Theorem dchrptlem2 24990

Description: Lemma for dchrpt 24992. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrpt.g	|- G = (DChr ` N )
dchrpt.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
dchrpt.d	|- D = ( Base ` G )
dchrpt.b	|- B = ( Base ` Z )
dchrpt.1	|- .1. = ( 1r ` Z )
dchrpt.n	|- ( ph -> N e. NN )
dchrpt.n1	|- ( ph -> A =/= .1. )
dchrpt.u	|- U = (Unit ` Z )
dchrpt.h	|- H = ( (mulGrp ` Z ) ↾s U )
dchrpt.m	|- .x. = (.g ` H )
dchrpt.s	|- S = ( k e. dom W |-> ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. ( W ` k ) ) ) )
dchrpt.au	|- ( ph -> A e. U )
dchrpt.w	|- ( ph -> W e. Word U )
dchrpt.2	|- ( ph -> H dom DProd S )
dchrpt.3	|- ( ph -> ( H DProd S ) = U )
dchrpt.p	|- P = ( HdProj S )
dchrpt.o	|- O = ( od ` H )
dchrpt.t	|- T = ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) )
dchrpt.i	|- ( ph -> I e. dom W )
dchrpt.4	|- ( ph -> ( ( P ` I ) ` A ) =/= .1. )
dchrpt.5	|- X = ( u e. U |-> ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dchrptlem2	|- ( ph -> E. x e. D ( x ` A ) =/= 1 )

Distinct variable groups:   h, k, m, n, x, .1.   u, h, A, k, m, n, x   h, I, k, m, u   x, B   x, G   h, H, k, m, n, u, x   x, N   h, W, k, m, n, u, x   .x. , h, k, m, n, u, x   x, X   P, h, m, u   S, h, k, m, n, u, x   h, Z, k, m, n, u, x   x, D   ph, h, k, m, n, x   T, h, m, u   U, h, m, u, x

Allowed substitution hints:   ph( u)   B( u, h, k, m, n)   D( u, h, k, m, n)   P( x, k, n)   T( x, k, n)   U( k, n)   .1. ( u)   G( u, h, k, m, n)   I( x, n)   N( u, h, k, m, n)   O( x, u, h, k, m, n)   X( u, h, k, m, n)

Proof of Theorem dchrptlem2

Dummy variables a b v y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrpt.g	. . 3 |- G = (DChr ` N )
2		dchrpt.z	. . 3 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
3		dchrpt.b	. . 3 |- B = ( Base ` Z )
4		dchrpt.u	. . 3 |- U = (Unit ` Z )
5		dchrpt.n	. . 3 |- ( ph -> N e. NN )
6		dchrpt.d	. . 3 |- D = ( Base ` G )
7		fveq2 6191	. . 3 |- ( v = x -> ( X ` v ) = ( X ` x ) )
8		fveq2 6191	. . 3 |- ( v = y -> ( X ` v ) = ( X ` y ) )
9		fveq2 6191	. . 3 |- ( v = ( x ( .r ` Z ) y ) -> ( X ` v ) = ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) )
10		fveq2 6191	. . 3 |- ( v = ( 1r ` Z ) -> ( X ` v ) = ( X ` ( 1r ` Z ) ) )
11		dchrpt.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> H dom DProd S )
12		zex 11386	. . . . . . . . . . . . 13 |- ZZ e. _V
13	12	mptex 6486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ |-> ( n .x. ( W ` k ) ) ) e. _V
14	13	rnex 7100	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. ( W ` k ) ) ) e. _V
15		dchrpt.s	. . . . . . . . . . 11 |- S = ( k e. dom W |-> ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. ( W ` k ) ) ) )
16	14, 15	dmmpti 6023	. . . . . . . . . 10 |- dom S = dom W
17	16	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom S = dom W )
18		dchrpt.p	. . . . . . . . 9 |- P = ( HdProj S )
19		dchrpt.i	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> I e. dom W )
20	11, 17, 18, 19	dpjf 18456	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P ` I ) : ( H DProd S ) --> ( S ` I ) )
21		dchrpt.3	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( H DProd S ) = U )
22	21	feq2d 6031	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( P ` I ) : ( H DProd S ) --> ( S ` I ) <-> ( P ` I ) : U --> ( S ` I ) ) )
23	20, 22	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( P ` I ) : U --> ( S ` I ) )
24	23	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ v e. U ) -> ( ( P ` I ) ` v ) e. ( S ` I ) )
25	19	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. U ) -> I e. dom W )
26		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = a -> ( n .x. ( W ` k ) ) = ( a .x. ( W ` k ) ) )
27	26	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ZZ |-> ( n .x. ( W ` k ) ) ) = ( a e. ZZ |-> ( a .x. ( W ` k ) ) )
28		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = I -> ( W ` k ) = ( W ` I ) )
29	28	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = I -> ( a .x. ( W ` k ) ) = ( a .x. ( W ` I ) ) )
30	29	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . 10 |- ( k = I -> ( a e. ZZ |-> ( a .x. ( W ` k ) ) ) = ( a e. ZZ |-> ( a .x. ( W ` I ) ) ) )
31	27, 30	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( k = I -> ( n e. ZZ |-> ( n .x. ( W ` k ) ) ) = ( a e. ZZ |-> ( a .x. ( W ` I ) ) ) )
32	31	rneqd 5353	. . . . . . . 8 |- ( k = I -> ran ( n e. ZZ |-> ( n .x. ( W ` k ) ) ) = ran ( a e. ZZ |-> ( a .x. ( W ` I ) ) ) )
33	32, 15, 14	fvmpt3i 6287	. . . . . . 7 |- ( I e. dom W -> ( S ` I ) = ran ( a e. ZZ |-> ( a .x. ( W ` I ) ) ) )
