Theorem rankc2 8734

Description: A relationship that can be used for computation of rank. (Contributed by NM, 16-Sep-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
rankr1b.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
rankc2	|- ( E. x e. A ( rank ` x ) = ( rank ` U. A ) -> ( rank ` A ) = suc ( rank ` U. A ) )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem rankc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwuni 4474	. . . . 5 |- A C_ ~P U. A
2		rankr1b.1	. . . . . . . 8 |- A e. _V
3	2	uniex 6953	. . . . . . 7 |- U. A e. _V
4	3	pwex 4848	. . . . . 6 |- ~P U. A e. _V
5	4	rankss 8712	. . . . 5 |- ( A C_ ~P U. A -> ( rank ` A ) C_ ( rank ` ~P U. A ) )
6	1, 5	ax-mp 5	. . . 4 |- ( rank ` A ) C_ ( rank ` ~P U. A )
7	3	rankpw 8706	. . . 4 |- ( rank ` ~P U. A ) = suc ( rank ` U. A )
8	6, 7	sseqtri 3637	. . 3 |- ( rank ` A ) C_ suc ( rank ` U. A )
9	8	a1i 11	. 2 |- ( E. x e. A ( rank ` x ) = ( rank ` U. A ) -> ( rank ` A ) C_ suc ( rank ` U. A ) )
10	2	rankel 8702	. . . . 5 |- ( x e. A -> ( rank ` x ) e. ( rank ` A ) )
11		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( ( rank ` x ) = ( rank ` U. A ) -> ( ( rank ` x ) e. ( rank ` A ) <-> ( rank ` U. A ) e. ( rank ` A ) ) )
12	10, 11	syl5ibcom 235	. . . 4 |- ( x e. A -> ( ( rank ` x ) = ( rank ` U. A ) -> ( rank ` U. A ) e. ( rank ` A ) ) )
13	12	rexlimiv 3027	. . 3 |- ( E. x e. A ( rank ` x ) = ( rank ` U. A ) -> ( rank ` U. A ) e. ( rank ` A ) )
14		rankon 8658	. . . 4 |- ( rank ` U. A ) e. On
15		rankon 8658	. . . 4 |- ( rank ` A ) e. On
16	14, 15	onsucssi 7041	. . 3 |- ( ( rank ` U. A ) e. ( rank ` A ) <-> suc ( rank ` U. A ) C_ ( rank ` A ) )
17	13, 16	sylib 208	. 2 |- ( E. x e. A ( rank ` x ) = ( rank ` U. A ) -> suc ( rank ` U. A ) C_ ( rank ` A ) )
18	9, 17	eqssd 3620	1 |- ( E. x e. A ( rank ` x ) = ( rank ` U. A ) -> ( rank ` A ) = suc ( rank ` U. A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   suc csuc 5725   ` cfv 5888   rankcrnk 8626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-r1 8627  df-rank 8628

This theorem is referenced by: (None)