Theorem ptrescn 21442

Description: Restriction is a continuous function on product topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ptrescn.1	|- X = U. J
ptrescn.2	|- J = ( Xt_ ` F )
ptrescn.3	|- K = ( Xt_ ` ( F |` B ) )

Assertion

Ref	Expression
ptrescn	|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) -> ( x e. X |-> ( x |` B ) ) e. ( J Cn K ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F   x, K   x, V   x, X

Allowed substitution hint:   J( x)

Proof of Theorem ptrescn

Dummy variables u k v y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1066	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) /\ x e. X ) -> B C_ A )
2		ptrescn.2	. . . . . . . . . 10 |- J = ( Xt_ ` F )
3	2	ptuni 21397	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. J )
4	3	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. J )
5		ptrescn.1	. . . . . . . 8 |- X = U. J
6	4, 5	syl6eqr 2674	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = X )
7	6	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) -> ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) <-> x e. X ) )
8	7	biimpar 502	. . . . 5 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) /\ x e. X ) -> x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) )
9		resixp 7943	. . . . 5 |- ( ( B C_ A /\ x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) ) -> ( x |` B ) e. X_ k e. B U. ( F ` k ) )
10	1, 8, 9	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) /\ x e. X ) -> ( x |` B ) e. X_ k e. B U. ( F ` k ) )
11		ixpeq2 7922	. . . . . . 7 |- ( A. k e. B U. ( ( F |` B ) ` k ) = U. ( F ` k ) -> X_ k e. B U. ( ( F |` B ) ` k ) = X_ k e. B U. ( F ` k ) )
12		fvres 6207	. . . . . . . 8 |- ( k e. B -> ( ( F |` B ) ` k ) = ( F ` k ) )
13	12	unieqd 4446	. . . . . . 7 |- ( k e. B -> U. ( ( F |` B ) ` k ) = U. ( F ` k ) )
14	11, 13	mprg 2926	. . . . . 6 |- X_ k e. B U. ( ( F |` B ) ` k ) = X_ k e. B U. ( F ` k )
15		ssexg 4804	. . . . . . . . 9 |- ( ( B C_ A /\ A e. V ) -> B e. _V )
16	15	ancoms 469	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ B C_ A ) -> B e. _V )
17	16	3adant2 1080	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) -> B e. _V )
18		fssres 6070	. . . . . . . 8 |- ( ( F : A --> Top /\ B C_ A ) -> ( F |` B ) : B --> Top )
19	18	3adant1 1079	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) -> ( F |` B ) : B --> Top )
20		ptrescn.3	. . . . . . . 8 |- K = ( Xt_ ` ( F |` B ) )
21	20	ptuni 21397	. . . . . . 7 |- ( ( B e. _V /\ ( F |` B ) : B --> Top ) -> X_ k e. B U. ( ( F |` B ) ` k ) = U. K )
22	17, 19, 21	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) -> X_ k e. B U. ( ( F |` B ) ` k ) = U. K )
23	14, 22	syl5eqr 2670	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) -> X_ k e. B U. ( F ` k ) = U. K )
24	23	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) /\ x e. X ) -> X_ k e. B U. ( F ` k ) = U. K )
25	10, 24	eleqtrd 2703	. . 3 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) /\ x e. X ) -> ( x |` B ) e. U. K )
26		eqid 2622	. . 3 |- ( x e. X |-> ( x |` B ) ) = ( x e. X |-> ( x |` B ) )
27	25, 26	fmptd 6385	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) -> ( x e. X |-> ( x |` B ) ) : X --> U. K )
28		fimacnv 6347	. . . . . . 7 |- ( ( x e. X |-> ( x |` B ) ) : X --> U. K -> ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) " U. K ) = X )
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) -> ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) " U. K ) = X )
30		pttop 21385	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( Xt_ ` F ) e. Top )
31	2, 30	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> J e. Top )
32	31	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) -> J e. Top )
33	5	topopn 20711	. . . . . . 7 |- ( J e. Top -> X e. J )
34	32, 33	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) -> X e. J )
35	29, 34	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) -> ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) " U. K ) e. J )
36		elsni 4194	. . . . . . 7 |- ( v e. { U. K } -> v = U. K )
37	36	imaeq2d 5466	. . . . . 6 |- ( v e. { U. K } -> ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) " v ) = ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) " U. K ) )
38	37	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( v e. { U. K } -> ( ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) " v ) e. J <-> ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) " U. K ) e. J ) )
