Theorem climrlim2 14278

Description: Produce a real limit from an integer limit, where the real function is only dependent on the integer part of x. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
climrlim2.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
climrlim2.2	|- ( n = ( |_ ` x ) -> B = C )
climrlim2.3	|- ( ph -> A C_ RR )
climrlim2.4	|- ( ph -> M e. ZZ )
climrlim2.5	|- ( ph -> ( n e. Z |-> B ) ~~> D )
climrlim2.6	|- ( ( ph /\ n e. Z ) -> B e. CC )
climrlim2.7	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> M <_ x )

Assertion

Ref	Expression
climrlim2	|- ( ph -> ( x e. A |-> C ) ~~> r D )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   C, n   x, D   x, n, ph   n, Z, x

Allowed substitution hints:   A( n)   B( n)   C( x)   D( n)   M( x, n)

Proof of Theorem climrlim2

Dummy variables j y k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climrlim2.5	. 2 |- ( ph -> ( n e. Z |-> B ) ~~> D )
2		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. ZZ )
3		climrlim2.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- Z = ( ZZ>= ` M )
4	2, 3	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. Z -> j e. ZZ )
5	4	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ ( x e. A /\ j <_ x ) ) -> j e. ZZ )
6		climrlim2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A C_ RR )
7	6	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. RR )
8	7	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( |_ ` x ) e. ZZ )
9	8	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) -> ( |_ ` x ) e. ZZ )
10	9	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ ( x e. A /\ j <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. ZZ )
11		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ ( x e. A /\ j <_ x ) ) -> j <_ x )
12	7	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) -> x e. RR )
13	12	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ ( x e. A /\ j <_ x ) ) -> x e. RR )
14		flge 12606	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. RR /\ j e. ZZ ) -> ( j <_ x <-> j <_ ( |_ ` x ) ) )
15	13, 5, 14	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ ( x e. A /\ j <_ x ) ) -> ( j <_ x <-> j <_ ( |_ ` x ) ) )
16	11, 15	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ ( x e. A /\ j <_ x ) ) -> j <_ ( |_ ` x ) )
17		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( |_ ` x ) e. ( ZZ>= ` j ) <-> ( j e. ZZ /\ ( |_ ` x ) e. ZZ /\ j <_ ( |_ ` x ) ) )
18	5, 10, 16, 17	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ ( x e. A /\ j <_ x ) ) -> ( |_ ` x ) e. ( ZZ>= ` j ) )
19		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) - D ) ) < y )
20	19	ralimi 2952	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) - D ) ) < y ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) - D ) ) < y )
21		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( |_ ` x ) -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( n e. Z |-> B ) ` ( |_ ` x ) ) )
22	21	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( |_ ` x ) -> ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) - D ) = ( ( ( n e. Z |-> B ) ` ( |_ ` x ) ) - D ) )
23	22	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( |_ ` x ) -> ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) - D ) ) = ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> B ) ` ( |_ ` x ) ) - D ) ) )
24	23	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( |_ ` x ) -> ( ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) - D ) ) < y <-> ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> B ) ` ( |_ ` x ) ) - D ) ) < y ) )
25	24	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( |_ ` x ) e. ( ZZ>= ` j ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) - D ) ) < y -> ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> B ) ` ( |_ ` x ) ) - D ) ) < y ) )
26	18, 20, 25	syl2im 40	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ ( x e. A /\ j <_ x ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> B ) ` ( |_ ` x ) ) - D ) ) < y ) )
27		climrlim2.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> M e. ZZ )
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> M e. ZZ )
29		climrlim2.7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> M <_ x )
30		flge 12606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. RR /\ M e. ZZ ) -> ( M <_ x <-> M <_ ( |_ ` x ) ) )
31	7, 28, 30	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( M <_ x <-> M <_ ( |_ ` x ) ) )
32	29, 31	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> M <_ ( |_ ` x ) )
33		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( |_ ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( |_ ` x ) e. ZZ /\ M <_ ( |_ ` x ) ) )
34	28, 8, 32, 33	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( |_ ` x ) e. ( ZZ>= ` M ) )
35	34, 3	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( |_ ` x ) e. Z )
36		climrlim2.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> B e. CC )
