Theorem rankval3b 8689

Description: The value of the rank function expressed recursively: the rank of a set is the smallest ordinal number containing the ranks of all members of the set. Proposition 9.17 of [TakeutiZaring] p. 79. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rankval3b	|- ( A e. U. ( R1 " On ) -> ( rank ` A ) = |^| { x e. On | A. y e. A ( rank ` y ) e. x } )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem rankval3b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankon 8658	. . . . . . . . . 10 |- ( rank ` A ) e. On
2		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ ( x e. On /\ A. y e. A ( rank ` y ) e. x ) ) -> x e. On )
3		ontri1 5757	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( rank ` A ) e. On /\ x e. On ) -> ( ( rank ` A ) C_ x <-> -. x e. ( rank ` A ) ) )
4	1, 2, 3	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ ( x e. On /\ A. y e. A ( rank ` y ) e. x ) ) -> ( ( rank ` A ) C_ x <-> -. x e. ( rank ` A ) ) )
5	4	con2bid 344	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ ( x e. On /\ A. y e. A ( rank ` y ) e. x ) ) -> ( x e. ( rank ` A ) <-> -. ( rank ` A ) C_ x ) )
6		r1elssi 8668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. U. ( R1 " On ) -> A C_ U. ( R1 " On ) )
7	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ x e. ( rank ` A ) ) -> A C_ U. ( R1 " On ) )
8	7	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ x e. ( rank ` A ) ) /\ y e. A ) -> y e. U. ( R1 " On ) )
9		rankdmr1 8664	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( rank ` A ) e. dom R1
10		r1funlim 8629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Fun R1 /\ Lim dom R1 )
11	10	simpri 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- Lim dom R1
12		limord 5784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Lim dom R1 -> Ord dom R1 )
13		ordtr1 5767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Ord dom R1 -> ( ( x e. ( rank ` A ) /\ ( rank ` A ) e. dom R1 ) -> x e. dom R1 ) )
14	11, 12, 13	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. ( rank ` A ) /\ ( rank ` A ) e. dom R1 ) -> x e. dom R1 )
15	9, 14	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( rank ` A ) -> x e. dom R1 )
16	15	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ x e. ( rank ` A ) ) /\ y e. A ) -> x e. dom R1 )
17		rankr1ag 8665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. U. ( R1 " On ) /\ x e. dom R1 ) -> ( y e. ( R1 ` x ) <-> ( rank ` y ) e. x ) )
18	8, 16, 17	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ x e. ( rank ` A ) ) /\ y e. A ) -> ( y e. ( R1 ` x ) <-> ( rank ` y ) e. x ) )
19	18	ralbidva 2985	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ x e. ( rank ` A ) ) -> ( A. y e. A y e. ( R1 ` x ) <-> A. y e. A ( rank ` y ) e. x ) )
20	19	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ x e. ( rank ` A ) ) /\ A. y e. A ( rank ` y ) e. x ) -> A. y e. A y e. ( R1 ` x ) )
21	20	an32s 846	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ A. y e. A ( rank ` y ) e. x ) /\ x e. ( rank ` A ) ) -> A. y e. A y e. ( R1 ` x ) )
22		dfss3 3592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ ( R1 ` x ) <-> A. y e. A y e. ( R1 ` x ) )
23	21, 22	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ A. y e. A ( rank ` y ) e. x ) /\ x e. ( rank ` A ) ) -> A C_ ( R1 ` x ) )
24		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ A. y e. A ( rank ` y ) e. x ) /\ x e. ( rank ` A ) ) -> A e. U. ( R1 " On ) )