34	25, 33	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ v e. U ) -> ( S ` I ) = ran ( a e. ZZ |-> ( a .x. ( W ` I ) ) ) )
35	24, 34	eleqtrd 2703	. . . . 5 |- ( ( ph /\ v e. U ) -> ( ( P ` I ) ` v ) e. ran ( a e. ZZ |-> ( a .x. ( W ` I ) ) ) )
36		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( a e. ZZ |-> ( a .x. ( W ` I ) ) ) = ( a e. ZZ |-> ( a .x. ( W ` I ) ) )
37		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( a .x. ( W ` I ) ) e. _V
38	36, 37	elrnmpti 5376	. . . . 5 |- ( ( ( P ` I ) ` v ) e. ran ( a e. ZZ |-> ( a .x. ( W ` I ) ) ) <-> E. a e. ZZ ( ( P ` I ) ` v ) = ( a .x. ( W ` I ) ) )
39	35, 38	sylib 208	. . . 4 |- ( ( ph /\ v e. U ) -> E. a e. ZZ ( ( P ` I ) ` v ) = ( a .x. ( W ` I ) ) )
40		dchrpt.1	. . . . . 6 |- .1. = ( 1r ` Z )
41		dchrpt.n1	. . . . . 6 |- ( ph -> A =/= .1. )
42		dchrpt.h	. . . . . 6 |- H = ( (mulGrp ` Z ) ↾s U )
43		dchrpt.m	. . . . . 6 |- .x. = (.g ` H )
44		dchrpt.au	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. U )
45		dchrpt.w	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. Word U )
46		dchrpt.o	. . . . . 6 |- O = ( od ` H )
47		dchrpt.t	. . . . . 6 |- T = ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) )
48		dchrpt.4	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( P ` I ) ` A ) =/= .1. )
49		dchrpt.5	. . . . . 6 |- X = ( u e. U |-> ( iota h E. m e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` u ) = ( m .x. ( W ` I ) ) /\ h = ( T ^ m ) ) ) )
50	1, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49	dchrptlem1 24989	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ v e. U ) /\ ( a e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` v ) = ( a .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( X ` v ) = ( T ^ a ) )
51		neg1cn 11124	. . . . . . . . 9 |- -u 1 e. CC
52		2re 11090	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
53	5	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. NN0 )
54	2	zncrng 19893	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> Z e. CRing )
55		crngring 18558	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Z e. CRing -> Z e. Ring )
56	53, 54, 55	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Z e. Ring )
57	4, 42	unitgrp 18667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Z e. Ring -> H e. Grp )
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> H e. Grp )
59	2, 3	znfi 19908	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> B e. Fin )
60	5, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. Fin )
61	3, 4	unitss 18660	. . . . . . . . . . . . 13 |- U C_ B
62		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. Fin /\ U C_ B ) -> U e. Fin )
63	60, 61, 62	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U e. Fin )
64		wrdf 13310	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( W e. Word U -> W : ( 0..^ ( # ` W ) ) --> U )
65	45, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> W : ( 0..^ ( # ` W ) ) --> U )
66		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( W : ( 0..^ ( # ` W ) ) --> U -> dom W = ( 0..^ ( # ` W ) ) )
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> dom W = ( 0..^ ( # ` W ) ) )
68	19, 67	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> I e. ( 0..^ ( # ` W ) ) )
69	65, 68	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( W ` I ) e. U )
70	4, 42	unitgrpbas 18666	. . . . . . . . . . . . 13 |- U = ( Base ` H )
71	70, 46	odcl2 17982	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( H e. Grp /\ U e. Fin /\ ( W ` I ) e. U ) -> ( O ` ( W ` I ) ) e. NN )
72	58, 63, 69, 71	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( O ` ( W ` I ) ) e. NN )
73		nndivre 11056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. RR /\ ( O ` ( W ` I ) ) e. NN ) -> ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) e. RR )
74	52, 72, 73	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) e. RR )
75	74	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) e. CC )
76		cxpcl 24420	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u 1 e. CC /\ ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) e. CC ) -> ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) e. CC )
77	51, 75, 76	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) e. CC )
78	47, 77	syl5eqel 2705	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. CC )
79	78	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ v e. U ) /\ ( a e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` v ) = ( a .x. ( W ` I ) ) ) ) -> T e. CC )