39	35, 38	syl5ibrcom 237	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) -> ( v e. { U. K } -> ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) " v ) e. J ) )
40	39	ralrimiv 2965	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) -> A. v e. { U. K } ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) " v ) e. J )
41		imaco 5640	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) o. `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) ) " u ) = ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) " ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) )
42		cnvco 5308	. . . . . . . . . . 11 |- `' ( ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) o. ( x e. X |-> ( x |` B ) ) ) = ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) o. `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) )
43	25	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) /\ ( k e. B /\ u e. ( F ` k ) ) ) /\ x e. X ) -> ( x |` B ) e. U. K )
44		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) /\ ( k e. B /\ u e. ( F ` k ) ) ) -> ( x e. X |-> ( x |` B ) ) = ( x e. X |-> ( x |` B ) ) )
45		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) /\ ( k e. B /\ u e. ( F ` k ) ) ) -> ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) = ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) )
46		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( x |` B ) -> ( z ` k ) = ( ( x |` B ) ` k ) )
47	43, 44, 45, 46	fmptco 6396	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) /\ ( k e. B /\ u e. ( F ` k ) ) ) -> ( ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) o. ( x e. X |-> ( x |` B ) ) ) = ( x e. X |-> ( ( x |` B ) ` k ) ) )
48		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. B -> ( ( x |` B ) ` k ) = ( x ` k ) )
49	48	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) /\ ( k e. B /\ u e. ( F ` k ) ) ) -> ( ( x |` B ) ` k ) = ( x ` k ) )
50	49	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) /\ ( k e. B /\ u e. ( F ` k ) ) ) -> ( x e. X |-> ( ( x |` B ) ` k ) ) = ( x e. X |-> ( x ` k ) ) )
51	47, 50	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) /\ ( k e. B /\ u e. ( F ` k ) ) ) -> ( ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) o. ( x e. X |-> ( x |` B ) ) ) = ( x e. X |-> ( x ` k ) ) )
52	51	cnveqd 5298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) /\ ( k e. B /\ u e. ( F ` k ) ) ) -> `' ( ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) o. ( x e. X |-> ( x |` B ) ) ) = `' ( x e. X |-> ( x ` k ) ) )
53	42, 52	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) /\ ( k e. B /\ u e. ( F ` k ) ) ) -> ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) o. `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) ) = `' ( x e. X |-> ( x ` k ) ) )
54	53	imaeq1d 5465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) /\ ( k e. B /\ u e. ( F ` k ) ) ) -> ( ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) o. `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) ) " u ) = ( `' ( x e. X |-> ( x ` k ) ) " u ) )
55	41, 54	syl5eqr 2670	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) /\ ( k e. B /\ u e. ( F ` k ) ) ) -> ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) " ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) ) = ( `' ( x e. X |-> ( x ` k ) ) " u ) )
56		simpl1 1064	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) /\ ( k e. B /\ u e. ( F ` k ) ) ) -> A e. V )
57		simpl2 1065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) /\ ( k e. B /\ u e. ( F ` k ) ) ) -> F : A --> Top )
58		simpl3 1066	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) /\ ( k e. B /\ u e. ( F ` k ) ) ) -> B C_ A )
59		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) /\ ( k e. B /\ u e. ( F ` k ) ) ) -> k e. B )
60	58, 59	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) /\ ( k e. B /\ u e. ( F ` k ) ) ) -> k e. A )
61	5, 2	ptpjcn 21414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> ( x ` k ) ) e. ( J Cn ( F ` k ) ) )
62	56, 57, 60, 61	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) /\ ( k e. B /\ u e. ( F ` k ) ) ) -> ( x e. X |-> ( x ` k ) ) e. ( J Cn ( F ` k ) ) )
63		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) /\ ( k e. B /\ u e. ( F ` k ) ) ) -> u e. ( F ` k ) )
64		cnima 21069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. X |-> ( x ` k ) ) e. ( J Cn ( F ` k ) ) /\ u e. ( F ` k ) ) -> ( `' ( x e. X |-> ( x ` k ) ) " u ) e. J )
