom ( y \ _I ) )
73	71, 72	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( `' y \ _I ) = dom ( y \ _I ) )
74	69, 73	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) = dom ( y \ _I ) )
75		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( y \ _I ) C_ X )
76	74, 75	eqsstrd 3639	. . . 4 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) C_ X )
77		difeq1 3721	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( invg ` G ) ` y ) -> ( x \ _I ) = ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) )
78	77	dmeqd 5326	. . . . . 6 |- ( x = ( ( invg ` G ) ` y ) -> dom ( x \ _I ) = dom ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) )
79	78	sseq1d 3632	. . . . 5 |- ( x = ( ( invg ` G ) ` y ) -> ( dom ( x \ _I ) C_ X <-> dom ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) C_ X ) )
80	79	elrab 3363	. . . 4 |- ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } <-> ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. B /\ dom ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) C_ X ) )
81	65, 76, 80	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } )
82	34, 81	sylan2b 492	. 2 |- ( ( D e. V /\ y e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } )
83	1, 2, 3, 7, 29, 60, 82, 9	issubgrpd2 17610	1 |- ( D e. V -> { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } e. (SubGrp ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   _I cid 5023   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   |` cres 5116   o. ccom 5118   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423  SubGrpcsubg 17588   SymGrpcsymg 17797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-symg 17798

This theorem is referenced by:  psgnunilem5  17914