80	51	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u 1 e. CC )
81		neg1ne0 11126	. . . . . . . . . 10 |- -u 1 =/= 0
82	81	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u 1 =/= 0 )
83	80, 82, 75	cxpne0d 24459	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) =/= 0 )
84	47	neeq1i 2858	. . . . . . . 8 |- ( T =/= 0 <-> ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) =/= 0 )
85	83, 84	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ph -> T =/= 0 )
86	85	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ v e. U ) /\ ( a e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` v ) = ( a .x. ( W ` I ) ) ) ) -> T =/= 0 )
87		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ v e. U ) /\ ( a e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` v ) = ( a .x. ( W ` I ) ) ) ) -> a e. ZZ )
88	79, 86, 87	expclzd 13013	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ v e. U ) /\ ( a e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` v ) = ( a .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( T ^ a ) e. CC )
89	50, 88	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ v e. U ) /\ ( a e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` v ) = ( a .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( X ` v ) e. CC )
90	39, 89	rexlimddv 3035	. . 3 |- ( ( ph /\ v e. U ) -> ( X ` v ) e. CC )
91		simprl 794	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> x e. U )
92	39	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ph -> A. v e. U E. a e. ZZ ( ( P ` I ) ` v ) = ( a .x. ( W ` I ) ) )
93	92	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> A. v e. U E. a e. ZZ ( ( P ` I ) ` v ) = ( a .x. ( W ` I ) ) )
94		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( v = x -> ( ( P ` I ) ` v ) = ( ( P ` I ) ` x ) )
95	94	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( v = x -> ( ( ( P ` I ) ` v ) = ( a .x. ( W ` I ) ) <-> ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) ) )
96	95	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( v = x -> ( E. a e. ZZ ( ( P ` I ) ` v ) = ( a .x. ( W ` I ) ) <-> E. a e. ZZ ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) ) )
97	96	rspcv 3305	. . . . 5 |- ( x e. U -> ( A. v e. U E. a e. ZZ ( ( P ` I ) ` v ) = ( a .x. ( W ` I ) ) -> E. a e. ZZ ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) ) )
98	91, 93, 97	sylc 65	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> E. a e. ZZ ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) )
99		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> y e. U )
100		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( v = y -> ( ( P ` I ) ` v ) = ( ( P ` I ) ` y ) )
101	100	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( v = y -> ( ( ( P ` I ) ` v ) = ( a .x. ( W ` I ) ) <-> ( ( P ` I ) ` y ) = ( a .x. ( W ` I ) ) ) )
102	101	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( v = y -> ( E. a e. ZZ ( ( P ` I ) ` v ) = ( a .x. ( W ` I ) ) <-> E. a e. ZZ ( ( P ` I ) ` y ) = ( a .x. ( W ` I ) ) ) )
103		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( a = b -> ( a .x. ( W ` I ) ) = ( b .x. ( W ` I ) ) )
104	103	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( a = b -> ( ( ( P ` I ) ` y ) = ( a .x. ( W ` I ) ) <-> ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) )
105	104	cbvrexv 3172	. . . . . . 7 |- ( E. a e. ZZ ( ( P ` I ) ` y ) = ( a .x. ( W ` I ) ) <-> E. b e. ZZ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) )
106	102, 105	syl6bb 276	. . . . . 6 |- ( v = y -> ( E. a e. ZZ ( ( P ` I ) ` v ) = ( a .x. ( W ` I ) ) <-> E. b e. ZZ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) )
107	106	rspcv 3305	. . . . 5 |- ( y e. U -> ( A. v e. U E. a e. ZZ ( ( P ` I ) ` v ) = ( a .x. ( W ` I ) ) -> E. b e. ZZ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) )
108	99, 93, 107	sylc 65	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> E. b e. ZZ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) )
109		reeanv 3107	. . . . 5 |- ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) /\ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) <-> ( E. a e. ZZ ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) /\ E. b e. ZZ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) )
110	78	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) /\ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) ) ) -> T e. CC )
111	85	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) /\ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) ) ) -> T =/= 0 )
