Theorem rankonidlem 8691

Description: Lemma for rankonid 8692. (Contributed by NM, 14-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.)

Assertion

Ref	Expression
rankonidlem	|- ( A e. dom R1 -> ( A e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` A ) = A ) )

Proof of Theorem rankonidlem

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1funlim 8629	. . . . 5 |- ( Fun R1 /\ Lim dom R1 )
2	1	simpri 478	. . . 4 |- Lim dom R1
3		limord 5784	. . . 4 |- ( Lim dom R1 -> Ord dom R1 )
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 |- Ord dom R1
5		ordelon 5747	. . 3 |- ( ( Ord dom R1 /\ A e. dom R1 ) -> A e. On )
6	4, 5	mpan 706	. 2 |- ( A e. dom R1 -> A e. On )
7		eleq1 2689	. . . 4 |- ( x = y -> ( x e. dom R1 <-> y e. dom R1 ) )
8		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( x = y -> ( x e. U. ( R1 " On ) <-> y e. U. ( R1 " On ) ) )
9		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( rank ` x ) = ( rank ` y ) )
10		id 22	. . . . . 6 |- ( x = y -> x = y )
11	9, 10	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( rank ` x ) = x <-> ( rank ` y ) = y ) )
12	8, 11	anbi12d 747	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( x e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` x ) = x ) <-> ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) )
13	7, 12	imbi12d 334	. . 3 |- ( x = y -> ( ( x e. dom R1 -> ( x e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` x ) = x ) ) <-> ( y e. dom R1 -> ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) ) )
14		eleq1 2689	. . . 4 |- ( x = A -> ( x e. dom R1 <-> A e. dom R1 ) )
15		eleq1 2689	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x e. U. ( R1 " On ) <-> A e. U. ( R1 " On ) ) )
16		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( rank ` x ) = ( rank ` A ) )
17		id 22	. . . . . 6 |- ( x = A -> x = A )
18	16, 17	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( rank ` x ) = x <-> ( rank ` A ) = A ) )
19	15, 18	anbi12d 747	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( x e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` x ) = x ) <-> ( A e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` A ) = A ) ) )
20	14, 19	imbi12d 334	. . 3 |- ( x = A -> ( ( x e. dom R1 -> ( x e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` x ) = x ) ) <-> ( A e. dom R1 -> ( A e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` A ) = A ) ) ) )
21		ordtr1 5767	. . . . . . . . . 10 |- ( Ord dom R1 -> ( ( y e. x /\ x e. dom R1 ) -> y e. dom R1 ) )
22	4, 21	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. x /\ x e. dom R1 ) -> y e. dom R1 )
23	22	ancoms 469	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) -> y e. dom R1 )
24		pm5.5 351	. . . . . . . 8 |- ( y e. dom R1 -> ( ( y e. dom R1 -> ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) <-> ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) -> ( ( y e. dom R1 -> ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) <-> ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) )
26	25	ralbidva 2985	. . . . . 6 |- ( x e. dom R1 -> ( A. y e. x ( y e. dom R1 -> ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) <-> A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) )
27		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) /\ ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> y e. x )
28		ordelon 5747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( Ord dom R1 /\ x e. dom R1 ) -> x e. On )
29	4, 28	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. dom R1 -> x e. On )
30	29	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) /\ ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> x e. On )
31		eloni 5733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. On -> Ord x )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) /\ ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> Ord x )
33		ordelsuc 7020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y e. x /\ Ord x ) -> ( y e. x <-> suc y C_ x ) )
34	27, 32, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) /\ ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> ( y e. x <-> suc y C_ x ) )
35	27, 34	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) /\ ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> suc y C_ x )
36	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) /\ ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> y e. dom R1 )
37		limsuc 7049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Lim dom R1 -> ( y e. dom R1 <-> suc y e. dom R1 ) )
38	2, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. dom R1 <-> suc y e. dom R1 )
39	36, 38	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) /\ ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> suc y e. dom R1 )
40		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) /\ ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> x e. dom R1 )
41		r1ord3g 8642	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( suc y e. dom R1 /\ x e. dom R1 ) -> ( suc y C_ x -> ( R1 ` suc y ) C_ ( R1 ` x ) ) )
42	39, 40, 41	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) /\ ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> ( suc y C_ x -> ( R1 ` suc y ) C_ ( R1 ` x ) ) )
43	35, 42	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) /\ ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> ( R1 ` suc y ) C_ ( R1 ` x ) )
44		rankidb 8663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. U. ( R1 " On ) -> y e. ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) )
45	44	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) /\ ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> y e. ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) )
46		suceq 5790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( rank ` y ) = y -> suc ( rank ` y ) = suc y )
47	46	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) /\ ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> suc ( rank ` y ) = suc y )
