Theorem ptbasin2 21381

Description: The basis for a product topology is closed under intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ptbas.1	|- B = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }

Assertion

Ref	Expression
ptbasin2	|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( fi ` B ) = B )

Distinct variable groups:   x, g, y, z, A   g, F, x, y, z   g, V, x, y, z

Allowed substitution hints:   B( x, y, z, g)

Proof of Theorem ptbasin2

Dummy variables k u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ptbas.1	. . . 4 |- B = { x | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ x = X_ y e. A ( g ` y ) ) }
2	1	ptbasin 21380	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( u i^i v ) e. B )
3	2	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> A. u e. B A. v e. B ( u i^i v ) e. B )
4	1	ptuni2 21379	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. B )
5		ixpexg 7932	. . . . . 6 |- ( A. k e. A U. ( F ` k ) e. _V -> X_ k e. A U. ( F ` k ) e. _V )
6		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( F ` k ) e. _V
7	6	uniex 6953	. . . . . . 7 |- U. ( F ` k ) e. _V
8	7	a1i 11	. . . . . 6 |- ( k e. A -> U. ( F ` k ) e. _V )
9	5, 8	mprg 2926	. . . . 5 |- X_ k e. A U. ( F ` k ) e. _V
10	4, 9	syl6eqelr 2710	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> U. B e. _V )
11		uniexb 6973	. . . 4 |- ( B e. _V <-> U. B e. _V )
12	10, 11	sylibr 224	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> B e. _V )
13		inficl 8331	. . 3 |- ( B e. _V -> ( A. u e. B A. v e. B ( u i^i v ) e. B <-> ( fi ` B ) = B ) )
14	12, 13	syl 17	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( A. u e. B A. v e. B ( u i^i v ) e. B <-> ( fi ` B ) = B ) )
15	3, 14	mpbid 222	1 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( fi ` B ) = B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   U.cuni 4436   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   X_cixp 7908   Fincfn 7955   ficfi 8316   Topctop 20698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ixp 7909  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-top 20699

This theorem is referenced by:  ptbas  21382  ptbasfi  21384