112		simprll 802	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) /\ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) ) ) -> a e. ZZ )
113		simprlr 803	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) /\ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) ) ) -> b e. ZZ )
114		expaddz 12904	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T e. CC /\ T =/= 0 ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( T ^ ( a + b ) ) = ( ( T ^ a ) x. ( T ^ b ) ) )
115	110, 111, 112, 113, 114	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) /\ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) ) ) -> ( T ^ ( a + b ) ) = ( ( T ^ a ) x. ( T ^ b ) ) )
116		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) /\ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) ) ) -> ph )
117	56	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) /\ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) ) ) -> Z e. Ring )
118	91	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) /\ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) ) ) -> x e. U )
119	99	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) /\ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) ) ) -> y e. U )
120		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( .r ` Z ) = ( .r ` Z )
121	4, 120	unitmulcl 18664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Z e. Ring /\ x e. U /\ y e. U ) -> ( x ( .r ` Z ) y ) e. U )
122	117, 118, 119, 121	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) /\ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) ) ) -> ( x ( .r ` Z ) y ) e. U )
123	112, 113	zaddcld 11486	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) /\ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) ) ) -> ( a + b ) e. ZZ )
124		simprrl 804	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) /\ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) ) ) -> ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) )
125		simprrr 805	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) /\ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) ) ) -> ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) )
126	124, 125	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) /\ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) ) ) -> ( ( ( P ` I ) ` x ) ( .r ` Z ) ( ( P ` I ) ` y ) ) = ( ( a .x. ( W ` I ) ) ( .r ` Z ) ( b .x. ( W ` I ) ) ) )
127	11, 17, 18, 19	dpjghm 18462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( P ` I ) e. ( ( H ↾s ( H DProd S ) ) GrpHom H ) )
128	21	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( H ↾s ( H DProd S ) ) = ( H ↾s U ) )
129		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( (mulGrp ` Z ) ↾s U ) e. _V
130	42, 129	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- H e. _V
131	70	ressid 15935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( H e. _V -> ( H ↾s U ) = H )
132	130, 131	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( H ↾s U ) = H
133	128, 132	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( H ↾s ( H DProd S ) ) = H )
134	133	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( H ↾s ( H DProd S ) ) GrpHom H ) = ( H GrpHom H ) )
135	127, 134	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P ` I ) e. ( H GrpHom H ) )
136	135	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) /\ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) ) ) -> ( P ` I ) e. ( H GrpHom H ) )
137		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Unit ` Z ) e. _V
138	4, 137	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . 13 |- U e. _V
139		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (mulGrp ` Z ) = (mulGrp ` Z )
140	139, 120	mgpplusg 18493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( .r ` Z ) = ( +g ` (mulGrp ` Z ) )
141	42, 140	ressplusg 15993	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. _V -> ( .r ` Z ) = ( +g ` H ) )
142	138, 141	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( .r ` Z ) = ( +g ` H )
143	70, 142, 142	ghmlin 17665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P ` I ) e. ( H GrpHom H ) /\ x e. U /\ y e. U ) -> ( ( P ` I ) ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( ( P ` I ) ` x ) ( .r ` Z ) ( ( P ` I ) ` y ) ) )
144	136, 118, 119, 143	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) /\ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) ) ) -> ( ( P ` I ) ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( ( P ` I ) ` x ) ( .r ` Z ) ( ( P ` I ) ` y ) ) )
145	58	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) /\ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) ) ) -> H e. Grp )