48	47	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) /\ ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> ( R1 ` suc ( rank ` y ) ) = ( R1 ` suc y ) )
49	45, 48	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) /\ ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> y e. ( R1 ` suc y ) )
50	43, 49	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) /\ ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> y e. ( R1 ` x ) )
51	50	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. dom R1 /\ y e. x ) -> ( ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) -> y e. ( R1 ` x ) ) )
52	51	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. dom R1 -> ( A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) -> A. y e. x y e. ( R1 ` x ) ) )
53	52	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. dom R1 /\ A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> A. y e. x y e. ( R1 ` x ) )
54		dfss3 3592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x C_ ( R1 ` x ) <-> A. y e. x y e. ( R1 ` x ) )
55	53, 54	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. dom R1 /\ A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> x C_ ( R1 ` x ) )
56		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
57	56	elpw 4164	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ~P ( R1 ` x ) <-> x C_ ( R1 ` x ) )
58	55, 57	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. dom R1 /\ A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> x e. ~P ( R1 ` x ) )
59		r1sucg 8632	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. dom R1 -> ( R1 ` suc x ) = ~P ( R1 ` x ) )
60	59	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. dom R1 /\ A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> ( R1 ` suc x ) = ~P ( R1 ` x ) )
61	58, 60	eleqtrrd 2704	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. dom R1 /\ A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> x e. ( R1 ` suc x ) )
62		r1elwf 8659	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( R1 ` suc x ) -> x e. U. ( R1 " On ) )
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. dom R1 /\ A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> x e. U. ( R1 " On ) )
64		rankval3b 8689	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. U. ( R1 " On ) -> ( rank ` x ) = |^| { z e. On | A. y e. x ( rank ` y ) e. z } )
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. dom R1 /\ A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> ( rank ` x ) = |^| { z e. On | A. y e. x ( rank ` y ) e. z } )
66		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( rank ` y ) = y -> ( ( rank ` y ) e. z <-> y e. z ) )
67	66	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) -> ( ( rank ` y ) e. z <-> y e. z ) )
68	67	ralimi 2952	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) -> A. y e. x ( ( rank ` y ) e. z <-> y e. z ) )
69		ralbi 3068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. y e. x ( ( rank ` y ) e. z <-> y e. z ) -> ( A. y e. x ( rank ` y ) e. z <-> A. y e. x y e. z ) )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) -> ( A. y e. x ( rank ` y ) e. z <-> A. y e. x y e. z ) )
71		dfss3 3592	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x C_ z <-> A. y e. x y e. z )
72	70, 71	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) -> ( A. y e. x ( rank ` y ) e. z <-> x C_ z ) )
73	72	rabbidv 3189	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) -> { z e. On | A. y e. x ( rank ` y ) e. z } = { z e. On | x C_ z } )
74	73	inteqd 4480	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) -> |^| { z e. On | A. y e. x ( rank ` y ) e. z } = |^| { z e. On | x C_ z } )
75	74	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. dom R1 /\ A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> |^| { z e. On | A. y e. x ( rank ` y ) e. z } = |^| { z e. On | x C_ z } )
76	29	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. dom R1 /\ A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> x e. On )
77		intmin 4497	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. On -> |^| { z e. On | x C_ z } = x )
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. dom R1 /\ A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> |^| { z e. On | x C_ z } = x )
79	65, 75, 78	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. dom R1 /\ A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> ( rank ` x ) = x )
80	63, 79	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( x e. dom R1 /\ A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> ( x e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` x ) = x ) )
81	80	ex 450	. . . . . 6 |- ( x e. dom R1 -> ( A. y e. x ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) -> ( x e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` x ) = x ) ) )
82	26, 81	sylbid 230	. . . . 5 |- ( x e. dom R1 -> ( A. y e. x ( y e. dom R1 -> ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> ( x e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` x ) = x ) ) )
83	82	com12 32	. . . 4 |- ( A. y e. x ( y e. dom R1 -> ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> ( x e. dom R1 -> ( x e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` x ) = x ) ) )
84	83	a1i 11	. . 3 |- ( x e. On -> ( A. y e. x ( y e. dom R1 -> ( y e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` y ) = y ) ) -> ( x e. dom R1 -> ( x e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` x ) = x ) ) ) )
85	13, 20, 84	tfis3 7057	. 2 |- ( A e. On -> ( A e. dom R1 -> ( A e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` A ) = A ) ) )
86	6, 85	mpcom 38	1 |- ( A e. dom R1 -> ( A e. U. ( R1 " On ) /\ ( rank ` A ) = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   |^|cint 4475   dom cdm 5114   "cima 5117   Ord word 5722   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   suc csuc 5725   Fun wfun 5882   ` cfv 5888   R1cr1 8625   rankcrnk 8626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-r1 8627  df-rank 8628

This theorem is referenced by:  rankonid  8692  onwf  8693  onssr1  8694