37	36	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> A. n e. Z B e. CC )
38	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. n e. Z B e. CC )
39		climrlim2.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = ( |_ ` x ) -> B = C )
40	39	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = ( |_ ` x ) -> ( B e. CC <-> C e. CC ) )
41	40	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( |_ ` x ) e. Z -> ( A. n e. Z B e. CC -> C e. CC ) )
42	35, 38, 41	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> C e. CC )
43		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. Z |-> B ) = ( n e. Z |-> B )
44	39, 43	fvmptg 6280	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( |_ ` x ) e. Z /\ C e. CC ) -> ( ( n e. Z |-> B ) ` ( |_ ` x ) ) = C )
45	35, 42, 44	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( n e. Z |-> B ) ` ( |_ ` x ) ) = C )
46	45	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ x e. A ) -> ( ( n e. Z |-> B ) ` ( |_ ` x ) ) = C )
47	46	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ ( x e. A /\ j <_ x ) ) -> ( ( n e. Z |-> B ) ` ( |_ ` x ) ) = C )
48	47	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ ( x e. A /\ j <_ x ) ) -> ( ( ( n e. Z |-> B ) ` ( |_ ` x ) ) - D ) = ( C - D ) )
49	48	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ ( x e. A /\ j <_ x ) ) -> ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> B ) ` ( |_ ` x ) ) - D ) ) = ( abs ` ( C - D ) ) )
50	49	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ ( x e. A /\ j <_ x ) ) -> ( ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> B ) ` ( |_ ` x ) ) - D ) ) < y <-> ( abs ` ( C - D ) ) < y ) )
51	26, 50	sylibd 229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ ( x e. A /\ j <_ x ) ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( C - D ) ) < y ) )
52	51	expr 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ x e. A ) -> ( j <_ x -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) - D ) ) < y ) -> ( abs ` ( C - D ) ) < y ) ) )
53	52	com23 86	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ x e. A ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) - D ) ) < y ) -> ( j <_ x -> ( abs ` ( C - D ) ) < y ) ) )
54	53	ralrimdva 2969	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) - D ) ) < y ) -> A. x e. A ( j <_ x -> ( abs ` ( C - D ) ) < y ) ) )
55		eluzelre 11698	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( ZZ>= ` M ) -> j e. RR )
56	55, 3	eleq2s 2719	. . . . . . . . 9 |- ( j e. Z -> j e. RR )
57	56	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> j e. RR )
58	54, 57	jctild 566	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) - D ) ) < y ) -> ( j e. RR /\ A. x e. A ( j <_ x -> ( abs ` ( C - D ) ) < y ) ) ) )
59	58	expimpd 629	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( ( j e. Z /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) - D ) ) < y ) ) -> ( j e. RR /\ A. x e. A ( j <_ x -> ( abs ` ( C - D ) ) < y ) ) ) )
60	59	reximdv2 3014	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR+ ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) - D ) ) < y ) -> E. j e. RR A. x e. A ( j <_ x -> ( abs ` ( C - D ) ) < y ) ) )
61	60	ralimdva 2962	. . . 4 |- ( ph -> ( A. y e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) - D ) ) < y ) -> A. y e. RR+ E. j e. RR A. x e. A ( j <_ x -> ( abs ` ( C - D ) ) < y ) ) )
62	61	adantld 483	. . 3 |- ( ph -> ( ( D e. CC /\ A. y e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) - D ) ) < y ) ) -> A. y e. RR+ E. j e. RR A. x e. A ( j <_ x -> ( abs ` ( C - D ) ) < y ) ) )
63		climrel 14223	. . . . . 6 |- Rel ~~>
64	63	brrelexi 5158	. . . . 5 |- ( ( n e. Z |-> B ) ~~> D -> ( n e. Z |-> B ) e. _V )
65	1, 64	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( n e. Z |-> B ) e. _V )
66		eqidd 2623	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) = ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) )
67	3, 27, 65, 66	clim2 14235	. . 3 |- ( ph -> ( ( n e. Z |-> B ) ~~> D <-> ( D e. CC /\ A. y e. RR+ E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) e. CC /\ ( abs ` ( ( ( n e. Z |-> B ) ` k ) - D ) ) < y ) ) ) )
68	42	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. A C e. CC )
69		climcl 14230	. . . . 5 |- ( ( n e. Z |-> B ) ~~> D -> D e. CC )
70	1, 69	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> D e. CC )
71	68, 6, 70	rlim2 14227	. . 3 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> C ) ~~> r D <-> A. y e. RR+ E. j e. RR A. x e. A ( j <_ x -> ( abs ` ( C - D ) ) < y ) ) )
72	62, 67, 71	3imtr4d 283	. 2 |- ( ph -> ( ( n e. Z |-> B ) ~~> D -> ( x e. A |-> C ) ~~> r D ) )
73	1, 72	mpd 15	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> C ) ~~> r D )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   |_cfl 12591   abscabs 13974   ~~> cli 14215   ~~> r crli 14216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fl 12593  df-clim 14219  df-rlim 14220

This theorem is referenced by:  dchrisum0lem2a  25206