146	69	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) /\ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) ) ) -> ( W ` I ) e. U )
147	70, 43, 142	mulgdir 17573	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H e. Grp /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ /\ ( W ` I ) e. U ) ) -> ( ( a + b ) .x. ( W ` I ) ) = ( ( a .x. ( W ` I ) ) ( .r ` Z ) ( b .x. ( W ` I ) ) ) )
148	145, 112, 113, 146, 147	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) /\ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) ) ) -> ( ( a + b ) .x. ( W ` I ) ) = ( ( a .x. ( W ` I ) ) ( .r ` Z ) ( b .x. ( W ` I ) ) ) )
149	126, 144, 148	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) /\ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) ) ) -> ( ( P ` I ) ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( a + b ) .x. ( W ` I ) ) )
150	1, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49	dchrptlem1 24989	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x ( .r ` Z ) y ) e. U ) /\ ( ( a + b ) e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( a + b ) .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( T ^ ( a + b ) ) )
151	116, 122, 123, 149, 150	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) /\ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) ) ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( T ^ ( a + b ) ) )
152	1, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49	dchrptlem1 24989	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. U ) /\ ( a e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( X ` x ) = ( T ^ a ) )
153	116, 118, 112, 124, 152	syl22anc 1327	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) /\ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) ) ) -> ( X ` x ) = ( T ^ a ) )
154	1, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49	dchrptlem1 24989	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. U ) /\ ( b e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( X ` y ) = ( T ^ b ) )
155	116, 119, 113, 125, 154	syl22anc 1327	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) /\ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) ) ) -> ( X ` y ) = ( T ^ b ) )
156	153, 155	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) /\ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) ) ) -> ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) = ( ( T ^ a ) x. ( T ^ b ) ) )
157	115, 151, 156	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) /\ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) ) ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) )
158	157	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) /\ ( a e. ZZ /\ b e. ZZ ) ) -> ( ( ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) /\ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) )
159	158	rexlimdvva 3038	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( E. a e. ZZ E. b e. ZZ ( ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) /\ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) )
160	109, 159	syl5bir 233	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( ( E. a e. ZZ ( ( P ` I ) ` x ) = ( a .x. ( W ` I ) ) /\ E. b e. ZZ ( ( P ` I ) ` y ) = ( b .x. ( W ` I ) ) ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) ) )
161	98, 108, 160	mp2and 715	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. U /\ y e. U ) ) -> ( X ` ( x ( .r ` Z ) y ) ) = ( ( X ` x ) x. ( X ` y ) ) )
162		id 22	. . . . 5 |- ( ph -> ph )
163		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 1r ` Z ) = ( 1r ` Z )
164	4, 163	1unit 18658	. . . . . 6 |- ( Z e. Ring -> ( 1r ` Z ) e. U )
165	56, 164	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1r ` Z ) e. U )
166		0zd 11389	. . . . 5 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
167		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` H ) = ( 0g ` H )
168	167, 167	ghmid 17666	. . . . . . 7 |- ( ( P ` I ) e. ( H GrpHom H ) -> ( ( P ` I ) ` ( 0g ` H ) ) = ( 0g ` H ) )
169	135, 168	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( P ` I ) ` ( 0g ` H ) ) = ( 0g ` H ) )
170	4, 42, 163	unitgrpid 18669	. . . . . . . 8 |- ( Z e. Ring -> ( 1r ` Z ) = ( 0g ` H ) )
171	56, 170	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1r ` Z ) = ( 0g ` H ) )
172	171	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( P ` I ) ` ( 1r ` Z ) ) = ( ( P ` I ) ` ( 0g ` H ) ) )
173	70, 167, 43	mulg0 17546	. . . . . . 7 |- ( ( W ` I ) e. U -> ( 0 .x. ( W ` I ) ) = ( 0g ` H ) )
