Theorem inficl 8331

Description: A set which is closed under pairwise intersection is closed under finite intersection. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
inficl	|- ( A e. V -> ( A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A <-> ( fi ` A ) = A ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, V

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem inficl

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssfii 8325	. . 3 |- ( A e. V -> A C_ ( fi ` A ) )
2		eqimss2 3658	. . . . . . . 8 |- ( z = A -> A C_ z )
3	2	biantrurd 529	. . . . . . 7 |- ( z = A -> ( A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) ) )
4		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( z = A -> ( ( x i^i y ) e. z <-> ( x i^i y ) e. A ) )
5	4	raleqbi1dv 3146	. . . . . . . 8 |- ( z = A -> ( A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> A. y e. A ( x i^i y ) e. A ) )
6	5	raleqbi1dv 3146	. . . . . . 7 |- ( z = A -> ( A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z <-> A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A ) )
7	3, 6	bitr3d 270	. . . . . 6 |- ( z = A -> ( ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A ) )
8	7	elabg 3351	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( A e. { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } <-> A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A ) )
9		intss1 4492	. . . . 5 |- ( A e. { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } -> |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } C_ A )
10	8, 9	syl6bir 244	. . . 4 |- ( A e. V -> ( A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A -> |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } C_ A ) )
11		dffi2 8329	. . . . 5 |- ( A e. V -> ( fi ` A ) = |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } )
12	11	sseq1d 3632	. . . 4 |- ( A e. V -> ( ( fi ` A ) C_ A <-> |^| { z | ( A C_ z /\ A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) e. z ) } C_ A ) )
13	10, 12	sylibrd 249	. . 3 |- ( A e. V -> ( A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A -> ( fi ` A ) C_ A ) )
14		eqss 3618	. . . 4 |- ( ( fi ` A ) = A <-> ( ( fi ` A ) C_ A /\ A C_ ( fi ` A ) ) )
15	14	simplbi2com 657	. . 3 |- ( A C_ ( fi ` A ) -> ( ( fi ` A ) C_ A -> ( fi ` A ) = A ) )
16	1, 13, 15	sylsyld 61	. 2 |- ( A e. V -> ( A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A -> ( fi ` A ) = A ) )
17		fiin 8328	. . . 4 |- ( ( x e. ( fi ` A ) /\ y e. ( fi ` A ) ) -> ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) )
18	17	rgen2a 2977	. . 3 |- A. x e. ( fi ` A ) A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A )
19		eleq2 2690	. . . . 5 |- ( ( fi ` A ) = A -> ( ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) <-> ( x i^i y ) e. A ) )
20	19	raleqbi1dv 3146	. . . 4 |- ( ( fi ` A ) = A -> ( A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) <-> A. y e. A ( x i^i y ) e. A ) )
21	20	raleqbi1dv 3146	. . 3 |- ( ( fi ` A ) = A -> ( A. x e. ( fi ` A ) A. y e. ( fi ` A ) ( x i^i y ) e. ( fi ` A ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A ) )
22	18, 21	mpbii 223	. 2 |- ( ( fi ` A ) = A -> A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A )
23	16, 22	impbid1 215	1 |- ( A e. V -> ( A. x e. A A. y e. A ( x i^i y ) e. A <-> ( fi ` A ) = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   i^i cin 3573   C_ wss 3574   |^|cint 4475   ` cfv 5888   ficfi 8316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317

This theorem is referenced by:  fipwuni  8332  fisn  8333  fitop  20705  ordtbaslem  20992  ptbasin2  21381  filfi  21663  fmfnfmlem3  21760  ustuqtop2  22046  ldgenpisys  30229