65	62, 63, 64	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) /\ ( k e. B /\ u e. ( F ` k ) ) ) -> ( `' ( x e. X |-> ( x ` k ) ) " u ) e. J )
66	55, 65	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) /\ ( k e. B /\ u e. ( F ` k ) ) ) -> ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) " ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) ) e. J )
67		imaeq2 5462	. . . . . . . 8 |- ( v = ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) -> ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) " v ) = ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) " ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) ) )
68	67	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( v = ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) -> ( ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) " v ) e. J <-> ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) " ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) ) e. J ) )
69	66, 68	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) /\ ( k e. B /\ u e. ( F ` k ) ) ) -> ( v = ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) -> ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) " v ) e. J ) )
70	69	rexlimdvva 3038	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) -> ( E. k e. B E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) -> ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) " v ) e. J ) )
71	70	alrimiv 1855	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) -> A. v ( E. k e. B E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) -> ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) " v ) e. J ) )
72		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( k e. B , u e. ( ( F |` B ) ` k ) |-> ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) ) = ( k e. B , u e. ( ( F |` B ) ` k ) |-> ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) )
73	72	rnmpt2 6770	. . . . . 6 |- ran ( k e. B , u e. ( ( F |` B ) ` k ) |-> ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) ) = { y | E. k e. B E. u e. ( ( F |` B ) ` k ) y = ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) }
74	73	raleqi 3142	. . . . 5 |- ( A. v e. ran ( k e. B , u e. ( ( F |` B ) ` k ) |-> ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) ) ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) " v ) e. J <-> A. v e. { y | E. k e. B E. u e. ( ( F |` B ) ` k ) y = ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) } ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) " v ) e. J )
75	12	rexeqdv 3145	. . . . . . . 8 |- ( k e. B -> ( E. u e. ( ( F |` B ) ` k ) y = ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) <-> E. u e. ( F ` k ) y = ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) ) )
76		eqeq1 2626	. . . . . . . . 9 |- ( y = v -> ( y = ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) <-> v = ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) ) )
77	76	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( y = v -> ( E. u e. ( F ` k ) y = ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) <-> E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) ) )
78	75, 77	sylan9bbr 737	. . . . . . 7 |- ( ( y = v /\ k e. B ) -> ( E. u e. ( ( F |` B ) ` k ) y = ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) <-> E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) ) )
79	78	rexbidva 3049	. . . . . 6 |- ( y = v -> ( E. k e. B E. u e. ( ( F |` B ) ` k ) y = ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) <-> E. k e. B E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) ) )
80	79	ralab 3367	. . . . 5 |- ( A. v e. { y | E. k e. B E. u e. ( ( F |` B ) ` k ) y = ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) } ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) " v ) e. J <-> A. v ( E. k e. B E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) -> ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) " v ) e. J ) )
81	74, 80	bitri 264	. . . 4 |- ( A. v e. ran ( k e. B , u e. ( ( F |` B ) ` k ) |-> ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) ) ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) " v ) e. J <-> A. v ( E. k e. B E. u e. ( F ` k ) v = ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) -> ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) " v ) e. J ) )