174	69, 173	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 .x. ( W ` I ) ) = ( 0g ` H ) )
175	169, 172, 174	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( P ` I ) ` ( 1r ` Z ) ) = ( 0 .x. ( W ` I ) ) )
176	1, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49	dchrptlem1 24989	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( 1r ` Z ) e. U ) /\ ( 0 e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` ( 1r ` Z ) ) = ( 0 .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( X ` ( 1r ` Z ) ) = ( T ^ 0 ) )
177	162, 165, 166, 175, 176	syl22anc 1327	. . . 4 |- ( ph -> ( X ` ( 1r ` Z ) ) = ( T ^ 0 ) )
178	78	exp0d 13002	. . . 4 |- ( ph -> ( T ^ 0 ) = 1 )
179	177, 178	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> ( X ` ( 1r ` Z ) ) = 1 )
180	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 90, 161, 179	dchrelbasd 24964	. 2 |- ( ph -> ( v e. B |-> if ( v e. U , ( X ` v ) , 0 ) ) e. D )
181	61, 44	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ph -> A e. B )
182		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( v = A -> ( v e. U <-> A e. U ) )
183		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( v = A -> ( X ` v ) = ( X ` A ) )
184	182, 183	ifbieq1d 4109	. . . . . 6 |- ( v = A -> if ( v e. U , ( X ` v ) , 0 ) = if ( A e. U , ( X ` A ) , 0 ) )
185		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( v e. B |-> if ( v e. U , ( X ` v ) , 0 ) ) = ( v e. B |-> if ( v e. U , ( X ` v ) , 0 ) )
186		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( X ` v ) e. _V
187		c0ex 10034	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
188	186, 187	ifex 4156	. . . . . 6 |- if ( v e. U , ( X ` v ) , 0 ) e. _V
189	184, 185, 188	fvmpt3i 6287	. . . . 5 |- ( A e. B -> ( ( v e. B |-> if ( v e. U , ( X ` v ) , 0 ) ) ` A ) = if ( A e. U , ( X ` A ) , 0 ) )
190	181, 189	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ( v e. B |-> if ( v e. U , ( X ` v ) , 0 ) ) ` A ) = if ( A e. U , ( X ` A ) , 0 ) )
191	44	iftrued 4094	. . . 4 |- ( ph -> if ( A e. U , ( X ` A ) , 0 ) = ( X ` A ) )
192	190, 191	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> ( ( v e. B |-> if ( v e. U , ( X ` v ) , 0 ) ) ` A ) = ( X ` A ) )
193		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( v = A -> ( ( P ` I ) ` v ) = ( ( P ` I ) ` A ) )
194	193	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( v = A -> ( ( ( P ` I ) ` v ) = ( a .x. ( W ` I ) ) <-> ( ( P ` I ) ` A ) = ( a .x. ( W ` I ) ) ) )
195	194	rexbidv 3052	. . . . . 6 |- ( v = A -> ( E. a e. ZZ ( ( P ` I ) ` v ) = ( a .x. ( W ` I ) ) <-> E. a e. ZZ ( ( P ` I ) ` A ) = ( a .x. ( W ` I ) ) ) )
196	195	rspcv 3305	. . . . 5 |- ( A e. U -> ( A. v e. U E. a e. ZZ ( ( P ` I ) ` v ) = ( a .x. ( W ` I ) ) -> E. a e. ZZ ( ( P ` I ) ` A ) = ( a .x. ( W ` I ) ) ) )
197	44, 92, 196	sylc 65	. . . 4 |- ( ph -> E. a e. ZZ ( ( P ` I ) ` A ) = ( a .x. ( W ` I ) ) )
198	1, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49	dchrptlem1 24989	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( a e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` A ) = ( a .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( X ` A ) = ( T ^ a ) )
199	47	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 |- ( T ^ a ) = ( ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) ^ a )
200	198, 199	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( a e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` A ) = ( a .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( X ` A ) = ( ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) ^ a ) )
201	48	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( a e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` A ) = ( a .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( ( P ` I ) ` A ) =/= .1. )
202	58	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( a e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` A ) = ( a .x. ( W ` I ) ) ) ) -> H e. Grp )
203	69	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( a e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` A ) = ( a .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( W ` I ) e. U )
204		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( a e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` A ) = ( a .x. ( W ` I ) ) ) ) -> a e. ZZ )
205	70, 46, 43, 167	oddvds 17966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H e. Grp /\ ( W ` I ) e. U /\ a e. ZZ ) -> ( ( O ` ( W ` I ) ) || a <-> ( a .x. ( W ` I ) ) = ( 0g ` H ) ) )
