Theorem pjff 20056

Description: A projection is a linear operator. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pjf.k	|- K = ( proj ` W )

Assertion

Ref	Expression
pjff	|- ( W e. PreHil -> K : dom K --> ( W LMHom W ) )

Proof of Theorem pjff

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
2		eqid 2622	. . . 4 |- ( LSSum ` W ) = ( LSSum ` W )
3		eqid 2622	. . . 4 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
4		eqid 2622	. . . 4 |- ( proj1 ` W ) = ( proj1 ` W )
5		phllmod 19975	. . . . 5 |- ( W e. PreHil -> W e. LMod )
6	5	adantr 481	. . . 4 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> W e. LMod )
7		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
8		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( ocv ` W ) = ( ocv ` W )
9		pjf.k	. . . . . 6 |- K = ( proj ` W )
10	7, 1, 8, 2, 9	pjdm2 20055	. . . . 5 |- ( W e. PreHil -> ( x e. dom K <-> ( x e. ( LSubSp ` W ) /\ ( x ( LSSum ` W ) ( ( ocv ` W ) ` x ) ) = ( Base ` W ) ) ) )
11	10	simprbda 653	. . . 4 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> x e. ( LSubSp ` W ) )
12	7, 1	lssss 18937	. . . . . 6 |- ( x e. ( LSubSp ` W ) -> x C_ ( Base ` W ) )
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> x C_ ( Base ` W ) )
14	7, 8, 1	ocvlss 20016	. . . . 5 |- ( ( W e. PreHil /\ x C_ ( Base ` W ) ) -> ( ( ocv ` W ) ` x ) e. ( LSubSp ` W ) )
15	13, 14	syldan 487	. . . 4 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> ( ( ocv ` W ) ` x ) e. ( LSubSp ` W ) )
16	8, 1, 3	ocvin 20018	. . . . 5 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. ( LSubSp ` W ) ) -> ( x i^i ( ( ocv ` W ) ` x ) ) = { ( 0g ` W ) } )
17	11, 16	syldan 487	. . . 4 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> ( x i^i ( ( ocv ` W ) ` x ) ) = { ( 0g ` W ) } )
18	1, 2, 3, 4, 6, 11, 15, 17	pj1lmhm 19100	. . 3 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> ( x ( proj1 ` W ) ( ( ocv ` W ) ` x ) ) e. ( ( W ↾s ( x ( LSSum ` W ) ( ( ocv ` W ) ` x ) ) ) LMHom W ) )
19	10	simplbda 654	. . . . . 6 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> ( x ( LSSum ` W ) ( ( ocv ` W ) ` x ) ) = ( Base ` W ) )
20	19	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> ( W ↾s ( x ( LSSum ` W ) ( ( ocv ` W ) ` x ) ) ) = ( W ↾s ( Base ` W ) ) )
21	7	ressid 15935	. . . . . 6 |- ( W e. PreHil -> ( W ↾s ( Base ` W ) ) = W )
22	21	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> ( W ↾s ( Base ` W ) ) = W )
23	20, 22	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> ( W ↾s ( x ( LSSum ` W ) ( ( ocv ` W ) ` x ) ) ) = W )
24	23	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> ( ( W ↾s ( x ( LSSum ` W ) ( ( ocv ` W ) ` x ) ) ) LMHom W ) = ( W LMHom W ) )
25	18, 24	eleqtrd 2703	. 2 |- ( ( W e. PreHil /\ x e. dom K ) -> ( x ( proj1 ` W ) ( ( ocv ` W ) ` x ) ) e. ( W LMHom W ) )
26	8, 4, 9	pjfval2 20053	. 2 |- K = ( x e. dom K |-> ( x ( proj1 ` W ) ( ( ocv ` W ) ` x ) ) )
27	25, 26	fmptd 6385	1 |- ( W e. PreHil -> K : dom K --> ( W LMHom W ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   0gc0g 16100   LSSumclsm 18049   proj1cpj1 18050   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   LMHom clmhm 19019   PreHilcphl 19969   ocvcocv 20004   projcpj 20044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-lsm 18051  df-pj1 18052  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lmhm 19022  df-lvec 19103  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-phl 19971  df-ocv 20007  df-pj 20047

This theorem is referenced by: (None)