25	15	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ A. y e. A ( rank ` y ) e. x ) /\ x e. ( rank ` A ) ) -> x e. dom R1 )
26		rankr1bg 8666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ x e. dom R1 ) -> ( A C_ ( R1 ` x ) <-> ( rank ` A ) C_ x ) )
27	24, 25, 26	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ A. y e. A ( rank ` y ) e. x ) /\ x e. ( rank ` A ) ) -> ( A C_ ( R1 ` x ) <-> ( rank ` A ) C_ x ) )
28	23, 27	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ A. y e. A ( rank ` y ) e. x ) /\ x e. ( rank ` A ) ) -> ( rank ` A ) C_ x )
29	28	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ A. y e. A ( rank ` y ) e. x ) -> ( x e. ( rank ` A ) -> ( rank ` A ) C_ x ) )
30	29	adantrl 752	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ ( x e. On /\ A. y e. A ( rank ` y ) e. x ) ) -> ( x e. ( rank ` A ) -> ( rank ` A ) C_ x ) )
31	5, 30	sylbird 250	. . . . . . 7 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ ( x e. On /\ A. y e. A ( rank ` y ) e. x ) ) -> ( -. ( rank ` A ) C_ x -> ( rank ` A ) C_ x ) )
32	31	pm2.18d 124	. . . . . 6 |- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ ( x e. On /\ A. y e. A ( rank ` y ) e. x ) ) -> ( rank ` A ) C_ x )
33	32	ex 450	. . . . 5 |- ( A e. U. ( R1 " On ) -> ( ( x e. On /\ A. y e. A ( rank ` y ) e. x ) -> ( rank ` A ) C_ x ) )
34	33	alrimiv 1855	. . . 4 |- ( A e. U. ( R1 " On ) -> A. x ( ( x e. On /\ A. y e. A ( rank ` y ) e. x ) -> ( rank ` A ) C_ x ) )
35		ssintab 4494	. . . 4 |- ( ( rank ` A ) C_ |^| { x | ( x e. On /\ A. y e. A ( rank ` y ) e. x ) } <-> A. x ( ( x e. On /\ A. y e. A ( rank ` y ) e. x ) -> ( rank ` A ) C_ x ) )
36	34, 35	sylibr 224	. . 3 |- ( A e. U. ( R1 " On ) -> ( rank ` A ) C_ |^| { x | ( x e. On /\ A. y e. A ( rank ` y ) e. x ) } )
37		df-rab 2921	. . . 4 |- { x e. On | A. y e. A ( rank ` y ) e. x } = { x | ( x e. On /\ A. y e. A ( rank ` y ) e. x ) }
38	37	inteqi 4479	. . 3 |- |^| { x e. On | A. y e. A ( rank ` y ) e. x } = |^| { x | ( x e. On /\ A. y e. A ( rank ` y ) e. x ) }
39	36, 38	syl6sseqr 3652	. 2 |- ( A e. U. ( R1 " On ) -> ( rank ` A ) C_ |^| { x e. On | A. y e. A ( rank ` y ) e. x } )
40		rankelb 8687	. . . 4 |- ( A e. U. ( R1 " On ) -> ( y e. A -> ( rank ` y ) e. ( rank ` A ) ) )
41	40	ralrimiv 2965	. . 3 |- ( A e. U. ( R1 " On ) -> A. y e. A ( rank ` y ) e. ( rank ` A ) )
42		eleq2 2690	. . . . 5 |- ( x = ( rank ` A ) -> ( ( rank ` y ) e. x <-> ( rank ` y ) e. ( rank ` A ) ) )
43	42	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( x = ( rank ` A ) -> ( A. y e. A ( rank ` y ) e. x <-> A. y e. A ( rank ` y ) e. ( rank ` A ) ) )
44	43	onintss 5775	. . 3 |- ( ( rank ` A ) e. On -> ( A. y e. A ( rank ` y ) e. ( rank ` A ) -> |^| { x e. On | A. y e. A ( rank ` y ) e. x } C_ ( rank ` A ) ) )
45	1, 41, 44	mpsyl 68	. 2 |- ( A e. U. ( R1 " On ) -> |^| { x e. On | A. y e. A ( rank ` y ) e. x } C_ ( rank ` A ) )
46	39, 45	eqssd 3620	1 |- ( A e. U. ( R1 " On ) -> ( rank ` A ) = |^| { x e. On | A. y e. A ( rank ` y ) e. x } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   {crab 2916   C_ wss 3574   U.cuni 4436   |^|cint 4475   dom cdm 5114   "cima 5117   Ord word 5722   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   Fun wfun 5882   ` cfv 5888   R1cr1 8625   rankcrnk 8626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-r1 8627  df-rank 8628

This theorem is referenced by:  ranksnb  8690  rankonidlem  8691  rankval3  8703  rankunb  8713  rankuni2b  8716  tcrank  8747