206	202, 203, 204, 205	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( a e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` A ) = ( a .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( ( O ` ( W ` I ) ) || a <-> ( a .x. ( W ` I ) ) = ( 0g ` H ) ) )
207	72	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( a e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` A ) = ( a .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( O ` ( W ` I ) ) e. NN )
208		root1eq1 24496	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( O ` ( W ` I ) ) e. NN /\ a e. ZZ ) -> ( ( ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) ^ a ) = 1 <-> ( O ` ( W ` I ) ) || a ) )
209	207, 204, 208	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( a e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` A ) = ( a .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) ^ a ) = 1 <-> ( O ` ( W ` I ) ) || a ) )
210		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( a e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` A ) = ( a .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( ( P ` I ) ` A ) = ( a .x. ( W ` I ) ) )
211	40, 171	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> .1. = ( 0g ` H ) )
212	211	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( a e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` A ) = ( a .x. ( W ` I ) ) ) ) -> .1. = ( 0g ` H ) )
213	210, 212	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( a e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` A ) = ( a .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( ( ( P ` I ) ` A ) = .1. <-> ( a .x. ( W ` I ) ) = ( 0g ` H ) ) )
214	206, 209, 213	3bitr4d 300	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( a e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` A ) = ( a .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) ^ a ) = 1 <-> ( ( P ` I ) ` A ) = .1. ) )
215	214	necon3bid 2838	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( a e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` A ) = ( a .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( ( ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) ^ a ) =/= 1 <-> ( ( P ` I ) ` A ) =/= .1. ) )
216	201, 215	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( a e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` A ) = ( a .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( ( -u 1 ^c ( 2 / ( O ` ( W ` I ) ) ) ) ^ a ) =/= 1 )
217	200, 216	eqnetrd 2861	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A e. U ) /\ ( a e. ZZ /\ ( ( P ` I ) ` A ) = ( a .x. ( W ` I ) ) ) ) -> ( X ` A ) =/= 1 )
218	217	rexlimdvaa 3032	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A e. U ) -> ( E. a e. ZZ ( ( P ` I ) ` A ) = ( a .x. ( W ` I ) ) -> ( X ` A ) =/= 1 ) )
219	44, 218	mpdan 702	. . . 4 |- ( ph -> ( E. a e. ZZ ( ( P ` I ) ` A ) = ( a .x. ( W ` I ) ) -> ( X ` A ) =/= 1 ) )
220	197, 219	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> ( X ` A ) =/= 1 )
221	192, 220	eqnetrd 2861	. 2 |- ( ph -> ( ( v e. B |-> if ( v e. U , ( X ` v ) , 0 ) ) ` A ) =/= 1 )
222		fveq1 6190	. . . 4 |- ( x = ( v e. B |-> if ( v e. U , ( X ` v ) , 0 ) ) -> ( x ` A ) = ( ( v e. B |-> if ( v e. U , ( X ` v ) , 0 ) ) ` A ) )
223	222	neeq1d 2853	. . 3 |- ( x = ( v e. B |-> if ( v e. U , ( X ` v ) , 0 ) ) -> ( ( x ` A ) =/= 1 <-> ( ( v e. B |-> if ( v e. U , ( X ` v ) , 0 ) ) ` A ) =/= 1 ) )
224	223	rspcev 3309	. 2 |- ( ( ( v e. B |-> if ( v e. U , ( X ` v ) , 0 ) ) e. D /\ ( ( v e. B |-> if ( v e. U , ( X ` v ) , 0 ) ) ` A ) =/= 1 ) -> E. x e. D ( x ` A ) =/= 1 )
225	180, 221, 224	syl2anc 693	1 |- ( ph -> E. x e. D ( x ` A ) =/= 1 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   iotacio 5849   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377  ..^cfzo 12465   ^cexp 12860   #chash 13117  Word cword 13291   || cdvds 14983   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422  ._gcmg 17540   GrpHom cghm 17657   odcod 17944   DProd cdprd 18392  dProjcdpj 18393  mulGrpcmgp 18489   1rcur 18501   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548  Unitcui 18639  ℤ/nℤczn 19851   ^c ccxp 24302  DChrcdchr 24957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-word 13299  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-qus 16169  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-od 17948  df-lsm 18051  df-pj1 18052  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-dprd 18394  df-dpj 18395  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-dchr 24958

This theorem is referenced by:  dchrptlem3  24991