Theorem riinopn 20713

Description: A finite indexed relative intersection of open sets is open. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
1open.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
riinopn	|- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. J ) -> ( X i^i |^|_ x e. A B ) e. J )

Distinct variable groups:   x, A   x, J   x, X

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem riinopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		riin0 4594	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( X i^i |^|_ x e. A B ) = X )
2	1	adantl 482	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. J ) /\ A = (/) ) -> ( X i^i |^|_ x e. A B ) = X )
3		simpl1 1064	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. J ) /\ A = (/) ) -> J e. Top )
4		1open.1	. . . . 5 |- X = U. J
5	4	topopn 20711	. . . 4 |- ( J e. Top -> X e. J )
6	3, 5	syl 17	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. J ) /\ A = (/) ) -> X e. J )
7	2, 6	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. J ) /\ A = (/) ) -> ( X i^i |^|_ x e. A B ) e. J )
8	4	eltopss 20712	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ B e. J ) -> B C_ X )
9	8	ex 450	. . . . . . 7 |- ( J e. Top -> ( B e. J -> B C_ X ) )
10	9	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin ) -> ( B e. J -> B C_ X ) )
11	10	ralimdv 2963	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin ) -> ( A. x e. A B e. J -> A. x e. A B C_ X ) )
12	11	3impia 1261	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. J ) -> A. x e. A B C_ X )
13		riinn0 4595	. . . 4 |- ( ( A. x e. A B C_ X /\ A =/= (/) ) -> ( X i^i |^|_ x e. A B ) = |^|_ x e. A B )
14	12, 13	sylan 488	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. J ) /\ A =/= (/) ) -> ( X i^i |^|_ x e. A B ) = |^|_ x e. A B )
15		iinopn 20707	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ ( A e. Fin /\ A =/= (/) /\ A. x e. A B e. J ) ) -> |^|_ x e. A B e. J )
16	15	3exp2 1285	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( A e. Fin -> ( A =/= (/) -> ( A. x e. A B e. J -> |^|_ x e. A B e. J ) ) ) )
17	16	com34 91	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( A e. Fin -> ( A. x e. A B e. J -> ( A =/= (/) -> |^|_ x e. A B e. J ) ) ) )
18	17	3imp1 1280	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. J ) /\ A =/= (/) ) -> |^|_ x e. A B e. J )
19	14, 18	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. J ) /\ A =/= (/) ) -> ( X i^i |^|_ x e. A B ) e. J )
20	7, 19	pm2.61dane 2881	1 |- ( ( J e. Top /\ A e. Fin /\ A. x e. A B e. J ) -> ( X i^i |^|_ x e. A B ) e. J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   |^|_ciin 4521   Fincfn 7955   Topctop 20698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-top 20699

This theorem is referenced by:  rintopn  20714  iuncld  20849