Theorem r1pwss 8647

Description: Each set of the cumulative hierarchy is closed under subsets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
r1pwss	|- ( A e. ( R1 ` B ) -> ~P A C_ ( R1 ` B ) )

Proof of Theorem r1pwss

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1funlim 8629	. . . . . . 7 |- ( Fun R1 /\ Lim dom R1 )
2	1	simpri 478	. . . . . 6 |- Lim dom R1
3		limord 5784	. . . . . 6 |- ( Lim dom R1 -> Ord dom R1 )
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 |- Ord dom R1
5		ordsson 6989	. . . . 5 |- ( Ord dom R1 -> dom R1 C_ On )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 |- dom R1 C_ On
7		elfvdm 6220	. . . 4 |- ( A e. ( R1 ` B ) -> B e. dom R1 )
8	6, 7	sseldi 3601	. . 3 |- ( A e. ( R1 ` B ) -> B e. On )
9		onzsl 7046	. . 3 |- ( B e. On <-> ( B = (/) \/ E. x e. On B = suc x \/ ( B e. _V /\ Lim B ) ) )
10	8, 9	sylib 208	. 2 |- ( A e. ( R1 ` B ) -> ( B = (/) \/ E. x e. On B = suc x \/ ( B e. _V /\ Lim B ) ) )
11		noel 3919	. . . . 5 |- -. A e. (/)
12		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( B = (/) -> ( R1 ` B ) = ( R1 ` (/) ) )
13		r10 8631	. . . . . . . 8 |- ( R1 ` (/) ) = (/)
14	12, 13	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( B = (/) -> ( R1 ` B ) = (/) )
15	14	eleq2d 2687	. . . . . 6 |- ( B = (/) -> ( A e. ( R1 ` B ) <-> A e. (/) ) )
16	15	biimpcd 239	. . . . 5 |- ( A e. ( R1 ` B ) -> ( B = (/) -> A e. (/) ) )
17	11, 16	mtoi 190	. . . 4 |- ( A e. ( R1 ` B ) -> -. B = (/) )
18	17	pm2.21d 118	. . 3 |- ( A e. ( R1 ` B ) -> ( B = (/) -> ~P A C_ ( R1 ` B ) ) )
19		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ B = suc x ) -> A e. ( R1 ` B ) )
20		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ B = suc x ) -> B = suc x )
21	20	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ B = suc x ) -> ( R1 ` B ) = ( R1 ` suc x ) )
22	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ B = suc x ) -> B e. dom R1 )
23	20, 22	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ B = suc x ) -> suc x e. dom R1 )
24		limsuc 7049	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Lim dom R1 -> ( x e. dom R1 <-> suc x e. dom R1 ) )
25	2, 24	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. dom R1 <-> suc x e. dom R1 )
26	23, 25	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ B = suc x ) -> x e. dom R1 )
27		r1sucg 8632	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. dom R1 -> ( R1 ` suc x ) = ~P ( R1 ` x ) )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ B = suc x ) -> ( R1 ` suc x ) = ~P ( R1 ` x ) )
29	21, 28	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ B = suc x ) -> ( R1 ` B ) = ~P ( R1 ` x ) )
30	19, 29	eleqtrd 2703	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ B = suc x ) -> A e. ~P ( R1 ` x ) )
31		elpwi 4168	. . . . . . . 8 |- ( A e. ~P ( R1 ` x ) -> A C_ ( R1 ` x ) )
32		sspwb 4917	. . . . . . . 8 |- ( A C_ ( R1 ` x ) <-> ~P A C_ ~P ( R1 ` x ) )
33	31, 32	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( A e. ~P ( R1 ` x ) -> ~P A C_ ~P ( R1 ` x ) )
34	30, 33	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ B = suc x ) -> ~P A C_ ~P ( R1 ` x ) )
35	34, 29	sseqtr4d 3642	. . . . 5 |- ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ B = suc x ) -> ~P A C_ ( R1 ` B ) )
36	35	ex 450	. . . 4 |- ( A e. ( R1 ` B ) -> ( B = suc x -> ~P A C_ ( R1 ` B ) ) )
37	36	rexlimdvw 3034	. . 3 |- ( A e. ( R1 ` B ) -> ( E. x e. On B = suc x -> ~P A C_ ( R1 ` B ) ) )
38		r1tr 8639	. . . . . 6 |- Tr ( R1 ` B )
39		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ Lim B ) -> A e. ( R1 ` B ) )
40		r1limg 8634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. dom R1 /\ Lim B ) -> ( R1 ` B ) = U_ x e. B ( R1 ` x ) )
41	7, 40	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ Lim B ) -> ( R1 ` B ) = U_ x e. B ( R1 ` x ) )
42	39, 41	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ Lim B ) -> A e. U_ x e. B ( R1 ` x ) )
43		eliun 4524	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. U_ x e. B ( R1 ` x ) <-> E. x e. B A e. ( R1 ` x ) )
44	42, 43	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ Lim B ) -> E. x e. B A e. ( R1 ` x ) )
45		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ Lim B ) /\ ( x e. B /\ A e. ( R1 ` x ) ) ) -> x e. B )
46		limsuc 7049	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Lim B -> ( x e. B <-> suc x e. B ) )
47	46	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ Lim B ) /\ ( x e. B /\ A e. ( R1 ` x ) ) ) -> ( x e. B <-> suc x e. B ) )
48	45, 47	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ Lim B ) /\ ( x e. B /\ A e. ( R1 ` x ) ) ) -> suc x e. B )