82	71, 81	sylibr 224	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) -> A. v e. ran ( k e. B , u e. ( ( F |` B ) ` k ) |-> ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) ) ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) " v ) e. J )
83		ralunb 3794	. . 3 |- ( A. v e. ( { U. K } u. ran ( k e. B , u e. ( ( F |` B ) ` k ) |-> ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) ) ) ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) " v ) e. J <-> ( A. v e. { U. K } ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) " v ) e. J /\ A. v e. ran ( k e. B , u e. ( ( F |` B ) ` k ) |-> ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) ) ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) " v ) e. J ) )
84	40, 82, 83	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) -> A. v e. ( { U. K } u. ran ( k e. B , u e. ( ( F |` B ) ` k ) |-> ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) ) ) ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) " v ) e. J )
85	5	toptopon 20722	. . . 4 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` X ) )
86	32, 85	sylib 208	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) -> J e. (TopOn ` X ) )
87		snex 4908	. . . 4 |- { U. K } e. _V
88		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( ( F |` B ) ` k ) e. _V
89	88	abrexex 7141	. . . . . . 7 |- { y | E. u e. ( ( F |` B ) ` k ) y = ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) } e. _V
90	89	rgenw 2924	. . . . . 6 |- A. k e. B { y | E. u e. ( ( F |` B ) ` k ) y = ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) } e. _V
91		abrexex2g 7144	. . . . . 6 |- ( ( B e. _V /\ A. k e. B { y | E. u e. ( ( F |` B ) ` k ) y = ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) } e. _V ) -> { y | E. k e. B E. u e. ( ( F |` B ) ` k ) y = ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) } e. _V )
92	17, 90, 91	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) -> { y | E. k e. B E. u e. ( ( F |` B ) ` k ) y = ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) } e. _V )
93	73, 92	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) -> ran ( k e. B , u e. ( ( F |` B ) ` k ) |-> ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) ) e. _V )
94		unexg 6959	. . . 4 |- ( ( { U. K } e. _V /\ ran ( k e. B , u e. ( ( F |` B ) ` k ) |-> ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) ) e. _V ) -> ( { U. K } u. ran ( k e. B , u e. ( ( F |` B ) ` k ) |-> ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) ) ) e. _V )
95	87, 93, 94	sylancr 695	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) -> ( { U. K } u. ran ( k e. B , u e. ( ( F |` B ) ` k ) |-> ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) ) ) e. _V )
96		eqid 2622	. . . . 5 |- U. K = U. K
97	20, 96, 72	ptval2 21404	. . . 4 |- ( ( B e. _V /\ ( F |` B ) : B --> Top ) -> K = ( topGen ` ( fi ` ( { U. K } u. ran ( k e. B , u e. ( ( F |` B ) ` k ) |-> ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) ) ) ) ) )
98	17, 19, 97	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) -> K = ( topGen ` ( fi ` ( { U. K } u. ran ( k e. B , u e. ( ( F |` B ) ` k ) |-> ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) ) ) ) ) )
99		pttop 21385	. . . . . 6 |- ( ( B e. _V /\ ( F |` B ) : B --> Top ) -> ( Xt_ ` ( F |` B ) ) e. Top )
100	17, 19, 99	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) -> ( Xt_ ` ( F |` B ) ) e. Top )
101	20, 100	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) -> K e. Top )
102	96	toptopon 20722	. . . 4 |- ( K e. Top <-> K e. (TopOn ` U. K ) )
103	101, 102	sylib 208	. . 3 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) -> K e. (TopOn ` U. K ) )
104	86, 95, 98, 103	subbascn 21058	. 2 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) -> ( ( x e. X |-> ( x |` B ) ) e. ( J Cn K ) <-> ( ( x e. X |-> ( x |` B ) ) : X --> U. K /\ A. v e. ( { U. K } u. ran ( k e. B , u e. ( ( F |` B ) ` k ) |-> ( `' ( z e. U. K |-> ( z ` k ) ) " u ) ) ) ( `' ( x e. X |-> ( x |` B ) ) " v ) e. J ) ) )
105	27, 84, 104	mpbir2and 957	1 |- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ B C_ A ) -> ( x e. X |-> ( x |` B ) ) e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   X_cixp 7908   ficfi 8316   topGenctg 16098   Xt_cpt 16099   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-fi 8317  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031

This theorem is referenced by:  ptunhmeo  21611  tmdgsum  21899