49		limsuc 7049	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Lim B -> ( suc x e. B <-> suc suc x e. B ) )
50	49	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ Lim B ) /\ ( x e. B /\ A e. ( R1 ` x ) ) ) -> ( suc x e. B <-> suc suc x e. B ) )
51	48, 50	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ Lim B ) /\ ( x e. B /\ A e. ( R1 ` x ) ) ) -> suc suc x e. B )
52		r1tr 8639	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Tr ( R1 ` x )
53		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ Lim B ) /\ ( x e. B /\ A e. ( R1 ` x ) ) ) -> A e. ( R1 ` x ) )
54		trss 4761	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Tr ( R1 ` x ) -> ( A e. ( R1 ` x ) -> A C_ ( R1 ` x ) ) )
55	52, 53, 54	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ Lim B ) /\ ( x e. B /\ A e. ( R1 ` x ) ) ) -> A C_ ( R1 ` x ) )
56	55, 32	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ Lim B ) /\ ( x e. B /\ A e. ( R1 ` x ) ) ) -> ~P A C_ ~P ( R1 ` x ) )
57	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ Lim B ) /\ ( x e. B /\ A e. ( R1 ` x ) ) ) -> B e. dom R1 )
58		ordtr1 5767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Ord dom R1 -> ( ( x e. B /\ B e. dom R1 ) -> x e. dom R1 ) )
59	4, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. B /\ B e. dom R1 ) -> x e. dom R1 )
60	45, 57, 59	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ Lim B ) /\ ( x e. B /\ A e. ( R1 ` x ) ) ) -> x e. dom R1 )
61	60, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ Lim B ) /\ ( x e. B /\ A e. ( R1 ` x ) ) ) -> ( R1 ` suc x ) = ~P ( R1 ` x ) )
62	56, 61	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ Lim B ) /\ ( x e. B /\ A e. ( R1 ` x ) ) ) -> ~P A C_ ( R1 ` suc x ) )
63		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R1 ` suc x ) e. _V
64	63	elpw2 4828	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P A e. ~P ( R1 ` suc x ) <-> ~P A C_ ( R1 ` suc x ) )
65	62, 64	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ Lim B ) /\ ( x e. B /\ A e. ( R1 ` x ) ) ) -> ~P A e. ~P ( R1 ` suc x ) )
66	60, 25	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ Lim B ) /\ ( x e. B /\ A e. ( R1 ` x ) ) ) -> suc x e. dom R1 )
67		r1sucg 8632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc x e. dom R1 -> ( R1 ` suc suc x ) = ~P ( R1 ` suc x ) )
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ Lim B ) /\ ( x e. B /\ A e. ( R1 ` x ) ) ) -> ( R1 ` suc suc x ) = ~P ( R1 ` suc x ) )
69	65, 68	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ Lim B ) /\ ( x e. B /\ A e. ( R1 ` x ) ) ) -> ~P A e. ( R1 ` suc suc x ) )
70		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = suc suc x -> ( R1 ` y ) = ( R1 ` suc suc x ) )
71	70	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = suc suc x -> ( ~P A e. ( R1 ` y ) <-> ~P A e. ( R1 ` suc suc x ) ) )
72	71	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( suc suc x e. B /\ ~P A e. ( R1 ` suc suc x ) ) -> E. y e. B ~P A e. ( R1 ` y ) )
73	51, 69, 72	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ Lim B ) /\ ( x e. B /\ A e. ( R1 ` x ) ) ) -> E. y e. B ~P A e. ( R1 ` y ) )
74	44, 73	rexlimddv 3035	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ Lim B ) -> E. y e. B ~P A e. ( R1 ` y ) )
75		eliun 4524	. . . . . . . 8 |- ( ~P A e. U_ y e. B ( R1 ` y ) <-> E. y e. B ~P A e. ( R1 ` y ) )
76	74, 75	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ Lim B ) -> ~P A e. U_ y e. B ( R1 ` y ) )
77		r1limg 8634	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. dom R1 /\ Lim B ) -> ( R1 ` B ) = U_ y e. B ( R1 ` y ) )
78	7, 77	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ Lim B ) -> ( R1 ` B ) = U_ y e. B ( R1 ` y ) )
79	76, 78	eleqtrrd 2704	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ Lim B ) -> ~P A e. ( R1 ` B ) )
80		trss 4761	. . . . . 6 |- ( Tr ( R1 ` B ) -> ( ~P A e. ( R1 ` B ) -> ~P A C_ ( R1 ` B ) ) )
81	38, 79, 80	mpsyl 68	. . . . 5 |- ( ( A e. ( R1 ` B ) /\ Lim B ) -> ~P A C_ ( R1 ` B ) )
82	81	ex 450	. . . 4 |- ( A e. ( R1 ` B ) -> ( Lim B -> ~P A C_ ( R1 ` B ) ) )
83	82	adantld 483	. . 3 |- ( A e. ( R1 ` B ) -> ( ( B e. _V /\ Lim B ) -> ~P A C_ ( R1 ` B ) ) )
84	18, 37, 83	3jaod 1392	. 2 |- ( A e. ( R1 ` B ) -> ( ( B = (/) \/ E. x e. On B = suc x \/ ( B e. _V /\ Lim B ) ) -> ~P A C_ ( R1 ` B ) ) )
85	10, 84	mpd 15	1 |- ( A e. ( R1 ` B ) -> ~P A C_ ( R1 ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U_ciun 4520   Tr wtr 4752   dom cdm 5114   Ord word 5722   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   suc csuc 5725   Fun wfun 5882   ` cfv 5888   R1cr1 8625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-r1 8627

This theorem is referenced by:  r1sscl  8648